基于0 特征值的復雜網絡結構可控與優化研究

王 帥，李 婷

（陸軍工程大學石家莊校區裝備模擬訓練中心，石家莊 050003）

0 引言

現實世界中，許多復雜的系統均可用網絡系統來描述，如實際的互聯網、電力網絡、交通網絡和抽象的人際社會關系網、生態鏈網絡等。這些網絡系統，由于其網絡節點眾多，網絡拓撲結構復雜、鏈路多變，因此，常將這類網絡稱之為復雜網絡系統。隨著復雜網絡系統研究的深入，復雜網絡結構可控性成為眾多學者研究的熱點。2011 年，Liu［1］率先運用自動控制理論，在Lin［2］基礎上研究了網絡的結構控制問題，提出了復雜網絡可控性理論，基于Kalman 秩判據開展復雜網絡的結構可控性分析。文獻［3］針對擁有自環節點的狀態可調解網絡研究了其可控性，并得出該網絡可控僅需一個驅動節點的結論；文獻［4］采用代數研究的方法，基于圖的連通性開展控制節點選取研究，并對方法作了仿真驗證；文獻［5］研究網絡控制過程的能量代價，證明了網絡控制的復雜程度與網絡結構緊密相關；文獻［6］區分了網絡控制節點作用，通過將網絡節點劃分為關鍵點、間歇點和冗余點，描述了網絡控制的不同方式；文獻［7］引入了節點控制能力概念，利用添加輸入或者連邊的方法，給出了網絡精確可控的最小驅動點集合和極小被控點集合算法，但是算法仍然較為復雜且所得不是解析解；文獻［8］針對有向圖，引入“支配中心性”這一新的指標，評估有向圖中頂點對其他節點的控制和觀測能力；文獻［9］基于PBH 可控性判定提出了嚴格可控性理論，實現了復雜網絡即最小控制輸入節點的數學求解。

戰場指揮通信網絡節點眾多，屬于典型的復雜網絡系統，具有復雜和動態兩種特征。要保證戰場指揮通信網絡的每個節點、每條鏈路都正常運行，需要消耗有限的管理控制資源，增大了網絡的管理控制難度，使其安全性、穩定性、可靠性等方面問題凸顯。目前的應對措施沒有從戰場指揮通信網絡的動態結構這一根本原因出發，缺乏有效的解決方案，特別是未來戰場指揮通信網絡結構更加復雜，若無有效應對方案，將會制約戰場信息網絡建設。因此，需要研究戰場指揮通信網絡進行合理有效的結構控制方法，解決戰場指揮通信網絡結構可控性。

1 基于“0 特征值”的網絡結構可控求解

開展復雜網絡可控性研究，是基于結構控制理論將復雜網絡視為一個系統，對于有n 個節點、m 個控制輸入（m≤n）的網絡系統，其運行狀態方程可表述為［10-11］。

其中，A 為n 階復雜網絡鄰接矩陣，x=（x1，x2，…，xn）T為n 維網絡的運行狀態變量，u=（u1，u2，…uM）T為m維輸入變量，輸入矩陣B 為控制輸入矩陣。此時，在系統可控性判據約束下，系統的可控性由系統矩陣和輸入矩陣決定，與系統外部具體輸入無關。常用的網絡結構可控性判定方法有兩種：基本秩判據［1］和PBH 秩判據［10］。

1）基本秩判據是構造判定矩陣Q=［B AB A2B，… ，An-1B］=［I A A2，…，An-1］·B，通過矩陣Q 的秩來判定復雜網絡系統是否結構可控，若rank（Q）=n，即判定矩陣滿秩則網絡是結構可控的，若rank（Q）＜n 則網絡是結構不可控。

2）PBH 秩判據是構造判定矩陣Pk=［λkI-A|B］（λk為鄰接矩陣A 所對應的所有特征值，k=1，2，…，n）。若所有k 對應的Pk都滿足rank（Pk）=n，則復雜網絡結構可控，如果有任一k 對應的Pk滿足rank（Pk）＜n，則復雜結構不可控。

