利用電磁阻尼單擺測量金屬球的電導率

鐘旭英，張朝暉，唐東升

(1.湖南師范大學 物理與電子科學學院，湖南 長沙 410081; 2.北京大學 物理學院,北京 100871)

單擺運動是生活中常見的運動，也是物理學研究中的重要模型，在理論及實驗教學中都有著重要的地位[1-2]. 中學階段考慮的單擺運動是抽象成簡諧振動的理想模型，但是隨擺動時間逐漸積累單擺實際上是振幅隨時間不斷衰減的阻尼振動. 生活中可以利用阻尼解釋很多物理現象，如各類機器的防震器中采用一系列的阻尼裝置，通過改變阻尼的方法控制系統的振動情況；一些精密的儀器，如物理天平、靈敏電流計中也裝有阻尼裝置，并通過調整阻尼狀態，可以使測量快捷、準確. 相關文獻對空氣阻尼進行了研究報道，例如通過單擺測量空氣的阻尼系數[3-4]和黏度[5]等.

電導率是表征金屬材料性能的重要物理量之一，可用于分選材質、確定金屬材料的硬度和熱處理狀態. 目前金屬電導率的測量方法有很多[6-7]，一般是通過直接測量金屬絲的直徑、長度和電阻，代入電導率的公式計算金屬的電導率. 因此通過在單擺實驗加入梯度磁場，讓2個大小相同、電導率不同的金屬球在梯度磁場中做小角度擺動，然后對空氣阻尼和電磁阻尼展開定量的研究，采用對比法測量金屬球的電導率.

1 基本原理

1.1 單擺系統線性阻尼振動方程的解

忽略阻尼情況下，單擺可以抽象成簡諧振動的理想模型. 弱阻尼情況下，空氣阻力對單擺振幅的影響隨擺動時間逐漸積累，從而使得擺幅隨時間逐漸衰減. 如圖1所示，當小球擺動的速度很小時，空氣阻力近似與擺球速度成線性關系，此時小球的運動稱為線性弱阻尼振動. 根據牛頓運動定律可以得到單擺系統的動力學方程為

圖1 單擺在空氣中的線性阻尼振動

(1)

式中：m為擺球的質量，l為擺線長度，γ為阻力系數，θ為擺球的擺幅，g為當地重力加速.

(2)

該方程的解與阻尼系數有關.

當β<ω0時，系統處于弱阻尼狀態，其解為

θ=θ0e-β tcos (ωt+φ0),

(3)

當β=ω0時，系統處于臨界阻尼狀態，其解為

θ=(C1+C2t)e-β t,

(4)

此時系統不做往復運動，而是較快地回到平衡位置并停下來.

當β>ω0時，系統處于過阻尼狀態，其解為

(5)

此時系統不做往復運動，而是非常緩慢地回到平衡位置.

1.2 運動金屬球在梯度磁場中受到的電磁阻尼力

梯度磁場指的是空間變化率不為零的磁場. 金屬球在這樣的磁場中運動時會在其內部產生感應電動勢，從而產生渦旋電流. 在本文的實驗中，擺球位于以平衡位置為中心向左右兩側線性減弱的梯度磁場，兩側的磁場梯度為大小相等、方向相反的常量. 當擺球從中心向右擺動，其產生的感應電流如圖2(a)所示. 在渦流和外磁場的作用下，金屬球受到4個方向的等效作用力如圖2(b)所示，這些作用力的合力總是與金屬球的運動方向相反，故稱之為電磁阻尼.

(a) 垂直磁場方向觀測到的感應電流(紫色虛線表示磁感應強度)

Adom Giffin[8]等人對金屬球在梯度磁場中做低速運動時受到的電磁阻尼與金屬球的電導率的關系展開研究，在忽略磁場擾動對電磁阻尼影響的情況下，得出金屬球在梯度磁場中做低速運動時，其線性弱電磁阻力表達式為

(6)

其中，r是金屬球的半徑，v為金屬球的運動速度，σ為金屬球的電導率，Bmax為最大磁感應強度，L為梯度磁場的寬度.

1.3 求解金屬球的電導率

空氣阻尼為：

(7)

擺球在磁場中振動受到的阻力為

F阻=F空+F磁，

(8)

聯立(7)(8)兩式得：

F磁=F阻-F空=(γ阻-γ空)v，

(9)

由于阻尼系數γ=2mβ，代入(9)式，與(6)式聯立解得電導率為

(10)

因此在有無磁場阻尼作用下，通過測定大小相同，電導率不同的2個金屬球的阻尼系數，再采用對比法即可得出待測金屬球的電導率為

(11)

2 實驗儀器及步驟

2.1 實驗儀器

1) 單擺裝置：包括半徑為90 cm的測角儀，量程為-5.5°～+5.5°，分度值為0.1°(見圖3)；

2) 帶擺線的鋁球(質量m=11.346 g、半徑r=10.000 mm、電導率σ=3.767×107S/m)；帶擺線的待測金屬球(質量m=35.112 g、半徑r=10.000 mm)；

3) 螺旋測微器、卷尺、多通道計時秒表(精度為0.01 s)；

4) 釹鐵硼永磁鐵(20 mm×20 mm×10 mm).

2.2 實驗步驟

1) 按照圖3所示，將鋁球作為單擺的擺球，調節鋁球的擺線長度為95.00 cm.

圖3 單擺在磁場中的阻尼振蕩

2) 讓鋁球做小角度(θ≤5°)擺動，當擺球擺到最低點時，用多通道計時秒表記錄擺球擺動n次的時間，并記錄擺幅隨時間變化的實驗數據.

