天牛須遺傳雜交算法的研究與應用

馮曉東，黃世榮，戴冠鷗，楊偉家，羅堯治

1.紹興文理學院 土木工程學院，浙江 紹興 312000

2.浙江大學 建筑與土木工程學院，杭州 310000

數學優化在求解大多數工程優化問題時受限于其可應用數學模型的苛刻條件，工程應用日益復雜的需求促進了隨機優化類方法的快速發展，特別是元啟發式算法（Meta-Heuristic Algorithms）這一類從自然規律中獲取靈感，模仿運行機制并完成自我學習的高效計算算法，具體有群智能算法（Swarm Intelligence，SI）、進化算法（Evolutionary Algorithms，EA）等。EA中有一類經典的普適性優化方法——遺傳算法（Genetic Algorithm，GA），其優化結果通常獨立于問題本身，因此普遍適用于工程領域。但與此同時，該算法無法充分利用問題的特性加快其優化效率；其優化結果通常只是近似解，且需要通過適當的構造措施保證算法的收斂性，這也是元啟發式算法劣勢。

為克服元啟發式算法收斂性差、計算效率低等問題，部分學者提出了基于各類元啟發式算法的雜交算法并形成了許多有意義的研究成果。Juang[1]提出基于遺傳算法與粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）的雜交算法（Genetic Algorithm and Particle Swarm Optimization，GAPSO），其中PSO 變量通過群體交互和自我交互的方式提高解的質量，GA 組織變量形成種群模擬優勝劣汰和自然繁殖等現象提高求解效率，GAPSO的提出標志著SI和EA雜交的開始、個體和群體相互作用的開始。李亞非[2]以物種的競爭和協同進化現象為指導思想設計了GAPSO，其中算法框架以協同進化思想為指導決定了雜交算法中主次分屬，有助于理解雜交算法的組成結構和作用。Ghamisi[3]提出的GAPSO，以側重并結合GA 的選擇作用來減少PSO 的無效計算量。Feng[4]提出的GAPSO，以PSO 為主體將GA 的交叉和變異算子作為增強局部搜索能力的手段，有效解決PSO早熟收斂問題。此外，姜向遠[5]和李帥[6]分別提出天牛須搜索算法（Beetle Antennae Search，BAS）并證明收斂與步長有關，建立并初步完善BAS理論。周田江[7]提出結合模擬退火的雜交天牛須算法（Simulated Annealing and Adaptive Beetle Antennae Search Algorithm，SABAS），橫向對比了退火算法和天牛群算法并證明SABAS在多維問題上有較好的尋優能力。陳婷婷[8]將PSO 與BAS雜交，加強個體探索作用的同時有效減輕PSO中個體對歷史最優和局部最優的依賴，在個體探索引導群體的方式上提供了新思路。上述雜交算法主要通過加強個體的探索，提升個體和群體之間的相互作用，從而解決原始算法局部搜索能力弱的問題。但雜交過程中通常會引入新的參數，這在一定程度上增加了算法復雜度，從而使其應用受限[9]。

BAS 與GA 的雜交可以在一定程度解決上述問題。首先BAS 算法核心代碼僅4 行，便于改寫和拓展。其次BAS對象為單一個體，作為輔助的進化策略對GA整個框架影響較小并有助于保持自身獨立性。本文提出基于數據驅動的天牛須遺傳雜交算法，針對BAS 特點改寫成BA搜索算子以增強算法局部搜索能力；通過數據驅動策略，利用歷代種群變量和相應目標函數變化的靈敏度映射得到啟發規則，達到區分變量并優化進化路徑，減少無效運算量從而降低雜交算法復雜度。最后通過平面十桿桁架尺寸優化算例，說明本方法的有效性及穩定性。

1 算法概述

1.1 遺傳算法（GA）

GA 通過選擇、交叉和變異三種遺傳算子實現算法收斂。選擇通過個體相互間競爭逐漸逼近問題的最優解；交叉和變異歸為遺傳運算，分別是GA 產生新個體的主要方法和產生新個體的次要途徑，其中變異影響GA的局部搜索能力和種群的多樣性。交叉和變異相互配合來模擬基因在繁殖創造新后代過程的作用，共同完成對解空間的全局搜索和局部搜索（圖1）。

