基于非線性預測濾波算法的疲勞裂紋擴展預測

顧震華 李 可 顧杰斐 宿 磊 蘇文勝

1.江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，無錫，2141222.江南大學機械工程學院，無錫，2141223.江蘇省特種設備安全檢驗監督研究院無錫分院，無錫，214071

0 引言

疲勞裂紋是引起工程結構失效的主要原因之一，如果不能通過有效的手段監測和預測其擴展過程，那么損傷累積到一定程度就極易造成整體結構的突然失效，導致嚴重事故。在工程中經常使用Paris公式[1]進行疲勞裂紋擴展預測及壽命預估。賈法勇等[2]基于Paris公式研究了兩種工程結構用鋼的疲勞裂紋擴展過程，高旭東等[3]使用Paris公式對腐蝕環境下的海底管道的裂紋擴展進行了預測。張莉等[4]通過有限元方法計算裂紋尖端塑性應變能，較好地預測了2024鋁合金的疲勞裂紋擴展壽命。董赟等[5]利用ANSYS軟件數值模擬了鋼標準件的疲勞損傷過程，得到了其疲勞壽命和裂紋的擴展路徑。雖然基于數值方法的疲勞裂紋擴展預測精度較解析方法有所提高，但存在建模復雜、計算效率偏低等問題，阻礙了其在工程實際中的應用。

隨著測試技術的發展，越來越多的學者將各種結構健康監測技術應用于疲勞裂紋擴展研究。王向紅等[6]將聲發射技術應用于葉片裂紋擴展監測。鄭丁午等[7]將光纖Bragg光柵傳感器應用于單邊缺口鋁合金試件疲勞裂紋監測與擴展預測。高紅俐等[8]基于圖像處理技術研究了疲勞裂紋擴展長度的在線測量方法。由于Lamb波監測技術具有對結構無損、對裂紋損傷敏感的特性，因此成為了裂紋擴展監測的重要手段。HE等[9]提取了損傷Lamb波信號幅值、相位等特征，實現了對疲勞裂紋長度的定量化表征。

數據驅動的疲勞裂紋擴展預測方法是當前研究的熱點。WANG等[10]結合擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)以及無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter，UKF)算法，對Paris模型參數進行了估計，并對裂紋擴展進行了預測。HE等[11]提出了一種結合Lamb波有限元仿真分析和貝葉斯更新的裂紋擴展預測方法。袁慎芳等[12]將粒子濾波(particle filter，PF)算法應用于疲勞裂紋擴展預測，研究結果證明該方法可以有效提高預測精度。然而在PF算法中最優的粒子數目往往難以選擇，并且過多的粒子會降低計算效率，影響裂紋擴展預測的實時性。

非線性預測濾波(nonlinear predictive filtering，NPF)是一種基于非線性系統模型的濾波方法，可以用來對系統未知模型誤差進行實時估計并修正模型。郁豐等[13]將NPF算法應用于衛星姿態估計，獲得了衛星姿態和角速率的高精度估計結果。冀紅霞等[14]基于改進的NPF算法對探測器的位置和速度信息進行估計，該算法對模型的不確定性具有一定的適應性。

工程結構的疲勞裂紋擴展受到內部材料和外部環境因素的影響，通常表現出一定的不確定性。而Paris模型無法將其考慮在內，因此難以對疲勞裂紋擴展進行高精度預測。本文提出一種基于NPF算法的結構疲勞裂紋擴展預測方法。

1 NPF算法的基本原理

NPF算法是由CRASSIDIS等[15]于1997年提出的，其狀態估計方程和輸出估計方程如下：

(1)

(2)

狀態觀測方程(式(2))以離散化的形式表示如下：

(3)

J(t)為成本函數，由兩項罰函數組成，第一項為估計值和觀測值之間殘差加權平方，第二項為模型誤差d(t)的加權平方：

(4)

