基于球桿儀的數控機床幾何誤差辨識與建模

楊洪濤 張宇 李莉 馬群 汪珺

摘 要：針對現有激光干涉儀的數控機床幾何誤差辨識與建模，操作過程復雜、建模效率低等問題，提出了一種新的基于球桿儀的數控機床幾何誤差辨識與建模方法。利用三平面圓弧軌跡測量法和球桿儀對誤差進行測量，建立了球桿儀讀數與機床各平面內對應幾何誤差之間的辨識模型，實現了幾何誤差辨識，并建立了機床綜合誤差預測模型。同時利用激光干涉儀建立比對實驗裝置，測量出機床的實際幾何誤差。分別將利用球桿儀辨識出的幾何誤差數據和激光干涉儀測量的誤差分別代入機床綜合誤差預測模型進行對比驗證。從對比結果中可以看出，利用兩種方法建立的機床綜合誤差模型差別在3.0μm，可以滿足機床誤差補償的要求。

關鍵詞：球桿儀;幾何誤差辨識;綜合誤差預測模型;比對結果

中圖分類號： TG806? 文獻標志碼：A

文章編號：1672-1098（2021）01-0018-06

收稿日期：2020-07-13

基金項目：國家自然科學基金資助項目（51675004）;安徽高校自然科學研究基金資助項目（KJ2019A0844）

作者簡介：楊洪濤（1972-），男，福建莆田人，教授，博士，研究方向：精密測試技術、儀器精度理論及應用。

A Geometric Error Identification and Modeling? of CNC Machine Tool Based on Double Ball-bar

YANG Hongtao1，2，ZHANG Yu1，2，LI Li1，2，MA Qun1，2，WANG Jun3

（1. School of Mechanical Engineering， Anhui University of Science and Technology ， Huainan Anhui? 232001， China;2. Anhui Key Laboratory of Mine Intelligent Equipment and Technology， Anhui University of Science and Technology， Huainan Anhui? 232001， China;3. School of Advanced Manufacturing Engineering， Hefei University， Hefei Anhui? 230001， China）

Abstract：To solve the problems of the complicated operation process and the low efficiency of geometric error identification and modeling of computer numerical control （CNC） machine tools with the existing laser interferometers， a new method of geometric error identification and modeling was proposed for CNC machine tools based on double ball-bar. The identification model was established of the relationship between the double ball-bar reading and the corresponding geometric error in each plane of the machine tool with the three-plane arc trajectory measurement method and the double ball-bar utilized to measure the error， realizing the geometric error Identification and the establishment of a comprehensive error prediction model of the machine tool and a comparison experimental device? with the laser interferometer used to measure the actual geometric error of the machine tool. The geometric error data identified by the double ball-bar and the error measured by the laser interferometer were respectively substituted into the comprehensive error prediction model of the machine tool for comparison and verification. From the results， it is found that the difference between the two is 3.0 μm， which meets the requirements of the machine tool error compensation.

Key words：double ball-bar; geometric error identification; comprehensive error prediction model; comparison results

數控機床在機測量系統是由機床本體和觸發測頭組成，通過測頭產生觸發信號，觸發機床本身的三維坐標讀數裝置進行讀數，實現被測點的三維坐標測量。如果不提高測量系統精度，直接利用機床與測頭相結合開展測量，不滿足測量系統精度必須三倍高于被測零件精度的要求，因此必須利用誤差分離方法對機床各項幾何誤差進行測量，建立高精度綜合誤差預測模型進行測量誤差補償[1]。目前數控機床幾何誤差辨識方法主要采用雙頻激光干涉儀、球桿儀、平面光柵等設備[2]。利用激光干涉儀每測量1個誤差都需更換光學鏡組且光路不易調整，效率低，光學組件價格昂貴[3]。球桿儀主要通過測量常規的三平面圓弧軌跡便可分離與辨識包括滾轉角誤差在內的21項幾何誤差[4-5]，但存在辨識精度問題。近年來，國內外學者提出了很多基于球桿儀辨識空間誤差方法，主要針對機床旋轉軸的誤差辨識[6-9]，而對直線軸誤差辨識研究缺乏完善的實驗結果對比驗證[10]。對于機床綜合誤差建模，大部分采用激光干涉儀測量各單項誤差，進而利用微分法、多體系統理論等方法建立綜合誤差預測模型[11-13]，但利用球桿儀測量辨識的幾何誤差建立機床綜合誤差建模研究較少[14]。為了提高基于球桿儀的機床幾何誤差辨識精度和綜合誤差建模精度，本文采用球桿儀的三平面圓弧軌跡法，建立了球桿儀讀數與數控機床各平面內幾何誤差項之間的模型，辨識出各項幾何誤差值，進而利用辨識數據建立機床綜合誤差預測模型，并開展對比驗證實驗。

