錯題資源助力數學探究式學習的實踐

文∣何杰

2020年10月，中共中央、國務院印發了《深化新時代教育評價改革總體方案》，指出“改進結果評價，強化過程評價，探索增值評價，健全綜合評價”。探究式學習注重過程評價，往往呈現“嘗試—錯誤—再嘗試”這樣螺旋上升的基本學習模式。學生在學習過程中會產生錯題，教師要改變用分數給學生貼標簽的做法，這些錯題正是探究式學習的寶貴財富和原始素材之一。心理學家桑代克也認為，嘗試與錯誤是學習的基本形式。因此，教師要善待學生的錯題。鼓勵學生主動對錯題進行有效開發利用，讓錯題變成有價值的“資源”，讓錯題資源助力數學探究式學習，促進教師的“教”和學生的“學”。

一、錯題診所，“收集”錯題資源

許多小學生對日常學習中出現的錯題,只是簡單地應付式訂正,缺乏自主深入分析,訂正完之后就不管不問，沒有真正領會問題的本質，下次遇到同類型的題目還是錯誤，讓原本的錯題又變成未來的錯題。追本溯源，錯題是反饋知識網絡結構中存在的漏洞，教師只有引導學生對個性化的錯題進行自主收集、自主整理、自主探究，才能讓錯題在探究式學習的指導下留下“痕跡”。

普通的“數學錯題集”就是學生把自己平時所有的錯題抄寫或剪貼在一起,缺乏分析、缺乏知識漏洞的定位。當教師要求學生進行錯題復習時，學生面對曾經海量的錯題和答案，往往只是敷衍對待。在單元復習整理時，教師要引導學生對于本單元學習中存在的錯題進行自主探究式學習，鼓勵學生建立個性化的單元“錯題診所”，對于錯題認真查找、診斷、分析、總結，形成例題、錯解、診斷、答案這四個基礎板塊。同時，為便于后續的復習，對錯題進行分類：A類錯題是當時沒有思路或思路錯誤的，這類題目后續要重點復習；B類錯題是整體思路正確，中間部分思路出現錯誤，后續要關注；C類錯題是思路完全正確，其他細節錯誤(如單位名稱的確定、計算等)，后續要避免的。下面就以“升和毫升”單元復習整理為例。

【例1】

背景：小熊感冒了,醫生阿姨給她開了藥,并給了用量說明,小熊自己算了一下要喝多少天,小熊簡單一算,醫生阿姨一看結果,小熊可真是馬虎呀。我們還是一起幫她計算一下吧,多喝藥可不是好事情哦！

例題：小熊感冒咳嗽，買了一瓶100毫升的止咳糖漿。下面是每次用量的說明，小熊今年8歲，她喝完這瓶藥至少要( )次。

用 量 提 示

2—3 歲 2.5—3.5毫升

4— 6歲 4—5.5毫升

7— 9歲 6—7毫升

10—12歲 8—12毫升

錯解：100÷6=16(次)……4(毫升)，她喝完這瓶藥至少要(16)次。

診斷：出錯在不清楚問題所問至少的情況下，小熊該喝6毫升還是7毫升。小熊今年8歲，按照用量提示應該是6—7毫升。我們知道，總量一定的時候，每次喝得越多，喝得次數就越少，這里要求至少幾次喝完，所以每次要按最大的量7毫升來計算。所以用100÷7=14(次)……2(毫升)，這2毫升也要喝完，14+1=15(次)，小熊至少要15次才能喝完這瓶藥。

答案：15。

這道題具有典型性，在四個基礎板塊的基礎上對錯題進行了個性化的分析和個性化的探究，同時為這道題設置了一個童話般的故事背景，便于加深印象。對于學有余力的學生來說，還可以舉一反三，進行同類題型復習鞏固，讓錯題具有生命力。

二、找錯大賽，“共享”錯題資源

錯題資源的出處不僅有每人都要完成的練習冊內容，還有個性化練習題中發現的內容?？鞓肥窃椒窒碓蕉?，痛苦是越分享越少。錯題資源同樣如此，班級內每個人的錯誤各有不同，如果匯集在一起將是一筆巨大的“財富”，符合互聯網下聚沙成塔、集腋成裘的眾籌思維。

“共享”的錯題資源如果只是簡單地收集在一起而不去利用的話，不僅費時費力，而且對于學生的思維發展收效甚微。筆者在執教蘇教版三年級下冊“長方形和正方形的面積”單元時，組織學生小組內進行“找錯大賽”，具體規則如下：4人小組，每人從自己的錯題資源中共享兩道題目，包括題目和解答，出題中的解答既可以是正確的，也可以是當時自己的錯誤，還可以是多種解法進行辨析。于是4人小組就推出了8道錯題，然后小組兩兩交換，小組成員共同探究給出的解答是否正確。如果不正確的，需要找出錯誤在哪里。于是，全班學生興高采烈地開始小組合作探究，筆者在巡視過程中聆聽到了這一道題的討論與探究。

【例2】

題目：一張長12厘米、寬10厘米的長方形紙，最多可以剪成( )張邊長為3厘米的正方形紙(不拼接)。

解法1：(12+10)×2=44(厘米)

44÷(3×4)=3(張)……8(厘米)

答：可以剪成3張邊長為3厘米的正方形紙。

解法2:12÷3=4(張)

10÷3=3(張)……1(厘米)

4×3=12(張)

答：可以剪成12張邊長為3厘米的正方形紙。

解法3：12×10=120(平方厘米)

3×3=9(平方厘米)

120÷9=13(張)……3(平方厘米)

