2UPR-RPS型并聯機構精度設計

張 俊 池長城 蔣舒佳

(福州大學機械工程及自動化學院， 福州 350116)

0 引言

以并聯機構為核心功能模塊的混聯加工單元具有大工作空間、高剛度、高靈活性等優點，正逐步應用于復雜零件的高效加工和精密裝配[1-6]。運動精度是衡量該類裝備使役性能的核心指標之一，特別是并聯機構的末端位姿精度，一直是學術界和工業界的研究熱點。一般而言，提高并聯機構末端位姿精度的方法大致可分為運動學標定和精度設計兩類[7-8]。運動學標定是在設備制造后，通過誤差辨識和誤差補償來提高其運動精度；精度設計則是在設備制造前，通過合理分配零部件誤差來提高其運動精度。

圍繞并聯機構的精度設計，一些學者已進行了相關研究。按其研究流程，精度設計一般包括誤差分析和精度綜合兩個環節。誤差分析的前提是誤差建模，即建立機構幾何誤差源與其末端位姿誤差的映射關系。根據所采用的不同數學工具，誤差建模的方法大致有旋量法、一階攝動法、D-H矩陣法和Grassman-Cayley代數法等[9-12]。ZHANG等[10]利用旋量法建立了4RSR-SS型并聯機構的幾何誤差模型，并根據驅動螺旋和約束螺旋分離出可補償誤差源和不可補償誤差源。洪振宇等[11]采用攝動法解析了混聯機械手Trivariant的不可補償誤差源，并借助靈敏度分析揭示了各不可補償誤差源對末端姿態誤差的影響規律。LEE等[12]采用D-H矩陣法建立了三自由度平動并聯機構的幾何誤差模型，得到影響平臺位置精度的27個誤差源，再通過標定仿真實驗對誤差模型的有效性進行了驗證。為明晰誤差源對末端位姿精度的影響，還需在誤差建模的基礎上進行誤差靈敏度分析。常用的誤差靈敏度分析方法有區間分析法、靈敏度系數法、蒙特卡洛法等[13-16]。構件的幾何誤差通常在一定范圍內變化，而非一個固定值，因此區間分析法更適合于揭示誤差源對末端位姿精度的影響規律。

精度綜合是根據幾何誤差源對末端精度的影響，合理確定各誤差源的取值，制定相應的零部件公差和裝配策略，以滿足期望的精度要求。目前，針對并聯機構精度綜合的研究較少。常見的精度綜合方法有最小成本法、正交設計法、遺傳算法等[17-23]。張為民等[20]基于雅可比旋量理論建立了公差數學模型，并通過遺傳算法得到在保證裝配要求下的公差優化分配。劉海濤等[21]基于小攝動原理建立了TriMule混聯機器人的誤差模型，并通過旋量法得到零部件公差與末端位姿的傳遞函數，再以最小成本為目標函數進行了機構的精度綜合，實現了關鍵零部件的公差分配。WANG等[22]利用微分理論建立了3-R2H2S并聯機器人的精度模型，基于誤差獨立性原理仿真出結構參數的誤差分布。YAO等[23]基于最小制造成本建立了3RPS并聯機構的精度綜合模型，通過遺傳算法求解非線性約束函數，得出關節間隙公差、支鏈桿長公差和轉動關節公差等，仿真表明精度綜合滿足位姿精度要求。

本文以2UPR-RPS型并聯機構為研究對象，探索過約束并聯機構的精度設計方法。采用攝動法建立幾何誤差源與機構末端位姿誤差的映射模型，并獲得對末端位姿誤差有影響的幾何誤差源。利用區間理論建立末端位姿精度關于幾何誤差源的靈敏度指標，通過靈敏度分析揭示幾何誤差源對末端位姿誤差的影響程度。以靈敏度指標為權重建立機構的精度綜合模型，獲得各幾何誤差源的最優區間，并據此制定關鍵零部件的精度等級與配合公差。采用Sobol序列的擬蒙卡洛法對精度綜合的結果進行評估，以驗證所提精度設計方法的可行性。

