干涉儀相位差測量標量積累與矢量積累的特性分析與對比

石 榮

(電子信息控制重點實驗室 成都 610036)

1 引言

比幅測向與干涉儀測向是最常用的兩種測向手段[1,2]，雖然比幅測向設備簡單，但在測向精度上遠不及干涉儀測向[3,4]，所以干涉儀測向成為電磁波來波方向精確測量中的主流技術[5,6]，并在雷達、通信、電子戰等工程項目中得到了廣泛應用[7–10]。干涉儀測向中的關鍵步驟之一就是干涉儀通道間信號的相位差測量，因為相位差的測量精度直接決定了干涉儀的測向精度，所以長期以來對如何提升干涉儀通道間信號的相位差測量精度的研究工作就一直沒有間斷過，很多方法被提出并得到應用[11,12]。在這些眾多方法之中，通過多次測量求平均來減小測量誤差是最常用的工程處理方法，又被稱為相位差的積累。特別是在低信噪比條件下的相位差測量，只有通過大量的積累才能達到更高的測量精度[13,14]，這也成為工程技術人員關注的一個重要手段。

按照相位差積累的不同方式，可分為標量積累與矢量積累兩種。盡管這兩種積累方法都在工程上應用[15,16]，但是針對二者之間的差異對比與特性分析的理論研究缺失，造成對實踐應用的指導不明確，工程經驗并沒有得到有效的總結。鑒于上述情況，本文在干涉儀測向應用與相位差測量模型簡要回顧之后，對干涉儀測向過程中各個通道間所接收信號的相位差的形成過程及其統計特性進行了分析，闡述了相位矢量的模值在萊斯分布形成過程中，其相位分布產生的過程及其統計特性。并利用推導得到的概率密度分布結果對相位差標量積累與矢量積累進行了對比分析，對這兩種方式的特性進行了詳盡研究。不僅揭示了標量積累過程中面臨的門限效應，而且從理論上證明了矢量積累對真實值的無限逼近過程，展現了矢量積累相對于標量積累在低信噪比條件下的優越性。從而為干涉儀相位差測量過程中的數據有效處理提供了重要的理論指導。

2 干涉儀測向與相位差測量

以單基線干涉儀為例，干涉儀測向模型如圖1所示，圖1中干涉儀的兩個單元天線V1與V2之間的直線距離為d，信號來波方向與干涉儀基線法向之間的夾角為θ。

圖1 單基線干涉儀測向模型

干涉儀單元天線V1與V2輸出的信號在經過接收機放大變頻之后輸入鑒相器，測量得到同一個信號在兩個通道之間的相位差為Δφ。由圖1所示的幾何關系可得信號的來波方向角θ與相位差測量值Δφ之間存在關系式為

式(1)中，λ表示電磁信號的波長，在d ≤λ/2的條件下，通過相位差測量值 Δφ能夠唯一求解出來波方向角θ。由式(1)可知：d越大測向精度越高。當d ＞λ/2時，單基線干涉儀會產生相位模糊，所以在實際測向工程應用中通常采用多基線干涉儀，由短基線測量的相位差來逐級解長基線相位差測量過程中的相位模糊，從而達到高精度測向的目的。

從上述干涉儀測向過程可知：干涉儀通道之間信號的相位差測量的精度將直接決定干涉儀測向所能達到的精度，所以在干涉儀測向應用中，高精度的相位差測量一直是工程應用關注的重點。干涉儀相位差測量有兩類方法：一類是時域鑒相；另一類是頻域鑒相。這兩種鑒相方法在高信噪比條件下性能幾乎一樣，在低信噪比條件下頻域鑒相的精度優于時域鑒相的精度。鑒于上述情況，在本文后續討論中均采用頻域鑒相方法來獲得干涉儀通道間信號的相位差測量值。

3 相位差的形成及其統計特性分析

在多基線干涉儀測向應用中每一條獨立基線都可以用單基線模型表示，所以以圖1所示的模型為基礎分析干涉儀相位差測量問題具有普適性。按照頻域鑒相法，對單元天線V1與V2后端接收機輸出的信號在頻域進行測量可分別得到對應的綜合矢量Z1和Z2如式(2)所表達

式(2)和式(3)中，S表示信號矢量，N1和N2分別表示兩個接收通道中的噪聲矢量，滿足均值為0，方差為的復高斯分布。上述矢量在復平面中的相互關系如圖2所示。

圖2 各矢量在復平面中的相互關系

式(5)中I0(·)表示0階修正貝塞爾函數，所以fz(z)又稱為萊斯分布或廣義瑞利分布[17]。根據式(4)可得相位β滿足的概率密度分布函數fβ(β)如式(6)所表達，由于fβ(β)是通過聯合概率密度分布函數f(z,β)對幅度變量積分而得到，所以本文稱之為萊斯分布形成過程中的相位分布