圖1 交叉和變異算子示意圖Fig.1 Schematic diagram of crossover and mutation operators

僅采用選擇、交叉和變異三個遺傳算子的遺傳算法被稱為標準遺傳算法（Canonical Genetic Algorithm，CGA）。江濤[10]和馮愛蘭[11]等人改進的遺傳算法采用精英選擇策略（圖2）分別解決路徑優化問題和訂單分配優化問題，并保證歷史最優個體不會因選擇、交叉和變異操作而丟失或破壞，從而增強全局的收斂能力。自適應遺傳算法（Adaptive Genetic Algorithm，AGA）中自適應概率可以通過遺傳運算使相應馬爾科夫鏈過程變為非齊次，也是一種得到全局最優的收斂途徑。

圖2 末尾淘汰的精英保留策略Fig.2 Elitist model

1.2 天牛須搜索算法（BAS）

圖3為BAS模型的簡化，其仿生原理基于天牛的覓食行為：天牛使用兩個觸角來檢測空間中食物的氣味并決定其自身前進方向從而逐漸向食物靠近。

圖3 天牛須搜索算法模型簡化Fig.3 Simplified BAS model

其核心步驟如下：

（1）隨機生成方向向量并標準化。

其中，N是變量的空間維度，rands(?)是隨機函數。

（2）計算左右須的坐標。

其中，xt為t時刻天牛的坐標，dt是t時刻質心到須的水平投影搜索距離。

（3）確定左右觸角的氣味強度，用f(xl)和f(xr)代替左右位置，f(x)是目標函數。

（4）根據兩須對應的氣味，決定天牛下一時刻移動位置。

其中，δt為t時刻的步長。

（5）搜索距離和步長更新。

其中，d0代表人為設定的最小步長，ηd和ηδ分別為搜索距離和步長更新的衰減系數。

2 基于數據驅動的天牛須遺傳雜交算法（BAGA）

鄭文萍等人[12]基于遺傳算法提出的蛋白質復合物識別算法（Genetic Algorithm based Graph Clustering，GAGC）擴大了圖聚類算法的搜索空間，從而增強算法的局部搜索能力有助于提升算法的性能。本文針對AGA 精英選擇策略和擴大采樣空間策略時，由于選擇壓力過大進而全局搜索能力過強導致算法早熟且收斂效果差；因為罰函數無法利用不可行解域等問題提出一種局部搜索策略——天牛須搜索算子（Beetle Antennae Operator，BA）。BA利用精英個體從不可行解域得到優良個體，通過擴大解的搜索空間以增加算法的局部探索能力。

具體為可行解通過BA的局部改良從不可行解領域得到優質不可行解，再由修復算子修正成可行解重新進入種群排序，自適應精英選擇策略將會自動選擇末尾淘汰個數以平衡算法增加的局部搜索能力。

2.1 天牛須搜索算子（BA）

BA 由BAS 改進并主要考慮的對象為類精英個體的優良可行解，其在約束邊界附近對變異敏感極易違反約束成為不可行解，需要新的變異步長策略和變異維度選擇策略。只改變變異率和交叉率的AGA，其變異步長跨度不穩定且變異對象隨機選擇，因此當可行解搜索至不可行解附近時，由于外部施加的高壓極易成為不可行解而喪失被選擇進入下一代迭代的機會。

針對AGA變異機理上最小步長和變異對象選擇的應用局限，雜交BA 后的天牛須遺傳雜交算法（Hybrid algorithm of Beetle Antennae and Genetic Algorithm，BAGA），有針對性加強了算法的局部探索能力。以下為執行BA的三個基本假定：

假定1天牛自身的目標函數值會影響到下一步前進方向的決策選擇。

假定2天牛的左右須坐標可以用兩個步驟深化得到。（1）左右探頭，如圖4（b）；（2）確定左右方向后，上下擺動左右須探索解的復合影響，圖4（d）為探索后的效果示意圖。

假定3天牛在任意解空間中搜索時，有且僅有兩個方向和n根觸須，分別作為探索的次數和探索時變異的變量個數。先左（右）探頭確定方向再左右須來感知氣味并得到左（右）方向的氣味值，反方向相同。