1 誤差建模

1.1 機構描述

以2UPR-RPS型并聯機構為研究對象，開展機構精度設計研究。其機構運動簡圖和虛擬樣機示意圖如圖1所示。

圖1a中，B1和B2是2條UPR支鏈中虎克鉸的幾何中心點，A1、A2和B3是轉動副的幾何中心點，A3是RPS支鏈中球鉸的幾何中心點。靜平臺上△B1B2B3和動平臺上△A1A2A3均為等腰三角形，其外接圓半徑分別為b和a，且bi(i=1,2,3)和ai分別表示點O到點Bi的方向矢量和點O′到點Ai的方向矢量。另外,支鏈體上wi為BiAi方向矢量的單位矢量?；趫D1a所示的拓撲構型，設計2UPR-RPS型并聯機構模塊的虛擬樣機，其結果如圖1b所示。它由靜平臺、動平臺、2條UPR支鏈、1條RPS支鏈組成。在對稱分布的2條UPR支鏈中，虎克鉸與靜平臺連接，轉動副與動平臺連接，且兩支鏈的虎克鉸近架軸線共線，移動副軸線同時垂直于虎克鉸遠架軸線和轉動副軸線。在RPS支鏈中，轉動副與靜平臺連接，球鉸鏈與動平臺連接，移動副軸線通過球鉸鏈幾何中心點和轉動副幾何中心點且垂直于轉動副軸線。

1.2 坐標系定義

為了方便建立該并聯機構的誤差模型，定義如圖2所示的坐標系。

(1)靜平臺連體系{O}。如圖1a所示，原點O在靜平臺的中心點，z軸垂直于靜平臺向下，y軸平行于水平面，x軸滿足右手定則。

(2)動平臺連體系{O′}。如圖1a所示，原點O′在動平臺中心點，z′軸垂直于動平臺向外，y′軸平行于兩轉動副中心線，x′軸滿足右手定則。

(3)UPR支鏈第i條關節坐標系{Oij}(i=1,2；j=1,2,3)。如圖2a所示，{Oi1}為虎克鉸坐標系，原點為虎克鉸近架和遠架公垂線與近架的交點，yi1軸沿近架軸線方向，zi1軸與公垂線重合，xi1軸滿足右手定則；{Oi2}為支鏈i的連體系，原點為遠架與支鏈的交點，xi2軸沿遠架軸線方向，zi2軸沿支鏈i軸線方向，xi1軸滿足右手定則；{Oi3}為支鏈i轉動副坐標系，原點為轉動副中點，xi3軸沿轉動副方向，zi3軸垂直于動平臺，yi3軸滿足右手定則。

(4)RPS支鏈中關節坐標系為{O3j}(j=1,2,3,4)。如圖2b所示，{O31}為支鏈轉動副坐標系，原點為轉動副中心點，y31軸沿轉動副方向，z31軸垂直于靜平臺，x31軸滿足右手定則；{O32}為支鏈體坐標系，原點為轉動副中心點，y32軸沿轉動副方向，z32軸沿支鏈體軸線方向，x32軸滿足右手定則；{O33}為支鏈球鉸坐標系，原點為球鉸第一和第二軸線交點，x33軸沿球鉸第二軸線方向，z32軸沿支鏈3軸線方向，y32軸滿足右手定則；{O34}為動平臺球鉸坐標系，原點為球鉸第三軸線中心點，x34軸與x33軸同向平行，y34與球鉸第三轉動軸線重合，z34滿足右手定則。

2UPR-RPS并聯機構誤差源包括靜平臺、動平臺位置誤差，UPR支鏈、RPS支鏈等關節間的位置誤差和姿態誤差以及支鏈腿長誤差，各幾何誤差源如表1所示。

表1 2UPR-RPS并聯機構的幾何誤差源

1.3 誤差映射模型

理想條件下，動平臺坐標系相對于靜平臺坐標系的姿態變換矩陣R表示為

(1)

式中θ——繞y軸方向的轉動角

ψ——繞x′軸方向的轉動角

c表示余弦函數；s表示正弦函數。

動平臺坐標系原點O′相對于靜平臺坐標系的位置矢量r可表示為

r=bi+qiwi-Rai(i=1,2,3)