網絡結構可控的秩判定說明了復雜網絡的結構可控性判斷，取決于復雜網絡的鄰接矩陣A 和控制輸入矩陣B。網絡結構可控最少控制輸入點求解的思想是：基于鄰接矩陣A 和輸入矩陣B 構造判斷矩陣，通過變換B 使判斷矩陣滿秩，B 變換對應的行及行數量即是復雜網絡結構可控的最少輸入控制節點數。

這里，將進一步對PHB 秩判據進行深入討論。對于n 個節點的無向網絡結構，則其鄰接矩陣A 為n 階對稱矩陣，且元素僅為0 或1。因此，A 為較為特殊的一種矩陣，除了具備一般n 階矩陣常見性質外，還有些特殊性質。

定理1：鄰接矩陣A 為n 階實對稱矩陣，不考慮特征值的重復次數，則A 一定有n 個特征值。

證明：由矩陣理論［12-13］定理可知，對于n 階實對稱矩陣A 必能相似對角化，且相似對角化對角線上的元素即為A 的特征值，則A 有n 個特征值。

定理2：對于n 階實對稱鄰接矩陣A，當矩陣秩rank（A）=k（k 為正整數且0＜k＜n），則λ=0 為A 的特征值，且為（n-k）重。

證明：A 為實對稱矩陣，由于A 不滿秩，則A必然存在值為0 的特征值。又由于A 必然能夠相似對角化，則說明A 必然有n 個線性無關的特征向量，特征根重根對應線性無關的特征向量的個數等于其重數。由于A 的秩為k，則特征根λ=0 為重根，其對應（n-k）個線性無關特征向量，即λ=0 為（n-k）重。

推論1：對于n 階實對稱鄰接矩陣A，不存在非0 特征之外的多重特征值。

證明：假設A 存在除0 以外的多重特征根λ'≠0，其重數為m（m 為正整數，0＜m＜n），則

由于是對稱矩陣，則rank（A）=n-rank（λ'I-A）=n-m。

而根據定理2，當rank（A）=n-m 時，特征值為0且其重數為n-（n-m）=m，這與λ'≠0 矛盾，因此，不成立。

推論2：對于n 階實對稱鄰接矩陣A，當rank（A）=n 時，其有n 個特征值，這些特征值互不相同且均不為0。

證明：由于A 為實對稱矩陣，當rank（A）=n 時，對于任意特征值λi都有

即所有特征值λi的重數都為1。下面證明任意λi≠0。

反證法。如果有一特征值為0，則滿足

然而，rank（0I-A）=rank（A）=n，相互矛盾，故λ'≠0，證畢。

需要說明的是，當rank（A）=n，A 中行（列）向量均線性無關，此時網絡可控結構是最少輸入控制點數量為1。

綜上所述，關于具有n 個節點的無向復雜網絡結構可控，其最少輸入控制點個數的求解轉化為其鄰接矩陣的“0 特征值”階數?？傻媒Y論：對于具有n個節點的無向復雜網絡，其最少控制輸入點個數等于A 的0 特征值個數，即Nd為：

通常，將網絡可控最少控制輸入節點數與網絡節點總數的比值定義為網絡可控度nd，其表達式為：

網絡可控度與Nd成正比，反映了網絡結構可控的復雜程度，其值越大，說明網絡最少輸入控制節點數多，網絡結構可控性差；反之，其值越小說明網絡結構可控性較好。

2 基于“0”特征值的復雜網絡結構優化策略

“0 特征值”對應的特征矩陣存在著零向量、重復向量和線性相關向量。這是向量包含若干節點（行），對這些節點通過調整邊連接關系（增加或減少），最大限度消除零向量、重復向量和線性相關向量，則網絡可控最小控制輸入點就會減少，網絡可控性就會提高。基于此，可以采用消除多重特征根的特征向量來優化復雜網絡。在優化過程中，設定每個運行步長只允許對一條邊進行一次增邊或減邊操作，具體優化策略如下：