各假定的具體解釋如下：

假定1 是對BAS 坐標策略中缺少對照自身目標函數值可能導致盲目前進丟失自身歷史較優解的改進。在求最小值問題時，式（4）改為式（11）可保證任意時刻f(xt+1)不大于f(xt)，賦予保持現有狀態選擇的可能性。

假定2 以天變量多維度變異來模擬天牛須上下擺動搜索的耦合影響，體現在式中對步長h的設定。以圖4（d）舉例：算法模型左探頭xl來闡明須的上下擺動舉例：左須選擇變量xi后保持不動，同時右須選擇非i變量探索變異。

圖4 二維天牛須搜索算子簡化模型示意圖Fig.4 Simplified diagram of 2-dimensional BA model

假定3 是拓展多維BA（n≥2）以適應不同的問題需求的補充設定。n代表任意探頭方向上代表的矢量坐標變量被挑選變異的變量總數，如圖4（d）所示，n=2代表xl左探頭方向的矢量坐標被選中了兩個變量變異并用紅色標記顯示。由于算法模型左右對稱{n|n=2knum,knum∈N*}，knum代表單側須的根數。

BA核心步驟如下：

（1）生成步長

其中，e是單位變異步長矩陣，hmin是研究問題背景下變量的最小變異單位，n為天牛須的須數亦是BA 的維度；N是變量的維度，Δh是選擇變異維度矩陣。x是變量的集合[x1,x2,…,xN]，代表單一個體。ObjV=f(x)為種群中個體x對應的目標函數值，p函數輸入x和對應ObjV可確定變量變異的維度。

（2）確定左右須坐標

（3）確定下一步方向

針對一般問題，BA 對局部搜索能力提升效果由步長h和天牛須維度n決定。優良個體極易違背約束的特性決定了h和n的取值原則：保證效率下分別取最小變異單位hmin和維度n的下限。hmin的下限一般由不同數學模型的定義域類型決定。如桁架結構尺寸優化問題中，離散變量可采用hmin=1，n=2；連續變量可采用變量的最小精度，無精度要求時可取定義域下限的1%～10%。

此外連續變量宜采用自適應函數，由下限構成主要取值并關聯代數gen和種群目標函數標準差σ的迭代變化而變化。其中hmin和n（n≥2）隨著gen的變大、σ的變小分別影響hmin和n的下降速率。

值得一提在BA 流程圖（圖5）中，輸出對象的目標函數fgen(x)始終小于等于輸入f1(x)，且輸出的目標函數經過自適應罰函數處理。結合圖6 的天牛須算子改良個體示意圖所示有助于理解天牛須算子的主要特性：如何利用精英個體在不可行解域產生優質不可行解從而實現局部探索跳出局部解。

圖5 天牛須變異算子的流程和結果Fig.5 BA flowchart and output results

圖6 天牛須搜索算子原理示意圖Fig.6 Schematic diagram of BA

圖6（a）演示了優良個體經過天牛須局部改良分別為可行解和不可行解前后的變化情況。圖6（b）為綠色可行解個體經過天牛須局部改良后，其目標函數小于藍色優秀個體且滿足約束成為下一代藍色優良個體的簡單演示；圖6（c）為紅色不可行解個體經過天牛須局部改良后，不滿足約束但經過自適應罰函數處理其目標函數仍小于藍色優秀個體的簡單演示。該紅色不可行解在不可行解域進行局部探索后由修復算子修復成為下一代藍色優良個體并進入種群參與整體搜索。

這種以生物天牛為載體實現利用優良個體主動轉變到不可行解域探索得到優質不可行解的策略有不錯的跳出極值能力，在3.3節中的補充實驗中表現良好，有較高的收斂率可以說明。

2.2 數據驅動和啟發規則

Farzaneh[13]利用歷史數據驅動進化算法策略（Data-Driven Evolutionary Computation，DDEC），通過歷史數據與目標函數通過擬合的方式得到個體對應的目標函數值，降低重復運算的成本。BAGA與DDEC同樣是利用優化問題的歷史數據優化減少運算量，不同之處在于數據驅動實現優化的方法不同。BAGA 不依靠離線數據，算法持續運行的同時以減少運算對象的方式實現運算量的優化。