(2)

其中

bi=b[cβisβi0]T
ai=a[cαisαi0]T
βi=αi=(-1)iπ/2(i=1,2)
β3=α3=2π

式中qi——支鏈BiAi的長度

當并聯機構存在誤差時，在一階攝動下，點O′在UPR支鏈閉環矢量鏈和RPS支鏈閉環矢量鏈的位置矢量可分別表示為

r+Δr=bi+Δbi+(I+Δθi1×)Ri1[Δli2+
(I+Δθi2×)Ri2((qi+Δqi)e+Δli3)]-
(I+Δθ×)R(ai+Δai) (i=1,2)

(3)

r+Δr=b3+Δb3+(I+Δθ31×)R32(I+Δθ32×)·
[(q3+Δq3)e+Δl33+(I+Δθ33×)R33Δl34]-
(I+Δθ×)R(a3+Δa3)

(4)

其中

e=[0 0 1]T

(5)

式中I——三階單位矩陣

Δθij×——Δθij的反對稱矩陣

Δθ×——Δθ的反對稱矩陣[11]

Rij(i=1,2；j=1,2,3)——第i條支鏈坐標系{Oij}相對于坐標系{Oi(j-1)}的旋轉矩陣

R3j(j=2,3)——第3條支鏈坐標系{O3j}相對于坐標系{O3(j-1)}的旋轉矩陣

將式(3)、(4)進行線性化，再與式(2)相減并忽略高階項，可得到

Δr+Δθ×Rai=Δbi-RΔai+Ri1Δli2+
Δqiwi+Ri1Ri2Δli3+Ri1(Δθi2×Ri2qie)+
Δθi1×qiwi(i=1,2)

(6)

Δr+Δθ×Ra3=Δb3-RΔa3+Δq3w3+
R32R33Δl34+(R32Δθ32)×q3w3+
Δθ31×q3w3+R32Δl33

(7)

將式(6)、(7)兩端分別點乘wi(i=1,2)和w3可得到

(8)

(9)

根據動平臺的運動還受到UPR支鏈產生的沿著UPR轉動副方向的約束力以及RPS支鏈上球鉸幾何中心沿著轉動副方向的約束力。故并聯機構不能產生沿著UPR支鏈約束力單位矢量vi(i=1,2)方向和RPS約束力單位矢量v3方向的移動[24]。

將式(6)、(7)分別點乘vi(i=1,2)和v3，則有

(10)

(11)

將式(8)～(11)化簡并整理成矩陣形式可表示為

JE=Nε

(12)

(13)

(14)

式中Ja——驅動雅可比矩陣

Jc——約束雅可比矩陣

O——零矩陣

εa——投影到驅動矢量上的誤差源

Na——投影到驅動矢量上的誤差系數矩陣

εc——投影到約束矢量上的誤差源

Nc——投影到約束矢量上的誤差系數矩陣

考慮到由誤差模型得到的幾何誤差源εa和εc均對末端位姿精度產生影響，為保證機構具有一定的精度，對末端產生影響的幾何誤差源統一進行精度綜合，以實現零部件誤差的精度設計。

2 靈敏度分析

在制造和裝配過程中，幾何誤差源通常在某個范圍內變化而非一個固定值。因此，將幾何誤差源表示為區間向量形式，再借助區間分析理論對誤差源進行靈敏度分析。

當并聯機構處于非奇異位置時，式(12)可整理為

E=Gε

(15)

式中J-1——J的廣義逆矩陣

(16)

將式(16)表示為區間向量形式，則式(15)可轉變為

(17)

(18)

其中

未來幾十年，是江蘇省全面建成小康社會、開啟全面建設社會主義現代化新征程的關鍵時期，也是江蘇省提升標準水平、高質量建設制造業強省的重要階段。做好江蘇省制造業標準化工作提升這項工作，意義重大，任務艱巨，時不我待。

(19)

其中

(20)

又由于機構的位姿誤差隨機構位形變化而變化，則可定義其在任務空間內的均值為靈敏度指標

(21)