1 ?球桿儀數控機床幾何誤差辨識方法

1.1 數控機床幾何誤差源

本文以XYTZ型立式加工中心為研究對象，如圖1所示，三軸數控機床的機床部件沿著Y軸運動時，共有6項幾何誤差，三軸共產生18項位置相關幾何誤差，加上3個垂直軸之間的3項垂直度誤差，共有21項幾何誤差，如表1所示。

1.2 球桿儀的工作原理

本文采用三平面圓弧軌跡測量法和球桿儀對誤差進行測量[15]，球桿儀的測量原理示意圖如圖2所示。令工作臺安裝基座上吸附的精密球中心坐標為O（0，0，0），在主軸安裝基桿上吸附的精密球中心坐標為P（x，y，z），當工作臺進行理論圓插補運動時，吸附在主軸上的精密球中心坐標由于機床幾何誤差影響變為P′（x′，y′，z′），設 Δx，Δy和Δz分別是P點與P′點之間誤差在X、Y、Z方向上的分量。

由于幾何誤差的存在，球桿儀的實際長度可以表示為

（r+Δr）2=（x+Δx）2+（y+Δy）2+（z+Δz）2 （1）

式中：Δx，Δy，Δz都在微米級，忽略其二次項，可得球桿儀實際長度變化可以計算如下

Δr=1r（Δx×x+Δy×y+Δz×z）（2）

式中：Δr是球桿儀讀數，即球桿長變化量。該式即為球桿儀測量數控機床幾何誤差的理論基礎，由此可以推導出數控機床的誤差分離模型。

三平面圓弧軌跡測量法即在數控機床三正交平面進行，如圖3所示，球桿儀在XY平面上進行檢測時，機床主軸Z方向停止運動。將球桿儀水平安裝，球桿儀以工作臺側支座上支承的精密球中心為回轉中心，按照數控指令完成半徑為r的圓弧插補進給，順時針和逆時針各1次，同理，在YZ平面和ZX平面上的進行檢測時，主軸X和Y方向停止運動。其中，在XY平面進行360°（越程45°）圓弧測量，在ZX平面、YZ平面分別進行220°（越程2°）圓弧測量[16]。此時球桿長度變化量Δr即為該平面內綜合誤差，再將球桿儀的檢測數據代入幾何誤差辨識方法建立的球桿儀讀數與機床各平面內對應幾何誤差之間的辨識模型，實現幾何誤差辨識。

1.3 幾何誤差辨識方法

利用4×4齊次坐標變換矩陣HTM（Homogeneous Transformation Matrix），對數控機床幾何誤差分量進行辨識。

Y軸的HTM可以寫成

Trans（y）=1000010ym00100001（3）

忽略高階項，Y軸幾何誤差的HTM可以寫成

E（y）=1-εz（y）εy（y）δx（y）εz（y）1-εx（y）δy（y）-εy（y）εx（y）1δz（y）0001（4）

根據式（3）和（4）可得到床身R到Y軸坐標系的包含各幾何誤差的HTM

RTT=Trans（y）×E（y）=??? 1-εz（y）εy（y）δx（y）εz（y）1-εx（y）δy（y）+ym-εy（y）εx（y）1δz（y）0001（5）

使用相同的方法，可以分別建立Y軸和X軸，X軸和工件W，Z軸RZT，主軸S和Z軸，刀具T與主軸S之間的HTM，同理，刀具T相對于機床床身R的HTM可以如下表示，它們用于建立機床的整個運動學模型。

RwT=RYT·YXT·XwT·TW（6）

RTT=RZT·ZST·STT·Tt （7）

式中：TW工件理論加工點在工件坐標系中的位置坐標矢量，Tt為刀具坐標系T中機床刀具尖端的位置坐標矢量。

根據式（6）和式（7）可得這兩個矩陣的差值即為工件和刀尖之間的相對位移誤差矩陣，即機床的幾何誤差矩陣如式（8）所示。

WTT=RTT-RWT（8）

在其求解過程中，舍去誤差二次項及高次項，得到簡化的數控機床沿X、Y、Z坐標軸運動的幾何誤差模型，并分別代入式（2）中，再經過一系列簡化計算，得到1個有12個系數的方程，如式（9）所示，這些系數與球桿儀長度的偏差Δr有關。