另一方面，由式(6)可知，當A＝0時，fβ(β)＝1/(2π)，這意味著相位滿足在定義域范圍內的均勻分布，實際上此時萊斯分布已經退化為瑞利分布，而瑞利分布形成過程中的相位的確是滿足均勻分布的。當A →∞時，fβ(β)≈δ(β-α)，其中δ(·)表示沖激函數，這意味著信噪比無窮大時，在干涉儀相位差測量過程中沒有任何誤差。于是在不同信噪比A/σN條件下，fβ(β)的概率密度分布曲線如圖3所示。需要說明的是：圖3中的橫坐標雖然標注的是[α-π,α+π)范圍，如前所述，由于fβ(β)具有以 2π的周期性，所以在長度為2 π的任意區間[α-π+ε,α+π+ε)內來表示均是可以的。

圖3 在不同信噪比條件下的概率密度分布曲線

如果在一次測量中將S看成一個固定的矢量，顯然綜合矢量Z1和Z2的模值都滿足相同的萊斯分布，它們的相位值βA和β都滿足萊斯分布形成過程中對應的相位分布。于是按照干涉儀的頻域鑒相法，相位差測量值Δφ︿為

由式(2)和式(3)可知：在相位差形成過程中，消除了信號矢量S自身相位的影響，所以相位差測量值仍然滿足萊斯分布形成過程中對應的相位分布，由式(10)可知此時的噪聲方差會增大為。

4 相位差的標量積累及特性分析

(1)情況1：當α ＜π時，在擴展定義域的條件下，并利用式(8)的特性，可將數學期望式(12)按照式(13)分解為幾部分

于是這就從理論上證明了：通過相位差測量值的標量積累方式在絕大部分情況下，即使積累次數趨近于∞，也不能確保樣本均值β收斂于真實值α。

大家可能對上述理論推導結果有些疑惑，似乎打破了常規的工程慣性思維結果，與工程應用中多次測量取平均值來提高相位差測量精度的通常做法好像有些矛盾。實際上相位差標量累積與信噪比A/σN緊密相關，從圖3的概率密度分布曲線可以看出：當A/σN比較大時，E(β)趨近于α；但是當A/σN比較小時，又由于βn作為一個[0,2π)范圍內的實數，所以E(β)趨近于π ，幾乎與α無關。這一現象與工程上大家遇到的相位差測量的門限效應是相互對應的，即當信噪比降低到一定數值之下時，相位差測量誤差非常大，在此情況下即使通過多次測量取平均值也難以達到應有的精度，這一理論分析結果與工程實踐結果是相吻合的，因為工程應用中在標量積累時都是限定在信噪比門限以上時的實施結果，所以此處的理論分析結果與工程實踐之間并沒有產生矛盾。

5 相位差的矢量積累及特性分析

相位差的矢量積累與前一小節所述的標量積累的差異在于：將N個相位差測量值βn表示成矢量形式exp(j·βn)，然后在此基礎上對這N個矢量進行平均處理，于是矢量積累結果β如式(16)所表達

同樣，當測量次數趨近于∞時，β將趨近于其數學期望E(exp(j·β))，如式(17)所示

將式(19)右邊的積分分解為2個不同區域的積分，并利用式(9)所示的函數fβ(β)關于α點的對稱性，可推導出如式(20)的結果

式(21)中angle(·)表示求復數的復角運算，由此可見：通過矢量積累可獲得干涉儀相位差測量的真實值。

到此為止，上述過程從理論上證明了干涉儀相位差測量應用中，通過干涉儀相位差測量值的矢量積累，只要信噪比A/σN ＞0，無論其多么小，都可以通過一定次數的積累，使得積累后矢量的幅角無限逼近于相位差的真實值。

上述干涉儀相位差測量中的矢量積累特性與標量積累特性形成了鮮明的對比：標量積累中存在信噪比的門限效應，只要信噪比低于一定門限之后，無論積累多少次，都無法逼近相位差的真實值；而矢量積累中沒有門限效應，無論信噪比多么低，只要積累次數足夠多，總能夠逼近相位差的真實值。所以干涉儀相位差測量應用中矢量積累比標量積累具有更優越的低信噪比適應效應，這一結論為干涉儀相位差測量過程中的積累操作提供了重要的理論指導。

6 仿真驗證

(1) 相位差的統計特性仿真驗證。設單基線干涉儀的基線長度為0.3 m，入射電磁波的頻率為500 MHz，來波方向θ＝π/6，由此可得干涉儀通道間信號相位差的真實值Δφ＝π/2。按照頻域鑒相方法，在幾種典型信噪比條件下對干涉儀相位差測量值進行105次蒙特卡洛仿真后，統計出測量值的概率分布密度分別如圖4–圖6所示。

如前所述，由于相位測量具有周期特性，所以在圖4–圖6中將相位差測量值的分布范圍都限定在[0,2π)之內，為了便于對比，對應的理論分布曲線的定義域也限定在同一范圍。其中紅色曲線代表式(6)所示的理論概率分布曲線，藍色的柱狀豎線代表105次蒙特卡洛仿真中頻次統計后換算的概率分布密度。在信噪比等于0時，基本上接近均勻分布；在信噪比大于0時，在相位差真實值Δφ＝π/2處有突出的峰值，仿真結果與理論值相當吻合，說明了前述理論推導的正確性。

