基于高斯平滑壓縮感知分數階全變分算法的圖像重構

覃亞麗 梅濟才 任宏亮 胡映天 常麗萍

(浙江工業大學信息工程學院 杭州 310014)

1 引言

壓縮感知(Compressed Sensing, CS)是一種探尋欠定線性系統稀疏解的技術，用于獲取和重構稀疏或可壓縮的信號。該方法利用信號稀疏的特性，在遠小于Nyquist采樣率的條件下，用隨機采樣獲取信號的離散樣本，通過非線性重建算法完美地重建信號[1]。壓縮感知理論基于信號的可壓縮性，通過低維空間、低分辨率和欠Nyquist采樣數據的非相關觀測來實現高維信號的感知，豐富了信號恢復的優化策略，促進了數學理論和工程應用的結合。

常見的壓縮感知算法包括：匹配追蹤(Matching Pursuit, MP)算法[2]、迭代閾值(Iterative Hard Thresholding, IHT)算法[3]和全變分(Total Variation,TV)算法[4]等。以上算法中，TV算法具有較高的重構精度和所需測量值較少的特點，并且能夠很好地保留圖像的邊緣信息，但由于基于變分過程，往往會導致嚴重的階梯效應，使圖像紋理出現缺失而過度平滑。Zhang等人[5]結合TV算法和非局部正則化提出了基于非局部正則化的全變分(Total Variation based on Nonlocal Regularization, TVNR)算法，增強了圖像的細節紋理，但該算法復雜度高，計算時間長，不適用實時處理。劉亞男等人[6]將分數階微分作為正則化項，提出了分數階全變分(Fractional Order Total Variation, FOTV)算法，在低頻分量損失有限的情況下大幅度增加高頻分量，由低分辨率圖像重構得到紋理細節較清晰的高分辨率圖像，但Ma等人[7]的研究指出，在圖像信號中噪聲和結構信息均屬于高頻成分，因此FOTV在提升圖像細節的同時也放大了加性噪聲，導致了該算法在噪聲環境下失效，縮小了該算法的實際應用范圍。目前針對抗噪聲性能的研究工作主要集中在具體實驗裝置改進[8,9]或測量矩陣的優化上[10,11]，大多數圖像重構算法僅考慮了無噪聲條件下的圖像重構[12,13]，而兼顧圖像重構和抗噪聲性能的算法報道較少[14]。在實際成像系統中，具有較好抗噪聲性能的圖像重構算法能有效地提高圖像重構的質量，并且能夠為單像素成像等計算成像實驗系統的圖像重構提供較好的解決方案。

本文較詳細地分析了分數階微分模型和高斯平滑濾波的原理，結合Li等人[15]提出的增廣拉格朗日交替方向算法，給出了一種基于高斯平滑壓縮感知分數階全變分(Fractional Order Total Variation based on Gaussian Smooth, FOTVGS)算法。在求解優化目標函數的過程中，使用交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)[16]將優化目標函數劃分為兩個子問題進行求解，并使用高斯平滑濾波算子更新拉格朗日梯度算子，改進了FOTV的抗噪聲性能，使FOTV具有良好的魯棒性。

2 數學模型

2.1 分數階微分系統的幅頻特性

對滿足狄利克雷條件的函數，其傅里葉變換為

利用傅里葉變換的微分性質

為簡要說明分數階次α對信號幅頻特性的影響，圖1中低頻和高頻均被歸一化，0.5～1.0 Hz表示低頻區，1.0～1.5 Hz表示高頻區，隨著分數階次α增大，分數階微分算子對高頻分量的幅度拉升作用逐漸增強，呈現出非線性增長，同時對低頻分量的幅度有一定的抑制作用。為了提高信號的高頻分量，同時使得低頻信息不至于損失過多，一般選取1～2之間的階數。本文以0.1為間隔，經過多次經驗驗證，當α＝1.7時，重構的圖像能獲得最佳的峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio, PSNR)和結構相似度(Structural SIMilarity, SSIM)，為此本文采用α＝1.7。