3) 不改變擺球及其擺線長度的情況下，將釹鐵硼永磁鐵放置于鋁球平衡位置正下方大約x=2 cm處. 讓鋁球做小角度擺動，記錄擺幅隨時間變化的實驗數據.

4) 用待測金屬球替換鋁球，保持磁鐵的位置不變，調整擺線的長度使其與原鋁球擺線長度一致.

5) 讓待測金屬球做小角度擺動，記錄擺幅隨時間變化的實驗數據.

6) 移開磁鐵，讓待測金屬球做小角度擺動，記錄擺幅隨時間變化的實驗數據.

3 實驗結果

3.1 磁鐵位置分析

本文使用的2個金屬球質量和電導率存在較大的差異. 與待測金屬球相比鋁球較輕，則鋁球擺動過程中，空氣阻尼和電磁阻尼對其振幅的影響較大，而對待測金屬球的影響較小. 要想在有限的時間內縮短測量時間的同時得出更準確的測量數據，則磁鐵的位置至關重要.

3.1.1 磁鐵位于擺球平衡位置正下方的分析

本文的釹鐵硼方形磁鐵放置于擺球平衡位置正下方，其目的是在擺球平衡位置形成對稱分布的梯度磁場. 為此本實驗使用特斯拉計測定擺球振動軌跡對應的磁場變化情況，如圖4所示. 測量結果表明磁感應強度(B)隨擺幅(θ)的增大而減小，從圖4中可以發現釹鐵硼磁鐵形成的實際磁場是理論要求“等腰三角形”分布的近似，滿足電磁阻尼力磁場理論的要求.

3.1.2 磁鐵與擺球質心距離的分析

本文選擇擺長為96 cm，對應的周期T約為1.97 s. 磁鐵距離擺球越遠，單擺在磁場中運動的振幅衰減越慢，可采集到擺幅的數據點就越多，擬合的阻尼系數越準確. 并非是磁鐵距離擺球越遠越好，磁鐵太遠會增加測量時間，太近則較輕的擺球擺幅衰減太快，不利于實驗數據點的采集. 況且本文并非僅考慮單個擺球振幅的衰減規律，而是需要綜合考慮2個擺球的質量和電導率對擺幅衰減快慢和測量數據點數量的影響，這就需要找到合適的位置，所以磁鐵在平衡位置與擺球質心的距離也是完成本實驗的關鍵因素之一.

實驗發現記錄1個擺幅數據點至少需要2個周期的時間即3.94 s，因此擺幅從5°衰減到2°，采集獲得11個數據點，則在平衡位置磁鐵距離擺球的質心至少應為2.5 cm. 實驗發現每隔5個周期記錄1個擺幅時，時間相對充裕，能更準確捕捉到擺球擺到最高位置的角度，測量更準確. 根據實驗結果每隔5個周期記錄1個數據需要9.84 s，讓幅度從5°衰減到2°采集11個數據點，在平衡位置磁鐵距離擺球質心則約為3 cm. 綜上本文所使用的平衡位置磁鐵距擺球質心位置為3 cm.

3.2 阻尼作用對振動周期的影響

表1 擺球在有無磁阻作用下周期-時間表

3.3 實驗數據處理

由于單擺在有無電磁阻尼作用下的阻尼系數遠小于單擺的固有周期，所以無法通過測量周期計算出單擺的阻尼系數. 根據弱阻尼振動微分方程的解[見式(3)]，可知單擺的振幅隨時間呈指數衰減，本文通過提高擺幅測量的精度(見圖3中測角儀的放大圖)，測定單擺擺幅隨時間的衰減規律，利用θ=θ0e-β t進行擬合得到擺球在有無磁場作用下單擺振蕩的阻尼系數β，如圖5所示. 結果表明單擺在擺動過程中擺幅隨時間呈指數衰減，實測數據與擬合結果吻合得很好. 實驗結果證實2種金屬擺球在有無電磁阻尼作用下，阻尼系數β(詳見圖5)都遠遠小于單擺的固有頻率ω0=3.19 s-1，故阻尼對單擺振動周期的影響可以忽略不計. 單擺的阻尼系數可以通過測量單擺擺幅隨時間的衰減規律來求解.

(a)鋁球作為擺球

3.4 對比法求解金屬球的電導率

根據圖5曲線擬合的結果和已知條件，待測金屬球：m1=35.112 g，β1阻=1.557×10-3s-1，β1空=1.506×10-3s-1；鋁球：σ2=3.767×107S/m，m2=11.314 g，β2阻=6.165×10-3s-1；β2空=4.070×10-3s-1.

將所有的已知條件代入式(11)求得待測金屬球的電導率σ1=2.86×106S/m. 其中r1=r2.

實驗結果表明待測金屬球的電導率與相關資料提供的錳銅電導率的數據(σ=2.78×106～3.23×106S/m)相匹配. 本文使用的待測金屬球的密度ρ為8.38 g/cm3和錳銅的密度相近. 同時本實驗累計測量n次擺幅隨時間的衰減規律，得到n個阻尼系數，電導率的不確定度為uσ1=0.14×10-6S/m

4 結束語

本文利用簡單的力學單擺實驗，采用對比法測量電磁學的物理量，定量研究了空氣阻尼和電磁阻尼. 通過觀測2個大小相同、電阻率不同的金屬球在有無電磁阻尼作用下擺幅隨時間的變化規律，擬合實驗數據得到空氣阻尼系數和電磁阻尼系數，采用對比法可得出待測金屬球的電導率. 實驗結果表明，利用單擺小角度的弱阻尼振蕩，結合金屬球在梯度磁場中運動時受到的磁阻尼力求解金屬球電導率，方法可行. 該實驗可加深學生對單擺作為簡諧振動理想模型的理解，另一方面也為研究梯度磁場中金屬小球的電磁感應現象提供了新思路.