W∈Rq×q

式中，δt為采樣時間間隔；R為測量噪聲方差矩陣;W為模型誤差加權矩陣。

由于W的取值很難得到解析解，因此通常依靠經驗選取[16]。式(4)中最小化第一項使得狀態估計值逼近真實值，最小化第二項使得加入狀態模型中的模型誤差校正量盡可能小。

最小化成本函數J(t)得到模型誤差d(t)：

(5)

(6)

(7)

λ(δt)為對角矩陣,對角線上的元素

(8)

(9)

i=1,2,…,m

式中關于Lgj的李導數為

(10)

j=1,2,…,q

將式(5)代入式(1)從而將狀態估計從tk時刻傳遞到tk+1時刻。

2 基于NPF的疲勞裂紋擴展預測

2.1 狀態空間模型

本文基于傳統的Paris公式建立疲勞裂紋擴展的狀態空間模型[1]：

(11)

(12)

式中，a為裂紋長度;da/dN為單位循環周期裂紋擴展速率;C和m為材料參數;ΔK為應力強度因子幅；Δσ為應力幅;Y為幾何形狀修正系數。

at=at-1+Ct-1(ΔKt-1)mΔN+wt-1

(13)

logCt=logCt-1+qt-1

(14)

式中，at-1為t-1時刻裂紋長度；logCt-1為t-1時刻材料參數；ΔKt-1為t-1時刻應力強度因子幅;ΔN為從t-1時刻到t時刻所經歷的疲勞循環周期；w、q分別表示裂紋擴展過程和材料參數的不確定性，均為零均值的高斯白噪聲。

定義狀態向量Xt=(at,logCt)T,狀態空間模型即為

(15)

2.2 觀測空間模型

采集試件對應不同裂紋長度的Lamb波監測信號，如圖1所示，截取t1時刻(S0波包起始時刻)至t3時刻(前半S0波包后首個波谷對應時刻)的部分S0波包[19]，然后計算所提取信號段的皮爾遜距離作為損傷指數(damage index, DI)：

(16)

圖1 Lamb波信號提取示意圖Fig.1 Schematic diagram of Lamb wave signalextraction

通過擬合得到IDI與裂紋長度a的關系，建立觀測向量與狀態向量的映射h(·):

(17)

2.3 疲勞裂紋擴展預測流程

基于非線性預測濾波算法的疲勞裂紋擴展預測流程如下。

(4)計算模型誤差項dt-1：

(18)

(5)通過式(15)校正狀態空間模型及輸出預測值:

(19)

3 實驗驗證

本節通過Q235鋼試件的單邊疲勞裂紋擴展實驗驗證所提出預測方法的有效性。如圖2所示，試件的尺寸為300 mm×45 mm×2 mm，使用線切割在中線處預置3 mm×0.2 mm×2 mm初始垂直缺陷來控制裂紋擴展方向。

圖2 試件尺寸Fig.2 The specimen size

如圖3所示，實驗系統由疲勞試驗機(MTS Landmark)、信號發生器(優利德UTG2025A)、功率放大器(Krohn-Hite 7602M)、信號接收儀(橫河DL350)組成。PZT壓電陶瓷傳感器為P51材料，尺寸為φ10 mm×2 mm。試件承受最大載荷為16 kN，應力比為0.1，加載頻率為6 Hz的正弦疲勞載荷。依據疲勞裂紋擴展早期慢、中期平穩、后期快的特點，在0至24 000循環周期、24 000至48 000循環周期和48 000循環周期以后分別間隔4000、2000和1000周期測量裂紋擴展長度及Lamb波信號。在試件裂紋附近表面處涂上適量白色修正液便于觀測，疲勞裂紋通過顯微鏡投影在筆記本電腦屏幕上并輔以標尺測量。

圖3 疲勞裂紋擴展監測實驗平臺Fig.3 The experimental platform for fatigue crackgrowth monitoring