2.2 鎮咳平喘作用 天冬的鎮咳、平喘、祛痰作用較強，最早在《本草綱目》中有記載，天冬酰胺是其鎮咳的有效成分之一。天冬醇提物對濃氨水引起的小鼠咳嗽和由組胺引起的豚鼠咳嗽有顯著抑制作用，其中對小鼠有較為明顯的祛痰作用，對組胺引起的豚鼠哮喘模型起平喘作用[16]。天冬總皂苷可以抑制哮喘模型小鼠的氣道炎性因子，顯著降低白細胞介素(interleukin，IL)4、IL-13和COX-2的水平，抑制誘導型一氧化氮合酶的表達，還可增加巨噬細胞數量，減小支氣管周圍血管增生及膠原蛋白層厚度，抑制血管內皮生長因子表達[17]。

1）特征根向量集中是否存在零向量。如果存在，則逐個找到各零向量的對應行，對其進行增邊操作。

2）特征根向量集中是否存在重復向量。如果存在，則逐個找到每個重復向量的對應行，隨機選取其中節點進行增邊或減邊操作。重復上述步驟直至重復向量消除。

3）特征根向量集中是否存在線性相關向量。如果存在，則在線性相關向量的對應節點集中，任選一個節點進行連接改變，即進行邊連接變換操作（一般為增邊）。重復上述步驟直至線性相關向量最少。

在消除重復向量和線性相關向量過程中，減邊操作可能會導致網絡結構出現孤立節點（零向量），因此，在重復向量和線性相關向量優化后，均需進一步判斷網絡中是否存在零向量。當優化后的特征矩陣不存在零向量和重復向量，線性相關向量將至最少時（不一定為0），優化完成。此時，特征矩陣（-A）的行相關性最小，網絡結構可控性得到提高?；凇? 特征值”的網絡結構優化流程如圖1 所示。

圖1 網絡結構優化流程

3 實際網絡應用分析

以某指揮通信網為例研究，該指揮網包括1 個中心指揮子網、1 個后方保障子網、1 個機動指揮子網，7 個運行子網，每個子網包含若干通信節點；同時陣地間5 個通信節點的干線通信網，另有衛星中繼通信節點、3 個衛星地面站節點和2 個衛星背負站接入節點，共51 個通信節點，涉及的通信方式有電臺、微波、光纖、衛星等。該指揮網結構為層級結構，其中，干線通信子網和微波中繼子網采用的網狀拓撲，構成點對點的網狀連接；衛星中繼通信子網采用星型拓撲結構，由地面站和背負式接入站構成中繼通信鏈路；其余通信子網采用星型拓撲結構，各個子網以中心節點核心，各個子網核心節點通過干線通信子網及中繼子網能夠連接。由于戰場指揮通信網絡為雙向傳遞，而有向網絡通常用于描述單向信息傳遞，且由于研究指揮通信網絡的結構可控性，僅考慮網絡中節點的連接情況而不考慮節點間的距離和介質，即不考慮網絡中邊的權值，因此，可將戰場指揮通信網絡限定為無向、無權網絡。此外，指揮通信網節點的實際應用決定了網絡為無自環網絡。同時研究過程中，為了保證節點控制輸入的有效性，將每一個控制輸入視為單控制輸入，即每個控制僅能對某一節點進行輸入。此時，將51 個通信節點分別進行編號，根據網絡節點的連接關系，繪制出其拓撲結構圖，共包括69 條邊，如圖2 所示。