Δr=1rxdxz（zr）2-z·γx，z+2d·dxz（zr2）-Xw+YW2dyx（xr2）+2dxy（yr2）-ZW2dzx（xr2）+eyy（yr）-x-dxx（xr）-dxy（yr）2+ydyz（zr）2-z·γy，z-2d·dyz（zr2）-XW2dxy（yr2）+2dyx（xr2）-YW+ZWexx（xr）+2dzy（yr2）-2x·dxy（yr2）-dyx（xr）2+x·γx，y-y-dyy（yr）+zz+dzz（zr）+d+XWeyy（yr）+2dzx（xr2）-YW2dzy（yr2）+exx（xr）-ZW+x·eyy（yr）-dzx（xr）2-dzy（yr）2（9）

式中：dxx，dyy，dzz，dyx，dzx，dzy，dxy，dxz，dyz，exx，eyy，ezz為未知數; γx，z，γy，z，γx，y為三個垂直度誤差，由球桿儀測量得出;x，y，z，Δr分別為各測量點的理論坐標值和徑向誤差值;r為測量半徑。只要求出這些系數，即可計算不同位置的各項幾何誤差值。

2 數控機床綜合誤差預測模型

根據齊次坐標變換原理建立的綜合誤差模型[17]，考慮到3個軸的滾轉角誤差數值非常小且對數控機床在機測量系統的總體誤差影響較微小，所以忽略滾轉角誤差的影響，則可簡化模型為

Δx=-δx（x）-δx（y）+δx（z）-yεz（x）-zεy（x）-? zγx，z+yγx，yΔy=-δy（x）-δy（y）+δy（z）+zεx（y）-zγy，zΔz=-δz（x）-δz（y）+δz（z）（10）

式中：δx（x）為X軸定位誤差，δy（x），δz（x）分別為X軸運動時Y和Z向的直線度誤差，εz（x），εy（x）分別為X軸的偏擺角和俯仰角誤差;γx，y、γy，z、γx，z分別為X軸和Y軸之間、Y軸和Z軸之間、X軸和Z軸之間的垂直度誤差。

根據式（10）建立數控機床綜合誤差預測模型

E（x，y，z）=Δx2+Δy2+Δz2（11）

3 對比驗證實驗

以沈陽機床VMC850E三軸立式加工中心為數據采集對象，分別采用雷尼紹公司的QW20球桿儀和激光干涉儀XL-80對同1臺機床進行測量。該機床XYZ三軸行程分別為800mm、500mm、540mm，試驗中使用的球桿儀和激光干涉儀分別具有0.1μm 和1nm的分辨率，實驗裝置組成如圖4所示。

3.1 實驗方案設計

QW20球桿儀的分辨率為0.1μm，桿的長度取100mm，即測量空間范圍為200mm×200mm×200mm，用球桿儀三平面圓弧軌跡法分別測量機床在XY平面、YZ平面、ZX平面的綜合幾何誤差。將QW20球桿儀安裝在工作臺上并在機床空載狀態下進行測量，使機床主軸以480mm/min的速度在各平面內作半徑為100mm的圓弧軌跡插補運動，順時針和逆時針各1次，每個平面共進行3次測量，其平均值作為球桿儀檢測的最終值，以減少隨機誤差。如圖4（a）所示為球桿儀現場檢測圖。以XY平面機床順時針運行為例，QW20球桿儀每旋轉10°選取1次數據，如表2所示為不同位置的球桿儀測量數據。

以機床各單項幾何誤差為例進行模型驗證，利用激光干涉儀在球桿儀相同檢測位置進行各單項誤差檢測，間隔5mm采集1次數據，每個測點均單向測量3次。如圖4（b）所示為激光干涉儀現場檢測圖。

3.2 幾何誤差辨識與建模效果驗證

為驗證上述幾何誤差辨識結果的正確性，以機床X軸定位誤差和X軸Z向直線度誤差為例，將利用球桿儀辨識出的幾何誤差數據和激光干涉儀測量出機床的實際幾何誤差進行比較，結果如圖5所示。圖中兩條曲線表示利用該方法辨識結果計算得到的誤差值，兩組離散點表示激光干涉儀測量值的均值。激光干涉儀測量各直線軸滾珠絲杠的幾何誤差，且測量精度高，圖5中，由于機床本身存在的缺陷，激光干涉儀測得X定位誤差不連續，有很大的跳躍和下降，而球桿儀辨識方法無法對機床本身存在的缺陷進行預測，呈光滑的曲線。因此圖中激光干涉儀得到的結果比球桿儀辨識方法得到的結果波動更大。

從圖5中可以看出，通過球桿儀辨識得到的幾何誤差值與激光干涉儀檢測出的相應幾何誤差值的變化趨勢基本一致，除去粗大誤差外，兩者間的偏差均在2.7μm以下，平均偏差僅為1.5μm，從而驗證了該數控機床幾何誤差辨識的正確性。