式中V——任務空間體積

Kr,k——第k個誤差源對位置誤差Δr的靈敏度指標

Kθ,k——第k個誤差源對姿態誤差Δθ的靈敏度指標

設定機構尺寸參數和任務空間如下：動平臺半徑a=90 mm,靜平臺半徑b=160 mm，最短腿長qmin=135 mm,最大腿長qmax=315 mm，z∈[110 mm,305 mm],θ∈[-30°,40°],ψ∈[-30°,30°]。

將式(16)的28個幾何誤差源從1～28進行排序，經計算得到幾何誤差源對末端位置誤差Δr的靈敏度指標和姿態誤差Δθ的靈敏度指標，其結果分別如圖3、4所示。

從圖3、4可知，末端位置對Δβi1、Δα31和Δα32較為敏感，其中，Δβi1為虎克鉸近架繞y軸的轉角誤差，Δα31為RPS轉動副的繞x軸的轉角偏差、Δα32為RPS支鏈轉動副與絲杠的垂直度誤差。即這3項誤差源對動平臺位置精度產生較大的影響，因此在精度綜合時應該將其進行縮緊處理。末端位置誤差對Δx3a和Δx34不敏感，其中，Δx3a為動平臺上半徑a3沿x方向的尺寸誤差，Δx34為球鉸第一和第二轉軸的裝配誤差。這些誤差源對末端位置精度產生的影響較小，則在精度綜合時應對其進行放松處理。

類似地，姿態誤差對幾何誤差源Δβi1、Δα31和Δα32較為敏感，則在精度綜合時應該對其進行縮緊處理；末端姿態誤差對Δx34不敏感，說明該誤差源對姿態影響很小，則在精度綜合時應該將其進行放松處理，以降低制造成本。

3 精度綜合

3.1 均勻設計法

由于在工作空間內進行所有位姿點的精度綜合計算量較大，故本節采用均勻設計法來為精度綜合提供合理的位姿點。采用極差法對并聯機構的3個位姿參數進行水平劃分和均勻設計表選擇，其步驟如下：

(1) 設定幾何誤差源中位置誤差為0.05 mm,姿態誤差為0.025°,取表2中的ψ、θ和z任一位姿參數在其范圍內變化，分別計算末端位置誤差的極差值ΔrR和姿態誤差的極差ΔθR，然后取兩者極差值中的最大值為水平劃分因子λ，其計算結果如表2所示。

表2 位姿誤差的極差值和水平劃分因子

(2)以ψ的水平劃分因子為基準，并考慮均勻設計的試驗次數，取其水平數Lψ為13，則計算得到z的水平數Lz為26，θ的水平數Lθ為21(其中Lz=(λz/λψ)Lψ、Lθ=(λθ/λψ)Lψ，λψ為ψ的水平劃分因子，λz為z的水平劃分因子)。據此將θ在[-30°,40°]，ψ在[-30°,30°]以及z在[110 mm,305 mm]內分別等間隔且均勻地分成21、13、26份。

表3 位姿參數均勻設計

3.2 精度綜合模型

由式(17)可得出末端位置誤差末端和姿態誤差模型為

(22)

由式(22)可得到

(23)

(24)

根據式(24)可得到Δr和Δθ的標準差為

(25)

(26)

式中δr,k——第k個誤差源獨立作用下的局部位置誤差

δθ,k——第k個誤差源獨立作用下的局部姿態誤差

根據各個幾何誤差源對末端的位姿誤差影響程度不同，本節引入位置誤差靈敏度指標和姿態誤差靈敏度指標為分配權重，則有

(27)

將式(27)代入式(26)，化簡可得

(28)

當給定末端精度條件，求解式(28)，并取其中最小值為第j個位姿下的第k個誤差源的分配值，即

(29)

為得到最終精度綜合結果，取所有位姿點下，誤差源分配值的最小值為第k個誤差源的精度綜合最優解，即

(30)

將式(30)的誤差源寫成區間形式，則式(29)變為

(31)