圖7為原理示意圖，根據數據驅動策略以歷代數據和對應目標函數值作為輸入變量，通過編寫的映射函數對變量進行基于目標函數值靈敏度分析的歸類得到啟發規則，其元素為{0,1}，0代表低影響變量，1代表重要變量。根據啟發規則采取不同的進化策略，進而減少無關變量的無效變異。

圖7 歷史數據驅動的基本原理Fig.7 Fundamentals of historical data-driven

具體為天牛須算子產生的不可行解進入修復算子后，根據啟發規則對不同變量的分類實現其進化路徑的分類，低影響變量將與定義域下限采用二分法梯度下降，降低其對目標函數的影響；重要變量則維持原交叉變異進化路徑。

此外，本文數據驅動產生的啟發規則，其元素僅為{0,1}，足夠簡潔且產生分類的計算依據為算法迭代過程中產生的大量歷史數據，無外界信息的輸入。像遺傳算法會出現欺騙現象使種群陷于局部解成為早熟類似，大數據中也有錯誤的數據，但數據驅動策略具有一定的魯棒性，可以根據啟發規則反饋到種群中得到的結果從而自行調整。

圖8 中啟發規則在50 代前后時編號為2 的變量權重被歸類為1，經過算法的迭代運算最終在60代其權重重新回到了0 并穩定到算法結束。這體現了數據驅動策略具有一定的魯棒性。

圖8 具有一定魯棒性數據驅動Fig.8 Schematic of data-driven strategy with degree of robustness

迭代過程中數據越多，數據驅動樣本分類更能歸類出不同變量的重要性從而得到更加精確的啟發規則；啟發規則越準確，越能體現變量對目標函數的敏感性，得到正確的數據；正確的大數據加上數據驅動策略，進而實現數據鏈的加速閉環，結果就是數據越多，啟發規則越準確。

下面給出了映射規則的偽代碼，是變量對結構經濟性靈敏度分類實現的代碼依據。

平面十桁架尺寸優化的映射規則偽代碼

本文的映射遞歸規則可以在各種結構的尺寸優化應用背景下，針對經濟性為目標函數分類得出不同類型的結構變量對目標靈敏度分類。

2.3 BAGA算法分析

BAGA通過天牛須算子加強局部搜索能力，利用歷史數據驅動得到的敏感性規律（啟發規則）加以區分變量得到重要性分類進而優化進化路徑有助于降低算法雜交增加的計算量。圖9 給出了BAGA 的流程圖，2.1節的天牛須搜索算子和2.2節的數據驅動策略在算法流程圖中依次對應綠色標注部分。

圖9 BAGA算法流程框架圖Fig.9 BAGA algorithm flowchart

設置對照組分別研究BAGA 中天牛須搜索算子和數據驅動對于收斂和減少復雜度的作用，如圖10所示。對比BAGA和AGA在10桿優化問題下的性能表現，圖10（a）所示的AGA 曲線僅在算法前期30 代就局部收斂陷入局部解，BAGA 在20 代左右收斂于全局最優解。BAGA不僅兼備AGA的全局搜算能力較高的優點并改進AGA高全局收斂能力但低局部搜索能力的問題。

圖10 BAGA中各改進部分對算法整體的影響示意圖Fig.10 Diagram of influence of each improved part in BAGA on whole algorithm

2.3.1 數據驅動策略在算法中的具體作用

對比圖10（a）中有無啟發規則的BAGA 兩條曲線，可以發現無啟發規則的BAGA多運算了40代并在60代左右收斂到全局最優。同時圖10（b）中記錄了有無啟發規則的兩種BAGA算法隨機10次所得目標函數值和計算量的關系，其中橫向柱狀圖對比了10 組具體收斂的次數（詳細數據見表1），曲線圖刻畫了2 個對照組獨立重復10次的平均目標函數和對應結構分析次數的平均值，根據表1中數據可得有啟發規則的平均值為16 278.4次，無啟發規則的平均值為23 406.8 次，減少了7 128.4次，平均提高了43.8%的效率（7 128.4/16 278.4×100%）。

表1 2個對照組重復10次所得收斂時的結構分析次數Table 1 Number of structural analyses obtained when two controls are repeated for 10 times