圖2 某指揮通信網絡結構圖

由網絡的拓撲結構，得出該網絡對應的鄰接矩陣A 為51×51 對稱仿真，其簡略表示如下：陣A，對其求秩，得

其次，根據“0 特征值”特性可知，鄰接矩陣A 存在重數為19 的“0”特征值，則可得該網絡結構可控的最少控制輸入點個數Nd為

再次，求解0 特征值對應的特征矩陣（-A）進行初等變換，求解出其存在8 組重復向量和5 組線性相關向量，具體如表1 所示。

表1 “0 特征值”對應特征矩陣初等變換結果數據

網絡可控最少輸入節點是要從這8 組重復向量和5 組線性相關向量組包含的節點中選取19 個節點為控制最少輸入點。從計算結果可知，重復向量組和線性相關向量組之間有交叉節點，分別為2、12、15、22、33、36；線性相關向量組之間也有交叉點，分別為：19、20、47 共9 個節點，具體實施時，這些節點可以視為必選點，剩余10 個節點可以從剩余節點中按照PHB 置換原則進行選擇，這樣可以進一步縮小最少輸入控制點集合。

依據“0 特征值”對應特征向量的優化策略，對該網絡進行優化，經過32 步優化操作，得到優化后的網絡結構，如圖3 所示。

圖3 結構優化后的旅級戰場信息網絡結構圖

對優化前后網絡結構特征參數進行統計，得到優化前后網絡結構部分指標數據對比如表2 所示。

表2 網絡優化前后網結構特性對比表

從表1 可以看出優化后的網絡增加了部分邊數，結構更加復雜，但是網絡結構指標數據相比先前網絡結構有了明顯優化，可控性大大提到。當然這個優化過程可以進一步結合網絡節點的使命任務和通信方式，則優化后的網絡更具價值。

進一步地，從網絡結構抗毀性對優化前后網絡性能進行對比。分別采用隨機攻擊和蓄意攻擊［14-15］兩種方式進行。隨機攻擊時考察網絡的連通狀態隨機攻擊網絡節點數量增加的變化情況，為消除隨機性，建立200 次攻擊樣本進行統計。則網絡優化前后網絡達到不連通狀態所需要的攻擊節點數量，如圖4 所示。

圖4 隨機攻擊條件下網絡失效隨攻擊節點數量變化圖

由圖4 可見，隨機攻擊條件下，優化前網絡平均遭受6 個節點的攻擊網絡便處于不連通狀態，優化后網絡平均遭受14 個節點的攻擊網絡，才能失效為不連通，網絡抗隨機攻擊性能大幅提高，證明了在隨機攻擊條件下網絡結構優化策略的有效性。

蓄意攻擊分別采用按節點度和節點介數進行攻擊，考察網絡最大連通子圖數量變化和網絡效率［16］變化情況，如圖5 所示。

圖5 不同攻擊條件下網絡性能變化隨攻擊節點數量變化圖

由圖5 可見，隨意攻擊條件下，優化前網絡的最大連通子網節點數量和網絡效率下降相對較慢；按節點度攻擊條件下，優化前網絡的最大連通子網節點數量和網絡效率均劇烈下降，網絡很快失效；按節點介數攻擊條件下，優化前網絡的最大連通子網節點數量和網絡效率呈現快速下降。然而，同樣攻擊條件下，最大連通子圖節點數量和網絡效率較優化前下降過程更為緩慢，表現了更好的抗毀性能，也證明了蓄意攻擊條件下網絡結構優化策略的有效性。

4 結論

基于“0 特征值”的網絡結構可控最少輸入點數量求解和結構優化策略，本質上是將復雜網絡結構可控分析轉化為網絡鄰接矩陣特性研究上，由鄰接矩陣便能迅速確定網絡結構可控最少輸入點數量以及控制節點范圍，對鄰接矩陣初等行列變換能夠有效優化網絡結構。這一結果在對比網絡結構特性統計數據和抗毀性測試方面得到印證，可將其用于戰場指揮通信網絡的規劃設計、結構分析等，對于維護指揮通信網絡的安全性、穩定性、可靠性等具有很強的現實意義。但是，該方法目前僅適用于無向無權無自環網絡，關于有向、有權和有自環網絡的結構可控與優化，還需要進一步研究。