圖1 分數階次α 對信號幅頻特性的影響

2.2 高斯平滑

高斯平滑是一種線性平滑濾波，利用2維高斯分布函數生成高斯模板，掃描圖像中的每一個像素，將鄰域內像素的加權平均值作為新圖像中模板中心位置的像素值。2維高斯濾波使用高斯核為x和y兩個1維高斯核的乘積，其形式如式(3)

本文利用其去噪特性，結合拉格朗日交替方向算法，改進分數階全變分算法，增強了算法的抗噪聲性能。其中，高斯平滑的過程如式(4)

3 算法改進與優化

3.1 算法的改進

利用自然圖像具有梯度最小化的先驗信息，通過研究自然圖像在梯度域的稀疏性，傳統的全變分算法為

為減小梯度效應，結合分數階微分，式(5)轉化為

3.2 算法的求解過程

式(8)由于其不可微分，很難得到解析解，本文采用ADMM方法將原始問題轉化成若干個子問題并逐一求解。

(1)w子問題。對于給定u，經過簡化后，與w有關的優化問題表示為

解決w和u兩個子問題，得到每次迭代中的w和u，然后通過式(10)，更新拉格朗日算子ν和λ。再繼續回到上述兩個子問題更新下一次的w和u，如此迭代，便可用較少的測量值重構出完整的圖像。具體算法如表1。

表1 改進算法流程

4 實驗結果和分析

仿真數據源選取斯坦福大學和南加州大學圖像庫的4幅像素為256×256的圖像(Lena, Boats,Barbara, Peppers)作為原始圖像，如圖2所示。

圖2 實驗原始圖

通過仿真實驗，在不同采樣率和不同的加性噪聲下，將5種算法進行定性和定量對比。本實驗中，測量矩陣采用高斯隨機矩陣，分數階次α為1.7，相關參數β和γ的初始化根據Li等人的經驗，分別設定為 26, 27。迭代截止條件等其他參數根據個人經驗值設定。實驗使用的硬件配置為四核Intel?Core(TM)i53317U CPU＠1.70 GHz的PC端，仿真軟件采用MATLAB R2018b。

4.1 無噪聲和噪聲環境下圖像重構的PSNR

本文利用高斯平滑算子更新拉格朗日梯度算子，抑制分數階微分對噪聲的放大。圖3給出了在采樣率為0.1, SNR＝10 dB時，加入高斯平滑算子前后，Barbara圖像的梯度算子ν的變化對比圖。在迭代過程中，梯度算子ν共更新了12次，本文選取了5次作為實驗對比圖。

如圖3所示，隨著算法的迭代進行，算子ν包含的圖像梯度信息逐漸增多，同時彌漫在梯度算子上的噪聲也隨之增大，通過對比圖3(a)和圖3(b)，特別是第2次和第4次迭代，可以發現在加入高斯平滑后，能有效地抑制分數階微分對噪聲的放大，從而提高重構精度。

圖3 高斯平滑算子加入前后，梯度算子更新變化對比圖

本研究組在實際單像素成像系統中，將實驗時外界的環境噪聲和器件的熱噪聲等效成圖像測量值的加性高斯白噪聲模型，測量值的SNR變化范圍為10～35 dB，本文仿真了5種算法在不同采樣率和測量值無噪聲與有噪聲情況下的圖像重構PSNR，通過10次測量求平均PSNR，結果如表2。

表2 在無噪聲(測量值SNR=∞ )和有噪聲情況下5種算法圖像重構峰值信噪比(PSNR: dB)

