概率多值中智集的關聯系數及其應用

朱永明，邱文靜

鄭州大學 管理工程學院，鄭州 450001

為了解決決策問題中存在的模糊信息，Zadeh[1]和Atanassov[2]分別提出了模糊集和直覺模糊集，然而在一些多屬性決策過程中仍然存在無法處理的不確定信息，為此Smarandache[3]對直覺模糊集進行了拓展提出了中智集，以便考慮信息的真實程度、不確定程度和失真程度。為了將中智集應用到實際問題中，Wang等[4]提出了單值中智集。后來考慮到多屬性決策中決策群體存在偏好的不一致性，王堅強等[5]和Ye[6]均基于猶豫模糊集[7]和單值中智集提出了多值中智集，目前已經引起了許多學者的深入研究[8-10]。多值中智集是由三種集合構成：真值隸屬度集合、不確定隸屬度集合和非隸屬度集合，三種集合包含的基本元素分別是隸屬度、不確定隸屬度和非隸屬度，且這些基本元素的個數可以是一至多個的。但多值中智集認為上述三種集合中的每個基本元素發生的概率是一樣的。然而，在多屬性決策問題中，決策者通常會偏好一些評價值，使得在三種集合中的不同的基本元素可能具有不同的重要程度。因此，Peng等[11]和Shao 等[12]在多值中智集的基礎上提出了概率多值中智集，有效地考慮到了真值隸屬度，不確定隸屬度和非隸屬度各自發生的概率。目前，概率多中智集的研究已引起了許多學者的關注，Peng等[11]定義了概率多值中智集的交叉熵，并將其運用到多屬性決策問題中；Shao等[12]提出了2種概率多值中智Choquet積分集結算子，并探究了二者性質；Liu等[13]將傳統的PROMETHEE方法拓展到概率多值中智集領域提出了一種全新的多屬性決策方法；Liu 等[14]首先提出了概率多值中智集的熵測度和標準加權Bonferroni 距離測度，然后基于二者提出了概率多值中智ARAS 方法；Shao 等[15]在文獻[12]的基礎上提出了廣義Shapley 概率多值中智Choquet 積分集結算子；針對屬性權重完全已知的多屬性決策問題，?ahin 等[16]提出了概率多值中智MABAC 方法；Shao等[17]對概率多值中智集進行了拓展，提出了概率多值區間中智集和相關測度。

為了測量不同的單值中智集、多值中智集和區間多值中智集的相關關系，關聯系數被引入到中智集領域中。Ye等[18]首先將關聯系數推廣到單值中智環境下，定義了單值中智集的關聯系數，而且提出一種單值中智多屬性決策方法。后來Ye[19]又提出了一種新的單值中智關聯系數。Sahin 等[20]基于區間猶豫模糊集的關聯系數[21]提出了多值中智集的關聯系數。Ye[22]提出了區間多值中智集的關聯系數。

目前關于概率多值中智集的關聯系數的研究較少，因此，為了測量2 個概率多值中智集的平均程度、精確程度和信息完整程度之間的相關關系，本文首先提出了概率多值中智集的期望關聯系數、精確度關聯系數和信息完全度關聯系數。其次，本文基于概率多值中智集的期望關聯系數、精確度關聯系數和信息完全度關聯系數，提出了一種包含參數的概率多值中智集的綜合關聯系數，以便測量2 個概率多值中智集的整體相關關系。然后，本文提出了一系列的概率多值中智集的加權關聯系數。最后，本文基于概率多值中智集的關聯系數構建一種可以有效地確定參數且適用于屬性權重已知的多屬性決策模型，并通過具體案例進行了驗證分析。

1 預備知識

1.1 概率多值中智集

1.2 概率多值中智數的信息完全度

在概率多值中智數α中的真值隸屬度集合、不確定隸屬度集合和非隸屬度集合中，若三者中的概率之和越接近于1，則代表α的信息就越完整，反之則亦然。為此本文基于概率猶豫模糊元的信息不完全度[23]提出一種測量α的信息完整程度的測度，其相關定義如下：

2 概率多值中智集的關聯測度

為了測量2個概率多值中智集的相關關系，在文獻[24]的啟發下，本文首先提出概率多值中智集的期望關聯系數、精確度關聯系數和信息完全度關聯系數，然后通過加權平均算子的思想構建帶有參數的概率多值中智綜合關聯系數，以便測量任意2個概率多值中智集的整體相關關系，最后考慮到權重的重要性，提出了概率多值中智集的多種加權關聯系數。