3.1 材料的Paris公式參數

通過4組相同Q235單邊裂紋試件在上述條件下進行疲勞試驗，得到疲勞循環周期-裂紋長度曲線如圖4所示，Y的取值采用下式計算[20]:

圖4 疲勞循環周期-裂紋長度曲線Fig.4 Curves of fatigue cycles versus crack lengths

(20)

式中，a為疲勞裂紋長度；b為試件的寬度。

表1 4個試件的材料參數log C和m

3.2 基于Lamb波的裂紋觀測模型

在每次進行裂紋長度觀測以后，采集Lamb波測量信號。本次實驗中使用中心頻率為220 kHz的5波峰正弦調制信號作為激勵信號，電壓幅值為10Vpp，通過功率放大器放大100倍施加在PZT1上，PZT2為信號接收端。信號接收儀的采樣頻率為10 MHz，將采集到的信號通過帶通濾波器進行降噪處理。圖5所示為提取到的T3試件不同裂紋長度下的Lamb波信號。提取T1至T4試件的Lamb波信號并計算損傷指數。如圖6所示，擬合得到損傷指數IDIt與裂紋長度at的關系：

(21)

式中，at為t時刻裂紋長度;IDIt為t時刻對應裂紋長度下Lamb波信號損傷指數。

圖5 T3試件不同裂紋長度下提取信號Fig.5 Signal extraction of T3 specimen underdifferent crack lengths

圖6 損傷指數-裂紋長度曲線Fig.6 Curves of damage index versus crack length

擬合得觀測噪聲rt～N(0,0.076 512)。

3.3 疲勞裂紋擴展預測

用于NPF算法裂紋擴展預測的實驗參數設置見表2。其中，加權矩陣W的選取采用多次調試優化模型誤差加權陣的方式得到[13]，設置為Wii=3×108。

表2 疲勞裂紋擴展預測實驗參數設置

預測結果如圖7所示。由圖可知，在裂紋擴展初期，三種濾波算法的預測結果與實驗得到的裂紋長度均較為接近。而裂紋擴展中后期，基于Paris公式的預測方法顯示出了較大的誤差，EKF算法由于截斷誤差的存在也使預測誤差逐漸增大。由圖8和圖9可知，在裂紋擴展中后期(經過46 000疲勞循環周期后)，與實驗值相比，基于Paris公式、EKF、PF方法預測的相對誤差eRE和均方根誤差eRMSE分別達到了69.49%和1.5569 mm、-25.82%和0.6992 mm、-15.09%和0.3849 mm，而基于NPF算法預測的誤差僅為-8.56%和0.2221mm，說明NPF算法具有更高的預測精度和模型誤差修正能力。

圖7 裂紋長度預測與實驗結果Fig.7 Predicted and test results of the crack length

圖8 預測相對誤差Fig.8 The relative error of the prediction

圖9 均方根誤差Fig.9 The RMSE of different algorithms

通過20次算法預測實驗，計算得到EKF、NPF和PF算法的平均每步預測迭代時間依次為0.8883 ms、1.0987 ms和6.2430 ms。NPF算法的每步迭代時間僅為PF算法的17.6%，并且預測精度明顯提高，證明NPF算法可以較為精確和高效地預測疲勞裂紋擴展。

4 結論

本文提出了一種基于非線性預測濾波(NPF)算法的疲勞裂紋擴展預測方法。使用基于Paris公式的狀態空間模型來表征裂紋擴展過程，并基于Lamb波的監測信號特征建立觀測空間方程。采用Lamb波在線監測裂紋擴展，結合NPF算法實時修正傳統Paris裂紋擴展模型的預測誤差。將提出的方法應用于Q235鋼試件單邊疲勞裂紋擴展預測實驗，實驗結果表明，所提出的基于NPF算法的預測方法精度優于擴展卡爾曼濾波和粒子濾波算法，算法效率較粒子濾波算法有顯著提高。