答：可以剪成13張邊長為3厘米的正方形紙。

生1：我覺得解法1肯定是錯誤的，解法1中計算的都是周長，而根據題意這里關注的是面積之間的關系。

生2：我跟你的想法是一樣的，所以解法1是錯誤的。

生3：解法3是先算出長方形總面積和小正方形面積，然后用除法算出大長方形面積中一共有幾個小正方形的面積，所以我感覺這種做法是正確的。

生4：可是我剛才畫了個草圖，有的地方如果要剪成小正方形就需要進行拼接才可以，可是題中說了不拼接，所以我認為解法3也是錯誤的。

生3：你說得很有道理，解法3是錯誤的。

生2：這里要求不拼接，那我們只需要看看大長方形的長里有多少個3厘米，寬里有多少個3厘米就可以了，再用乘法計算，看來解法2是正確的。

這樣的“找錯大賽”不僅可以讓錯題資源發揮更大的輻射作用，還可以培養小組合作探究的能力。通過錯題資源的共享，每個人都可以當小老師來評價別人的“題目”，激發學生的探究欲望，讓錯題資源助力探究式學習。

三、錯例說題，“深挖”錯題資源

在日常教學中可以發現，有的學生只會做不會講，而有的學生不僅會做還能教懂不會做的學生。通過一段時間的觀察，那些經常熱心教同學的學生，學業成績更加優異，知識掌握更加扎實。如果要把不會做的同學教懂，講的學生就需要更加深入地理解題目的內涵，更加清晰地掌握題目的解題思路，更加優化解題的策略，有時候針對不同層次的學生，還需要思考不同的講解策略。

“錯例說題”屬于探究式學習的一種，是將學生錯題資源中一些相對共性的錯題進行整理，請學生進行視頻講解，錄制成類似微課形式的探究式作業。這樣的探究式學習，注重思維過程的表達，對學生來說既有新鮮感，也有一定的挑戰性。具體操作如下：筆者根據學生的錯題“診所”精選錯例，每期發布4道例題，每人講解一道。為避免學生挑選的例題過于集中，筆者按照學號進行題目的確定，例如：學號1—10說第1題，學號11—20說第2題，學號21—30說第3題，學號31—47說第4題。學生確定錯例之后進行分析思考，盡可能直觀、清晰、具體地講解并同步進行視頻錄制。然后，學生將錄制好的說題視頻發給教師，由筆者進行在線評分和點評。最后，筆者從每一道錯例講解視頻中，挑選部分優秀視頻進行在線分享，供學生互相借鑒學習。

在某一期“錯例說題”中有這樣一道填空題例題：“有兩杯牛奶，第一杯比第二杯多120毫升，如果從第一杯倒40毫升到第二杯，那么第一杯牛奶比第二杯多( )毫升?！苯涍^學生的認真“備課”和在線“授課”，有多種不同的解法。有的學生采用的是特殊值法，假設第一杯就是120毫升，第二杯就是0毫升，然后進行計算。有的學生采用的是畫線段圖的方法來解決，直觀清晰。還有的學生采用了實驗操作法，準備好了量杯進行在線實驗操作。筆者將這三種代表性的解法進行在線分享，不僅激發了學生參與的熱情，而且不同的解法滿足不同層次學生學習的需求，讓錯題資源真正得到挖掘。

四、編制習題，“創新”錯題資源

縱使數學題目千變萬化，但許多問題都是殊途同歸，考查的數學知識是一致的。著名特級教師華應龍老師說過，差錯的價值有時并不在于差錯本身，而在于師生從中獲得新的啟迪。學生通過解題獲得啟迪并不是最高境界，最高境界是學生能夠預料錯誤點進行編題，這是一種探究式學習。錯題資源雖然很多，但是對于某一個學生來說還是有限的。通過組織學生探究編制習題，可以實現將有限的錯題通過創新編制而創造出無限的價值。編制習題看似容易，實則不易，這需要學生換位思考，從其他學生容易錯誤的角度去進行編制習題；還需要從出題者角度，宏觀思考知識點及難易程度。

在學生研習了許多錯例之后，筆者組織學生在手邊無參考資料的情況下進行習題的編制。

【例3】

在學習“三位數乘兩位數”之后，學生結合估算和數字謎等錯題自愿編制如下選擇題：

A.3102 B.6078 C.10762 D.30982

解析：根據兩個乘數的個位數字分別是7和6，可知得數個位上的數字一定是2，由此可以排除B選項。然后用估計法中的找一下得數最大值，即297×96=28512。所以28512是最大的數，因此D選項也被排除。用同樣的方法將得數最小值找到，207×16=3312，因此A選項被排除，所以答案是C選項。

對于學生編制的習題，教師可以進行班級展示，比一比哪些習題編制得好，哪些習題能夠找到其他解題方法等，充分調動學生的數學學習熱情。有學生仔細研究了例3選擇題之后，在空白處還進行了補充批注：“我認為297×96和207×16甚至可以不用計算出精確結果，通過估算就能排除A和D選項。297×96可以估成300×100=30000，可見得數一定小于30000，排除D選項。207×16可以估成200×16=3200，可見得數一定大于3200，排除A選項”。

探究式學習關注個體知識的自主構建過程，自主構建的知識基礎是學生已有的知識和經驗。錯題是學生已有知識的側面體現，是學生知識構建的最近發展區。作為教師，我們要以研究者的站位來審視學生的錯題，要善于利用學生的錯題資源，讓錯題資源在知識的沃土上落地生根，綻放出美麗的花朵。