圖4 A/σN ＝0時測量值概率分布密度

圖5 A/σN ＝2時測量值概率分布密度

圖6 A/σN ＝8時測量值概率分布密度

(2) 相位差標量積累特性的仿真驗證。干涉儀測量的仿真條件同前，在對干涉儀兩個通道間的相位差進行測量值之后，對測量值按照前述的式(11)進行標量積累，積累次數分別取10次、100次和1000次，在不同的信噪比條件下進行仿真，仿真結果如圖7所示，圖7中num代表積累次數。

圖7 標量積累在不同積累次數下測量值隨信噪比的變化曲線

圖7中的3條曲線的總體趨勢相近，但隨著積累次數的增加，曲線變得更加平滑。由圖7可見，當信噪比A/σN ≥2時，通過10次及以上的積累可以得到比較準確的測量值，且與真實值Δφ＝π/2之間的差異較小；但是當信噪比A/σN ＜2時，無論積累次數如何增加，測量誤差都隨信噪比的降低而增大，當信噪比接近0時，測量值趨近于π。由此可見，相位差測量中的標量積累存在明顯的門限效應，當信噪比低于此門限時，無論怎么增大積累次數，也無法使測量誤差減小。這一結果與工程實際結果也是吻合的，因為在工程上進行多次測量求平均來獲得干涉儀通道間更加精確的相位差測量值時，都是在一定的信噪比門限之上進行的積累操作。上述仿真結果也驗證了前述理論分析的正確性。

(3)相位差矢量積累特性的仿真驗證。仿真條件同前，在對干涉儀兩個通道間的相位差進行測量之后，對測量值按照前述的式(16)進行矢量積累，積累次數分別取10次、100次和1000次，在不同的信噪比條件下進行仿真，仿真結果如圖8所示。

圖8 矢量積累在不同積累次數下測量值隨信噪比的變化曲線

在積累次數相同的條件下對比圖8與圖7中的各條曲線可以發現：在相同信噪比情況下，矢量積累的相位差測量誤差比標量積累要小，這一點在低信噪比條件下表現得尤為突出。如前所述，標量積累當信噪比A/σN ＜2時出現門限效應，誤差無法通過積累來減小。而圖8顯示：矢量積累沒有門限效應，通過10次積累在信噪比A/σN ≥1.1時誤差可控制在±0.1π rad以內；通過100次積累在信噪比A/σN ≥0.8時誤差可控制在±0.1π rad以內；通過1000次積累在信噪比A/σN ≥0.4時誤差可控制在±0.1π rad以內。由此可見隨著積累次數的增加，矢量積累能夠在更低的信噪比條件下實現干涉儀通道間相位差的準確測量。

為了進一步展現干涉儀相位差測量中矢量積累的這一特性，下面以積累后誤差控制在±0.1π rad以內為衡量標準，對達到這一精度時所需要的信噪比隨積累次數的變化關系曲線仿真如圖9所示，為了顯示更多的積累次數圖9的橫坐標采用了對數比例形式。

圖9 矢量積累誤差控制在±0.1π rad以內所需信噪比隨積累次數的變化曲線

由圖9可見：在干涉儀通道間的相位差測量中采用矢量積累方法將誤差控制在±0.1π rad以內所需要的信噪比隨著積累次數的增加而逐漸減小。通過1000次積累在信噪比A/σN ≥0.41 ＝-3.9 dB時誤差可控制在±0.1π rad以內；通過10000次積累在信噪比A/σN ≥0.215 ＝-6.7 dB時誤差可控制在±0.1π rad以內；通過100000次積累在信噪比A/σN ≥0.0875 ＝-10.6 dB時誤差可控制在±0.1π rad以內。上述仿真結果不僅驗證了前述理論分析的正確性，同時也體現出了干涉儀相位差測量中矢量積累相對于標量積累的優越性。

7 結論

干涉儀通道間信號的相位差測量的數據處理過程中有標量積累與矢量積累兩種方式，為了深刻揭示這兩種方式的相關特性，本文首先利用信號矢量方法推導出了萊斯分布形成過程中相位分布的概率密度函數，指出了該概率密度分布函數所特有的周期性與對稱性，并利用其特性展示了干涉儀相位差形成過程中的統計特性。在此基礎上，分別從理論上分析了干涉儀相位差測量中標量積累與矢量積累過程中相位差隨積累次數的變化特性，不僅揭示了標量積累過程中當信噪比小于2時所產生的門限效應，而且從理論上證明了矢量積累對真實值的無限逼近過程，展現了矢量積累相對于標量積累在低信噪比條件下的優越性，并通過仿真驗證了理論分析的正確性，從而為干涉儀工程應用中相位差測量的積累方式的選擇與應用提供了重要的理論指導。