本文不同于DDEC使用離線數據進行評估[14]，提出的數據驅動策略不對數據和目標函數的關系進行擬合，而是通過甄別數據和目標函數之間的靈敏度，以啟發規則的方式賦予數據可以定義和區分的優化價值，從而減少運算復雜度。

2.3.2 天牛須搜索在算法中的具體作用

控制變量發現數據驅動策略對收斂到全局最優解并無影響，相反圖10（a）中無天牛須的BAGA 曲線直到算法結束仍然無法收斂到全局最優解。做定量實驗，擴大樣本驗證天牛須對于算法收斂是否起到關鍵作用。100 次重復實驗得到BAGA 最優解為2 490.56 kg，平均值為2 490.72 kg，標準差為2.61，收斂率為99%；1 000次重復實驗最優解為2 490.56 kg，平均值為2 491.43 kg，標準差為8.05，收斂率為98%；但AGA 重復實驗1 000次都沒有收斂，在補充實驗中設置循環代數為10 000代，可得到AGA最終收斂。圖10（a）中沒有BA的AGA曲線和重復實驗分別說明BA對局部尋優有提升作用并有98%的收斂率驗證BA的穩定性。

圖9的BAGA種群更新迭代后，種群優良個體通過BA 在不可行解域產生“非支配”的不可行解，改善GA的局部搜索能力；不可行解利用修復算子回到種群中參與下一代的排序和選擇；最后通過自適應精英算子控制的整體改良擴散其影響并作用到種群，可以適當削弱或增強局部搜索帶給種群的影響從而平衡全局搜索能力。

自適應精英策略以邏輯判斷的方式比較目標函數值自適應調整末尾淘汰的范圍，放大或減少BA對種群的影響，從而平衡局部搜索和全局搜索能力，以兩者較高且平衡的方式提高綜合搜索效率。圖11為定量實驗中種群個體收斂歷史演變情況，迭代過程中種群個體根據目標函數值分布可以簡單分為3類，A區為收斂個體，C 區為收斂前的種群個體，B 區為天牛須搜索設定范圍的個體。

如果不平衡局部搜索能力和全局搜索能力，任由局部搜索能力增加將會如圖11（a）所示。圖11（a）中種群個體收斂全局最優解，但其B區因為天牛搜索算子導致局部搜索能力強于全局搜索能力，過多的局部解增加了種群多樣性但種群整體無法正常收斂，在數據上具體表現為種群目標函數標準差不為0。通過擴大末尾淘汰范圍并采取邏輯判斷的方式自適應調整BA作用個體進而擴散到種群的影響，如圖11（b）中的B區所示，個體編號1～10的個體和種群全部個體收斂于全局最優解從而種群收斂。

圖11 局部和全局搜索能力對個體目標函數分布影響示意圖Fig.11 Graph of local and global search capability on individual objective function distribution

圖11（c）為100次獨立重復中唯一一次不收斂的情況，屬于高壓選擇下有較高的全局搜索能力和局部搜索能力，但仍在指定代數下無法跳出局部解，BA的作用說明可以在圖中較好體現。B 區整體目標函數分布呈現類梯形，其區域內的個體向局部最優解方向2 498.28 kg下降，直角腰為C 區與B 區的分界線，代表精英個體在23代搜索到局部最優解；綠色斜腰為A區與B區的分界線，代表種群編號為10～40的個體逐漸從末尾編號40開始向首項編號前10 個體靠近收斂的狀態，但由于天牛須搜索算子的緣故，個體編號為1～10 范圍內的個體圍繞著局部最優解在開發尋找全局最優解，導致編號前10的種群目標函數分布在大于局部最優解，該現象在圖11（a）的B區中表現更為明顯。

3 算例分析

設定BAGA在種群大小為NIND，記錄每次獨立實驗迭代100代停止時的種群目標函數，再重復獨立實驗text_num次可用矩陣OBJVtext_num×NIND表示，行代表實驗次數，列代表個體編號，text_num取值1 000，NIND取值40，共40 000 個數據作為數據樣本研究算法的性能，分別計算平均值--------ObjV，標準差σ和成功率P。此外min_ObjV定義為OBJV每行中的最小值。計算公式依次為：

其中，STDEV.P(?)為EXCEL 軟件中求總體標準差函數。對min_OBJV進行邏輯判斷是否等于指定函數值賦值元素0和1，可得列向量p，1代表算法找到最優解，0 代表算法陷入局部解，沒有找到最優解。min(?) 為MATLAB中求最小值函數，[]代表空。

