跟著數學看世界

王治鈞

不可思議的“倍增”

生活中有很多看似普通但是實際上會讓我們大吃一驚的結論。比如2001 年，美國女生布蘭妮在當地超市找到一卷長1.2 千米而且比較薄的衛生紙，在父母的幫助下花了7 個多小時，完成了“把一張紙折疊12 次”的有趣項目，而這竟成為一項新的吉尼斯世界記錄。

如果一張足夠大的A4 白紙持續對折，那么在四十多次對折后的厚度就相當于地球到月球的距離，50次對折之后的厚度就能達到一億千米——這是太陽和地球之間2/3 的距離。這是不是超出你的想象了？

同樣，國王用象棋盤獎賞大臣麥粒的故事也是類似的道理：在象棋盤上放置麥粒，第1 個棋格放1粒，此后每一棋格放置的麥粒數是前一棋格的2 倍，國王答應送大臣放滿棋盤上所有棋格的麥粒。這是一個等比數列的求和問題。國王知道實情后很快就后悔了，因為這樣下去全國的糧食都不夠送。這個問題經常被用來說明指數增長的速度會遠超大家想象。這就是數學“幾何倍增”的威力。在很多情況下我們的第一直覺都會出現錯誤，但是數學計算能幫助我們認清事實。

在探索世界的過程中，數學多次顛覆人類的世界觀。比如，兩千多年前古希臘的時代，人們只探索了世界的很小一部分，而地球看上去是無邊無際無限大，當時的數學家埃拉托色尼利用兩地正午桿子陰影長度變化測算了地球的周長，而這個數值和現在的數據相比，誤差只有驚人的2%。 由此我們能看出，數學能幫助我們測量看似不可測的地球，探索我們所無法觸及的領域。

數學家羅根在 TED 的演講提到，數學并不是“加減乘除幾何，代數等”枯燥公式的學科，它是我們在觀察物質世界時對其中蘊含的模式、關系和邏輯的感知。

宇宙中編織的數學現實

隱藏的數學規律滲透在我們整個物質世界中，有些我們的感官能捕捉，但更多需要通過數學這個放大鏡才能觀察到它神奇的美感，通過尋找某種聯系、結構、規律或者規則來探索超出你理解能力之外的領域，你就能感受數學的魅力。

數學“分形之父”蒙德布羅特在TED 演講時提出，為更好地描述、解釋真實的大自然，我們需要“分形幾何”的概念，它又稱碎形、殘形，意思是一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都是整體縮小后的形狀，具有自相似的性質。

伽利略曾說：“自然之法是數學語言寫就的，它的代表符號就是三角形、圓圈和其他幾何形”，引入分形幾何有助于我們了解大自然的復雜性。

如果你眼光實在不夠犀利，依然沒有找到大自然中明顯的分形圖，不妨對照下自己的人體，人體其實也是分形的杰作：比如大腦的表面皺紋、肝膽和小腸的結構、泌尿系統、神經元的分布、雙螺旋的DNA 結構甚至蛋白質的分子鏈等，都有明顯的分形特征（具有自相似性以及無窮多的層次）。

自然界中的分形幾何不僅展示了數學之美，使自然景物的描繪得以實現，也揭示了世界的本質，還改變了人們理解自然奧秘的方式。

特殊的“語言表達”

如果沒有現成的語言，還可以用數學創造一種特殊語言來描述各種模式。數學家戈特弗里德·萊布尼茨在1675 年發明了微積分符號，他創造的這種“語言”描述現在被廣泛使用，比如拋物線的場景，就可以用微積分把這個模式表達出來，在真實世界里應用于對炮彈軌道的預測。

關于數學語言表達的另外一個例子是內莫斯盲文數學代碼，它使用標準的六點盲文單元格線性編碼數學和科學記數法，幫助視力障礙者能夠進行觸覺閱讀，了解這個世界。這些代碼是一種緊湊的、人類可讀標記語言的示例，世界各地有大量系統都使用這套盲文表達法。

數學表達不僅僅是可以看的，可以觸摸的，也可以用來聽，比如我們經常在一些諜戰影片里看到的特工會用摩爾斯電碼發信號，摩爾斯電碼是一種時通時斷的信號代碼，通過不同的排列順序來表達不同的英文字母、數字和標點符號。

隨著現代通信工具的發展，摩爾斯電碼幾乎成為業余無線愛好者的專利，但是它曾經在百年前發揮過巨大通信溝通作用。我們在日常生活中也能看到蘊含大量信息的數學表達載體，比如條形碼、二維碼等。我們能看到的只是不同的線條或條塊，它們有一定的編碼規則排列，用以表達一組信息的圖形標識符等，包含個人、商品類別、交易、日期等大量信息。

數學是一種訓練人使用不同角度解釋事物的學科。隨著數字領域的飛速發展，越來越多的問題需要用數學分析來解決，它在諸多領域都能發揮巨大作用，所以學好數學至關重要。