分析認知沖突構(gòu)建解題情境

曹傳興

【摘 要】認知沖突常常存在于以學(xué)習(xí)者為中心的學(xué)習(xí)場境之中，在解題過程中發(fā)現(xiàn)并解決認 知沖突，建立同化與順應(yīng)的平衡，是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中必須要經(jīng)歷的過程，也是學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)， 掌握所學(xué)知識的必然階段。解題過程中常常有以下認知沖突存在：簡便與煩瑣、理解與水平、 已有觀念與新知。逐漸形成的自主意識，將有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，激發(fā)他們解決數(shù)學(xué)問 題的興趣。

【關(guān)鍵詞】認知沖突解題情境數(shù)學(xué)思維

認知沖突常常存在于以學(xué)習(xí)者為中心的學(xué)習(xí)情境之 中。以學(xué)習(xí)者為中心的學(xué)習(xí)情境指的是構(gòu)建一種學(xué)習(xí)情 境，讓學(xué)習(xí)者將他們的知識、技能、態(tài)度、信仰帶到其中， 學(xué)習(xí)者帶來的東西在這里都必須得到足夠的重視。它與 “診斷性教學(xué)”概念相吻合，試圖發(fā)現(xiàn)學(xué)生對所面臨問題 的看法、錯誤概念，給他們創(chuàng)設(shè)一種情境，使他們能夠繼 續(xù)思考，重新調(diào)整自己的看法。

建構(gòu)主義認為：個體在遇到新刺激時，先嘗試用自 己原有的認知結(jié)構(gòu)去同化它，以求達到暫時的平衡;同 化不成功時，個體則采取順應(yīng)的方法，即通過調(diào)節(jié)原有認 知結(jié)構(gòu)或新建認知結(jié)構(gòu)，來得到新的平衡。在解題過程 中發(fā)現(xiàn)并解決認知沖突，建立同化與順應(yīng)的平衡，是學(xué)生 在學(xué)習(xí)過程中必須要經(jīng)歷的過程，也是學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、掌 握所學(xué)知識的必然階段。

一、簡便與煩瑣的認知沖突

學(xué)生在做題時，有些題目往往會一再出現(xiàn)問題，在此 情形之下，學(xué)生對于數(shù)學(xué)方法的需求就更為迫切。有些 解題方法是需要在不斷的練習(xí)中加以鞏固的;有些解題 方法是需要在不斷的實踐中進行選擇的;有些解題方法 是需要在不斷的反思中靈活運用的。有些題目看起來并 不難，但學(xué)生一再出現(xiàn)問題，這往往就是因為常見且固化 了的方法不易掌握。

下面以一道練習(xí)題為例：

習(xí)題1 ：小麗比小明高2cm，小麗比小剛高1cm，最 高的是（ ），最矮的是（ ）。

常規(guī)做題方法是畫線段圖表示小麗、小明、小剛的身 高（見圖1），正如書中的例題也是如此解題的。學(xué)生是 不會畫圖嗎？答案是否定的。做不對的原因在于他們寧愿冒著做不對的風(fēng)險，也不愿意大費周章地畫圖。因此，教師除了強迫他們用畫圖的方法以外，還應(yīng)該開發(fā)或教學(xué)一些其他的便于學(xué)生 使用的方法。

例如，本題可以使用的舉例法，發(fā)現(xiàn)在兩個條件中都 有小麗，可以假設(shè)小麗的身高是100cm，這樣小明身高是 98cm，小剛身高是99cm，從而完成填空。經(jīng)過假設(shè)的教學(xué) 和訓(xùn)練，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)假設(shè)小明的身高或小剛的身高都可 以很快求解，三者的解題過程均優(yōu)于畫線段圖。

舉例的方法用途很廣泛，無論是簡單或復(fù)雜的，無論 是代數(shù)領(lǐng)域（習(xí)題2）還是幾何領(lǐng)域（習(xí)題3 ）都有廣泛的 應(yīng)用。

習(xí)題2 ：小明去外婆家，去時每分鐘走60m，回來時 每分鐘走40米，求往返的平均速度。

平均速度需要用總路程除以總時間，在小明往返的 過程中，沒有總路程的數(shù)據(jù)。要解決這個問題，可以假 設(shè)路程為360m （60和 40 的倍數(shù)），360 + 60=6 分鐘，360^-40=9分鐘， 360 x 2 ^-（ 6+9 ）=48m/ min，即平均速度。

習(xí)題3 ：大長方形 中有一個正方形，求長 方形的周長。（見圖2）

舉例的方法在做題中有廣泛應(yīng)用，數(shù)值也可以取極 端數(shù)據(jù)來使計算更為簡便，這其中便蘊含著極限的數(shù)學(xué) 思想。

《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》中關(guān)于極限的描述是這樣的：用 以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)的概念。不 過，考慮極限數(shù)據(jù)并不等于極限的數(shù)學(xué)思想。

王永春老師在他的《小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法解讀及教學(xué) 案例》一書中談到關(guān)于極限思想的兩個關(guān)鍵語句：一個 是變化的量是無窮多個;另一個是無限變化的量趨向于 一個常數(shù)。本文中提到的極限思想無疑是屬于后者，一 個變量與另一個已知量的無限逼近，以至于可以使用這 個已知量來反映這個變量的極限值。這往往又需要數(shù)感 作為基礎(chǔ)，此類方法應(yīng)用得較好的學(xué)生，通常表現(xiàn)為有較 優(yōu)的數(shù)感。