3.1 目標函數和罰函數

在滿足約束的條件下，尺寸優化經濟最佳效益方案的設計目標函數往往與結構自重有關，在桁架結構的尺寸優化中通常將構件的截面面積作為設計變量，以結構質量最輕為目標建立目標函數，尋求一組截面積使結構的重量最輕且滿足約束條件（應力、位移等），屬于單目標優化問題。通常，每個設計變量都是從基于生產標準的離散截面列表中選擇的，離散變量桁架結構優化模型如公式（15）所示：

其中，ObjV(X)是目標函數，由結構自重f(X)和罰函數g(X)組成，X是設計變量面積。N是變量的空間維度，ρi是第i根桿件材料的密度，Ai是第i根桿件的橫截面面積，li是第i根桿件的長度；M為節點的編號，是應力約束，k是荷載態，nk是荷載態的總組數，σik是第i根桿件在第k組荷載態下的應力，[σi] 是第i根桿件最大的允許拉壓應力；是第j根桿件在第k組荷載下l方向的位移約束，ujlk是第j根桿件在第k組荷載下l方向的位移，[ujl]是第j根桿件在l方向的最大允許位移，ND為桿件的自由度。S是橫截面面積變量的定義域，sn是S的變量維度。

3.2 平面十桿桁架尺寸優化

圖12給出了一個平面十桿桁架的結構示意圖，該結構包含10個桿件和6個節點。彈性模量和密度分別E=68 947.57 MPa(107psi)，ρ=2.7×103kg/m3(0.1 lb/in3) 。節點5和節點6施加豎向荷載P=444.8 kN(100 kpsi)；每個節點允許豎向位移和橫向位移為±50.8 mm(±2 in)；以各桿件的橫截面積(mm2)為設計變量，設計變量的定義域S=[1.62，1.80，1.99，2.13，2.38，2.62，2.63，2.88，2.93，3.09，3.13，3.38，3.47，3.55，3.63，3.84，3.87，3.88，4.18，4.22，4.49，4.59，4.80，4.97，5.12，5.74，7.22，7.97，11.5，13.5，13.9，14.2，15.5，16.0，16.9，18.8，19.9，22.0，22.9，26.5，30.0，33.5]×645，(1in2=645 mm2)；每根桿件的允許應力為±172.37 MPa(±25 000 psi)。

圖12 平面十桿桁架模型Fig.12 Plane 10-bar truss model

表2 中列出了不同元啟發式算法對桁架10 桿模型尺寸優化100代后得到結果。由表2可知本文BAGA優化結果桁架總用鋼量為2 490.56 kg，與前人研究結果相同，證明了算法的可行性及準確性。值得一提的是，除AGA（參數見表3）以外的其他元啟發式算法皆在指定100運行代內獲得了最優尺寸方案，但BAGA在穩定性和成功率方面有更好的表現。對比TLBO和ACO的標準差，BAGA 的標準差為8.05，在1 000 次獨立重復實驗，98%的概率成功收斂至最優解。

表2 桁架模型尺寸優化結果和對比Table 2 Results and comparison for truss model size optimization

表3 本文算例中AGA自適應參數設置Table 3 Adaptive parameter setting for AGA

圖13 所示為BAGA 和AGA 對平面十桿桁架模型尺寸優化的收斂歷史曲線和種群目標函數歷代分布圖，共迭代100代以目標函數（結構自重+罰函數）為追蹤對象，從1 000 次定量實驗中隨機選取一組具有代表性的數據做收斂過程中的定性分析。結果表明：AGA 無法在指定代數內有效收斂且陷入局部最優解。BAGA 運行至15 代左右時精英個體找到最優解，種群目標函數平均值在20代收斂到全局最優解附近，并在30代σ為0完成收斂。在后續實驗中，設置最大迭代次數為10 000，AGA收斂。

圖13（a）中AGA 前期10 代目標函數值呈階梯狀下降，表明AGA的自適應算子對局部搜索有提升作用。但在10代至60代目標函數值在較長時間變化緩慢，直至50代左右出現新的波動且隨后再次陷入局部解，如圖13（a）的子圖中所示。相比AGA，圖13（b）中BAGA在15代左右尋到最優解，種群個體的平均值在20代靠近最優解。