為了進一步驗證該數控機床幾何誤差辨識的效果，分別將利用球桿儀辨識出的幾何誤差數據和激光干涉儀測量的誤差代入機床綜合誤差預測模型進行對比驗證。將兩者數據分別代入式（11）中，得到各自數控機床綜合誤差預測值E（x，y，z），為了方便觀察，取測量空間范圍200mm×200mm×200mm正方體對角線上點空間坐標（x，y，z）的預測數據，其中x=y=z=i，0≤i≤200，同時剔除對角線上由于機床本身存在的缺陷而造成粗大誤差外的部分數據，其預測誤差結果比較如圖6所示。

從圖6中可以看出，兩者預測結果的變化趨勢基本一致，兩者間的偏差均在3.0μm以下，平均偏差僅為1.5μm，從而驗證了該數控機床幾何誤差辨識與建模方法的正確性。

5 結論

（1）針對數控機床利用齊次坐標變換矩陣分析位置相關幾何誤差模型，建立了待辨識誤差系數與球桿儀測得的徑向誤差值之間的辨識方程組。進行了基于球桿儀的數控機床幾何誤差辨識與建模。

（2）利用球桿儀辨識出的幾何誤差代入建立的綜合誤差預測模型，與激光干涉儀的綜合誤差建模的結果進行對比，結果表明該數控機床幾何誤差辨識與建模方法具有較高的準確性，最大辨識誤差為3.0μm，且成本低，耗時短，操作簡便。

參考文獻：

[1] 董澤園， 李杰， 劉辛軍， 等. 數控機床兩種幾何誤差建模方法有效性試驗研究[J]. 機械工程學報， 2019，55（5）：137-147.

[2] 王金棟， 郭俊杰， 費致根， 等. 基于激光跟蹤儀的數控機床幾何誤差辨識方法[J]. 機械工程學報， 2011，47（14）：17-23.

[3] 楊婧， 馮其波. 數控機床空間幾何誤差測量研究進展[J]. 儀器儀表學報， 2017，38（8）：1 901-1 911.

[4] 陳光勝， 李郝林. 多軸數控機床轉臺誤差快速檢測與分離[J]. 儀器儀表學報，2013， 34（11）：2 499-2 505.

[5] 李歡玲. 基于多體理論的數控機床幾何誤差補償技術的研究[D]. 南京：南京航空航天大學， 2009.

[6] ?CHEN J X，LIN S W，ZHOU X L，et al. A ballbar test for measurement and identification the comprehensive error of tilt table[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture， 2016 （103）：1-12.

[7] 馮剛， 付國強， 孫磊， 等. 多軸數控機床轉臺幾何誤差辨識新方法[J]. 浙江大學學報（工學版）， 2015， 49（11）：2 083-2 091.

[8] 田文杰， 郭龍真， 劉海濤. 數控機床幾何誤差源的快速辨識方法[J]. 天津大學學報（自然科學與工程技術版）， 2016，49（2）：171-177.

[9] 徐凱， 李國龍， 何坤， 等. 基于球桿儀的直線軸位置相關誤差辨識研究[J]. 儀器儀表學報， 2019，40（5）：1-9.

[10] 耿金華. 數控機床切削力誤差建模及三維熱變形臨界點分析與應用[D]. 淮南：安徽理工大學， 2015.

[11] CHEN J X ， LIN S W ， ZHOU X L ， et al. A comprehensive error analysis method for the geometric error of multi -axis machine tool[J]. International Journal of Machine Tools & Manufacture， 2016（103）：56-66.

[12] 楊澤青， 李增強， 劉奇， 等. 立式加工中心綜合誤差建模及實驗分析[J]. 現代制造工程，2019（10）：6-13.

[13] 趙幗娟，張雷，盧磊，等.四軸拋光平臺綜合誤差建模及分析[J].吉林大學學報，2014，44（6）：1 676-1 683.

[14] 楊洪濤， 龐勇軍， 李莉，等. 數控機床XY工作臺動態定位誤差分析與建模[J]. 組合機床與自動化加工技術， 2019（2）：41-44.

[15] YANG SEUNG-HAN，LEE HOON-HEE，LEE KWANG-IL.Faceand Body-Diagonal Length Tests using a Double Ball-Bar for Squareness Errors of Machine Tools[J].International Journal of Precision Engineering & Manufacturing，2018，19（7）：1 039-1 045.

[16] ZHONG L，BI QI，WANG Y.Volumetric accuracy evaluation for five-axis machine tools by modeling spherical deviation based on double ball-bar kinematic test[J].International Journal of Machine Tools and Manufacture，2017 （122）：106-119.

[17] 楊建國， 范開國， 杜正春. 數控機床誤差實時補償技術[M]. 北京： 機械工業出版社， 2013：62.

（責任編輯：李 麗）