設定末端精度條件為Δr=0.15 mm，Δθ=0.1°，并根據均勻設計表的位姿點和精度綜合模型得到幾何誤差源的區間，其結果如表4所示。精度綜合得到的誤差源區間非零部件的制造公差，而是加工和裝配共同作用達到的要求，故表5的誤差源區間僅作為樣機零部件公差設計和裝配的參考。

表4 幾何誤差源區間

根據精度綜合結果，對并聯機構主要運動副進行精度等級劃分和配合公差設計。其中主要的配合零部件有：各支鏈絲杠軸與支撐座軸承的配合、UPR虎克鉸近架軸與軸承座軸承配合、UPR虎克鉸遠架軸與近架孔軸承配合、UPR轉動副軸與關節座軸承配合、RPS轉動副軸與軸承座軸承配合、RPS支鏈球軸架與對應軸承配合、RPS球副軸與關節座軸承配合。在保證降低成本和加工精度等級的條件下，制定了各零部件的精度等級和配合公差，如表5所示。其余非重要零部件的配合根據工程經驗按IT 8～IT 11的精度等級制定。

表5 關鍵零部件的精度等級及配合公差

4 精度預估

為驗證精度綜合方案的合理性，采用Sobol序列[25-26]的擬蒙特卡洛法進行精度預估，其中Sobol序列的產生原理如下：為產生序列x1,x2,…,xi(xi∈[0,1])，則需構造方向數i

(32)

式中mi——小于2i的正奇數

(33)

當i>d時，則有

(34)

式中 ⊕——十進制轉換為二進制的異或運算

通過系數ai和式(32)可求得

i=2a1mi-1⊕22a2mi-2⊕…⊕2dadmi-d⊕mi-d

(35)

由式(35)可得到Sobol序列的第i個數為

xi=b1v1⊕b2v2⊕…⊕bivi

(36)

式中bi——i的二進制表示

為加快序列產生速度，將式(36)修正為

xi+1=xi⊕vi

(37)

根據式(32)～(37)可得到該并聯機構的28個幾何誤差源的Sobol序列。

采用Sobol序列的擬蒙特卡洛法進行位姿誤差分析，其步驟如下：

(1)在[0,1]內產生28個Sobol序列樣本χj，其中χj=((x1)j,(x2)j,…，(x28)j)，j=1,2,…,M，M為位姿樣本數。

(2)根據表4幾何誤差源的區間及其誤差源的公差，將28個第j位姿點的Sobol序列樣本轉換為第j位姿點的幾何誤差源的樣本ζj，其中ζj=((ε1)j,(ε2)j,…,(ε28)j)。

(3)在并聯機構工作空間內隨機且均勻產生位姿樣本數M為2 000個，在每個位姿點處隨機產生步驟(2)的幾何誤差源樣本序列代入誤差映射模型并經過計算得到末端的位姿誤差。

依據上述步驟，得到末端位置誤差和姿態誤差分布，其結果分別如圖5、6所示。

從圖5、6可知，基于Sobol序列的擬蒙特卡洛法得到的位置誤差普遍集中在0.15 mm內且Δr<0.15 mm的概率為99.95%；姿態誤差普遍集中在0.1°內，且Δθ<0.1°的概率為99.95%，仿真結果表明精度設計達到了預期的精度要求。

5 結論

(1)采用一階攝動法建立了2UPR-PRS型并聯機構的誤差映射模型，得到影響末端位姿精度的幾何誤差源。

(2)基于區間分析理論建立幾何誤差源的靈敏度指標，據此得出幾何誤差源對末端位姿誤差的影響程度，其中末端位姿誤差對誤差源Δβi1、Δα31和Δα32較為敏感。

(3)以幾何誤差源的靈敏度指標為分配權重建立2UPR-RPS型并聯機構的精度綜合模型，并制定了關鍵零部件精度等級及配合公差。

(4)采用Sobol序列的擬蒙特卡洛法進行了機構精度預估，結果表明，位置誤差小于0.15 mm的概率為99.95%，姿態誤差小于0.1°的概率為99.95%，滿足預設的末端位姿精度要求，從而驗證了該精度設計方法的可行性和有效性。