仍舊以上述三道習(xí)題為例：

習(xí)題1 ：如果假設(shè)小麗的身高為2，小剛的身高是1， 小明的身高是0。

習(xí)題2 ：如果假設(shè)全程是1，那么去時時間是 壽，返回時時間是擊，平均速度就可以用1x2 + （唸+擊），同樣可得到平均速度。

習(xí)題3可以看得更明顯：

兩種極值分別是0和32。

如果假設(shè)正方形的邊長 等于長方形的寬等于32cm， 那么左邊的小長方形就不存 在了（見圖3），進而發(fā)現(xiàn)原題簡化成了長方形中的最大正方形問題，將大長方形分割為一個正方形和一個小長方形， 從而賦予了 35與32的差一定的意義——小長方形的寬。 大長方形的周長就是（35+32） x 2。

如果舉正方形的邊長是0，35這條邊可以向右延伸 到右端點，下面這條邊也會向左延伸至左端點，同時長方 形的寬就沒有了。這樣長方形周長就只剩下了 35+32的 兩條線段（見圖4），周長等于（35+32） x 2。

從習(xí)題3的極限數(shù)據(jù)來看，舉極端數(shù)據(jù)對學(xué)生的要 求很高。沒有好的數(shù)感，學(xué)生完全找不到應(yīng)用極端數(shù)據(jù) 使計算簡便的方法。使用極端數(shù)據(jù)，往往會讓題目完全 脫離情境。例如，長方形的寬為0、全程僅為Im、小麗的 身高僅為2cm等匪夷所思的數(shù)據(jù)，需要學(xué)生用抽象的眼 光來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

由此可見，該題型的熟練掌握對學(xué)生的數(shù)感培養(yǎng)、數(shù) 學(xué)思想的建立和運用、解題方法的熟練運用都有很大的 幫助，當(dāng)數(shù)學(xué)知識體系進行不斷擴充之后，這一點會不斷 得到證明。

三、已有觀念與新知的認知沖突

學(xué)生在接受一個新的概念之前，常常需要對原有概 念的傳統(tǒng)認知進行重組，因為這些錯誤概念會嚴重干擾 學(xué)習(xí)。例如，學(xué)生對“長方形與正方形周長”一課中一道 習(xí)題的研究如下：

題目：從一個長18cm、寬12cm的長方形紙上剪去 一個最大的正方形，剩余部分的周長是多少？

生1信心滿滿地回答：我們知道這個最大的正方形 的邊長是12cm，那么剩余部分的寬就是18-12=6cm，我 們可以用（18+12） x 2=60cm，先求出原來長方形的周長， 再求正方形的周長12 x 4=48cm，剩余部分的周長就是 60-48=12cmo

話音剛落，質(zhì)疑便來了。

生2 ：剩余部分是一個長方形，周長應(yīng)該是（12+6） x 2=3 6cm，比 12cm 長多了。

剩余的等于原來的減去剪去的，這是學(xué)生從接觸數(shù) 量關(guān)系以來就一直建立的一種概念，但在教學(xué)周長的概 念時，常常會產(chǎn)生已有認知與新的概念之間的認知沖突。 因此，教師需要創(chuàng)造新的情境來幫助他們繼續(xù)思考。

可以分為以下幾步：

第一步：長方形的周長、正方形的周長以及剩余部 分的周長是這樣的（見圖5）。

第二步：分析錯因，討論“長方形的周長能否減去正 方形的周長”。

將重疊的部分擦掉，可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)長方形的周 長剩余三條線段（6cm+12cm+6cm），正方形的周長剩余 一條線段（12cm），因此可以發(fā)現(xiàn)正方形的周長并不完 全包圍于長方形的周長（見圖6），因此不能相減，由此解惑。

第三步：討論如何改正。

如果再做一步轉(zhuǎn)化，長方形周長剩余的線段與正方 形周長剩余的線段中都包括12cm長的線段，相抵消后 可以理解為用長方形的周長減去正方形的周長剩余兩條 6cm長的線段之和，只算了剩余部分的兩條寬，因此如果 想用長方形的周長減去正方形的周長，算得結(jié)果12cm 后還得加上12 x 2，結(jié)果也就是36cm （見圖7 ）。

第四步：討論算法優(yōu)化。

在比較后可以發(fā)現(xiàn)，在長方形中剪去最大的正方形 剩余部分周長的算法是用大長方形的周長減正方形的周 長后，還需要加上原來長方形的兩條寬，相比較而言，直 接求剩余部分長方形的周長簡便得多，從而推薦給學(xué)生使用。

本題的講解因為生1的錯誤示范多耗費了一些時 間，但是正是因為這個錯誤示范讓這個認知沖突在課堂 得以呈現(xiàn)，從而幫助更多的學(xué)生掌握類似問題的正確做 法，明白其中蘊含的道理。

經(jīng)過訓(xùn)練，學(xué)生會自主地選擇合適的解題方法并在 解題的過程中推斷問題的實際意義，這種自主意識，將有 助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，激發(fā)他們解決數(shù)學(xué)問題的興 趣。“錯誤從學(xué)生中來，疑惑自學(xué)生中起，討論自學(xué)生中 生，結(jié)論自學(xué)生中定”，構(gòu)建學(xué)習(xí)者中心的環(huán)境，需要關(guān)注 每一個學(xué)生知道些什么、關(guān)心些什么、能做些什么、想要 做什么，發(fā)現(xiàn)和解決認知沖突的過程，正是幫助學(xué)生建立 新的認知的必經(jīng)之路。