從表2可知，在相同的采樣率下，本文所提FOTVGS算法有最大的PSNR。在無噪聲(SNR＝∞)情況下，通過對4幅圖像在不同采樣率下的PSNR求平均，FOTVGS算法相比于文獻[6]中的FOTV算法平均PSNR提高0.66 dB，最大提高1.39 dB。在噪聲(SNR為10～35 dB)情況下，對比于只含高斯平滑的全變分(Total Variation with Gaussian Smooth,TVGS)算法，在大噪聲情況(SNR＜25 dB)，文獻[4]中的TV算法會受到噪聲干擾導致性能差于TVGS算法，而在小噪聲情況下(SNR＞25 dB)TV算法性能要好于TVGS算法，根據經驗判斷，可能是大噪聲情況下，平滑算子去除的噪聲較多，而小噪聲情況下，平滑算子使圖像過于平滑導致細節丟失。與無噪聲情況下的結果相反，在噪聲環境下，FOTV算法受噪聲影響較大，文獻[5]提出的TVNR算法性能好于FOTV算法，FOTV算法是最差的圖像重構算法，而改進的FOTVGS算法卻彌補了該算法的缺陷。通過對4幅圖像在不同采樣率下和不同測量噪聲情況下求平均，給出的FOTVGS算法相比于FOTV算法平均PSNR提高3.11 dB，最大提高4.68 dB。

4.2 圖像重構紋理細節分析

圖4展示了在采樣率為0.2時無噪聲(SNR＝∞)，測量值的SNR＝25 dB以及采樣率為0.1，測量值SNR＝10 dB時3種情況下的5種算法對標準Lena圖像的重構。

圖4(a)–圖4(d)顯示了在無噪聲情況下，5種算法重構圖像紋理細節對比，由每幅子圖的右下角展示的帽子環帶的放大圖可以看出，對比于FOTV算法，給出的FOTVGS算法在圖像紋理細節上與其相近，甚至比其有更多的紋理細節。圖4(f)–圖4(j)展示了在測量值SNR＝25 dB時5種算法重構的圖像彌漫著形似椒鹽噪聲的噪聲點，分數階微分對噪聲高頻成分的放大作用導致FOTV算法具有最大的噪聲值。本文給出的FOTVGS算法所重構的圖像相比其他4種算法具有較小的噪聲和較多的紋理細節，可見，FOTVGS算法有較強的抗噪聲性能。圖4(k)–圖4(o)展示了在測量值SNR＝10 dB和采樣率為0.1時，5種算法的圖像重構對比，在此種極端情況下，FOTV算法重構的圖像噪聲點較多，TVGS算法雖然噪聲較小，但同時也導致了圖像過于平滑，如圖4中帽子環帶信息缺失，從中可以看到改進的FOTVGS算法圖像重構效果要好于其他4種，這與表2中給出的圖像評價指標一致。

圖5給出了在采樣率為0.2情況下，5種算法在不同的噪聲水平下的結構相似度(SSIM)變化值，其中測量值的SNR變化范圍為10～35 dB。圖中可知，在采樣率為0.2的情況下，5種算法重構圖像的SSIM隨著噪聲的增加逐漸減小。在相同的SNR下，FOTV算法有最小的SSIM，表明該算法不適合有噪聲情況，本文改進的FOTVGS算法有最大的SSIM，說明該算法提高了原算法(FOTV)的抗噪聲性能。

圖5 采樣率為0.2情況下5種算法的重構SSIM曲線

4.3 圖像重構時間分析

為定量對比5種算法的算法復雜度，圖6給出了5種算法在無噪聲和噪聲環境下(SNR變化范圍10～35 dB)的平均圖像重構時間對比圖。

由圖6可知，與FOTV算法相比，改進的FOTVGS算法在不增加過多的處理時間的情況下，具有FOTV算法提高圖像紋理細節的特性同時克服了其較差的抗噪聲性能。

圖6 無噪聲和噪聲環境下5種算法在不同采樣率下平均重構時間對比圖

5 結論

本文詳細分析了分數階全變分和高斯平滑的數學模型，給出的FOTVGS算法解決了FOTV算法引起的梯度效應導致的圖像紋理細節丟失和FOTV算法抗噪聲性能較差的問題。文中對該算法進行了詳細的分析，采用ADMM算法求解，給出了具體的求解過程，在求解過程中采用高斯平滑算子更新拉格朗日梯度算子，在較好地保留圖像紋理細節的同時提高了原有算法的抗噪聲性能。在算法時間復雜度方面，改進的算法在不增加過多圖像重構時間的基礎上，增強了圖像重構的紋理細節。因此，該算法為單像素成像等計算成像的實際成像系統提供了行之有效的圖像重構方法。