AGA 中期陷入局部解較長時間，期間有兩次階梯狀下降但間隔時間較長。同時圖13（b）中罰函數隨著種群逐漸滿足約束條件而迅速歸零，AGA 從13 代開始便無法有效利用不可行解。以上現象表明自適應算子在中期尋優效率不高，更主要在高選擇壓力下基因操作得到優質不可行解通過罰函數加權無法與可行解競爭，另一方面，自適應變異和重組只能從當前可行解尋優，搜索空間變小一方面降低了局部尋優能力。自適應無法滿足需求、高選擇壓力、解的空間縮減三方面削弱了局部搜索能力，最終解在中后期陷于局部解并無法收斂。

圖13 BAGA和GA典型收斂歷史曲線比較Fig.13 Comparison of typical convergence history curves of BAGA and GA

同樣是罰函數，BAGA 的罰函數項在11 代歸零失去導向作用，但圖13（c）中由40個個體組成的種群目標函數值在有效下降，并最終在30 代完成全部收斂。圖13（c）可以簡單分為三區：30代之后，種群收斂并呈現出較大區域的平穩，定義為A 區；15 代之前，定義為C 區；算法找到最優解后的15～30 代之間，定義為B 區，因為精英個體找到最優解，迅速反饋到整個種群中，B 區表現為隨著迭代代數增加種群目標函數平均值有較大幅度的下降趨勢。

本文算例中啟發規則通過區分變量并采用不同的進化策略可以減少運算量、加速算法收斂。圖14（a）展示了迭代過程中的啟發規則變化情況，僅利用前20 代歷史數據并保持穩定為[1 0 1 1 0 0 1 1 0]，體現了映射規則的偽代碼中數據驅動代碼的高效性；編號為2、5、6、10的個體對目標函數的歷史敏感性分類屬性波動更替，最終在20 代全部確定為0，也證明了本文數據驅動策略具有一定的魯棒性。

此外，啟發規則對桿件分類的結果吻合拓撲優化在相同荷載條件下的主要傳力路徑關，符合一定的工程經驗。圖14（b）、（c）依次為線寬代表桿件尺寸的尺寸優化和以灰度代表變密度大小的拓撲優化，圖14（c）采用變密度法[18]以過濾灰度為0.5作圖，對比圖14（b）可見變密度法所得傳力路徑與啟發規則分類變量重要性的尺寸優化結果無較大出入，證明了啟發規則分類桿件的正確性，具有一定的物理意義。

圖14 算法優化結果與拓撲優化的傳力路徑對應Fig.14 Optimization results of algorithm correspond to transmission path of topology optimization

啟發規則不是算法收斂的必要條件，它是隨機優化在歷代數據內歸納總結的有序優化方或物理規律，有助于通過減少運算量的方式提高計算效率。BA算子從優秀個體出發開發不可行解域得到優秀不可行解的方式主導并加強了局部搜索能力，通過保證解的多樣性才是確保全局收斂的有效措施[19]。

4 結束語

強化個體的探索引導種群，通過BA 對個體的開發彌補GA個體探索的空白，提出了BAGA增強高壓選擇下算法的局部搜索能力。針對變量對目標函數的靈敏度分類，基于數據驅動改進后的BAGA 減少了算法雜交后的復雜度，數值模擬實驗對比可得BAGA 具有可行性和準確性，相比于現有的元啟發式算法具有更好的穩定性。

BA算子本身以個體探索為方式便于移植到其他算法是競爭和合作協作進化的新算子。可以通過修改天牛搜索算子中的參數增加個體和群體的相互作用，將其拓展到更為復雜的應用背景，為其他算法在不同優化階段增強其導向作用和局部搜索能力。

數據驅動策略對不同變量基于目標函數的靈敏度分析，可得到啟發規則并根據對應進化策略的權重優化變量的進化路徑，降低雜交算法增加的運算量。數據驅動下的靈敏度啟發規則，其原理不依賴于具體的問題，可適用于求解其他工程問題，具有較強的可移植性。此外變量的分類亦可增強算法的導向作用，提高計算的運行效率和穩定性。