2.1 概率多值中智集的關聯系數

2.2 概率多值中智集的加權關聯系數

考慮到集合X中的xi(i=1,2,…,n)可能會存在不同的權重，因此本文提出概率多值中智集的加權關聯系數。

3 建立決策模型

本文利用上述概率多值中智集的關聯系數構建一種適用于屬性權重完全已知的多屬性決策模型。

3.1 問題描述

對某一概率多值中智多屬性決策問題，設被評價對象的集合為Y={yi|i=1,2,…,n}，相關的評價屬性集合為E={ej|j=1,2,…,m}，屬性的權重集合為w=(w1,w2,…,wn)T，且滿足wj≥0 和，且屬性權重完全已知。決策群體根據屬性對被評價方案進行評價，評價結果以概率多值中智數的形式表現出來，因此獲得概率多值中智決策矩陣M=(αij)m×n。

3.2 理想方案的選擇

3.3 參數的確定

根據屬性的權重集w=(w1,w2,…,wn)T和公式（8）～（10）計算每個被評價方案yi={αij|j=1,2,…,n}(i=1,2,…,m)與理想方案之間加權期望關聯系數ρwe(yi,y+)、加權精確度關聯系數ρwu(yi,y+)和加權信息完全度關聯系數ρwl(yi,y+)。

已知ρwe(yi,y+)、ρwu(yi,y+)和ρwl(yi,y+)分別測量了被評價方案yi與理想方案y+的平均程度、精確程度和信息完整程度之間的相關關系，可見上述三種關聯系數是從三個不同的視角進行研究的，因此在計算被評價方案yi與理想方案y+的加權綜合關聯系數ρwt(yi,y+)時，參數可以看作是3 種關聯系數的相對權重。為了有效地確定參數的大小，下面本文從主客觀權重的實際意義提出該參數的計算方法。

從主觀的角度，本文基于文獻[25]對主觀賦權的研究結論，發現決策群體在主觀給出參數時，一般在心里首先對3種關聯系數的重要性進行排序，然后再進行主觀賦值。顯然主觀參數具有2個重要信息：序信息和強度信息。序信息代表了參數的大小排序，強度信息代表了參數的大小。由于主觀得到的參數是決策群體根據自身經驗和知識得到的，所以參數的大小具有很強的主觀隨意性。但參數的大小排序與現實情況比較接近，且不會隨著數據的改變而改變，因此主觀參數的序信息的作用要強于強度信息。為了有效地考慮主觀結果的序信息，參數應當與主觀參數的排列順序保持一致最好。

根據模型（M-1）得到關于方案yi(i=1,2,…,m)的客觀參數為受文獻[25]的啟發，客觀得到的參數也具有序信息和強度信息，其中強度信息有效地避免了主觀隨機性。但該參數會隨著數據的改變而改變，相應參數的排序結果也會發生改變，所以序信息是不穩定的。因此客觀參數的強度信息作用要強于序信息。為了有效地考慮客觀結果的強度信息，參數應當與客觀參數越接近越好。

此外，基于文獻[27]的思想，本文認為實際的參數應當落在主觀參數的δ鄰域和客觀參數的δ鄰域的交集，保證最終的參數兼顧主觀結果的序信息和客觀結果的強度信息。因此本文認為關于方案yi的參數應當滿足

3.4 被評價方案的排序

4 案例分析

4.1 案例

某購物網站欲對4 款即將上市的同等價位的性價比高低不一的智能手機（記為yi(i=1,2,3,4)）展開評測，進而探索消費者的潛在購買意向。已知相關評測的屬性分別為系統流暢度(e1)、UI 設計（指對手機的人機交互、操作邏輯、界面美觀的整體設計）(e2)、功能多樣性(e3)以及硬件配置(e4)4個方面，相關的屬性權重分別是w=(0.27,0.2,0.16,0.37)T。現邀請一專家組按照上述4 種屬性對4 種手機進行評價，相關評價結果以概率多值中智數的形式表現出來，如表1所示。

表1 概率多值中智決策矩陣MTable 1 Probability multi-valued neutrosophic decision matrix M

在表1 中<{0（0.6），0.6（0.4）}，{0.4（1）}，{0.3（0.4），0.5（0.4）}>，{0（0.6），0.6（0.4）}代表決策群體認為手機y1滿足屬性e1的隸屬程度有0 和0.6，且相應的概率分別是0.6和0.4；{0.4（1）}代表決策群體對手機y1滿足屬性e1的不確定程度為0.4，且它的概率為1；{0.3（0.4），0.5（0.4）}代表決策群體對手機y1不隸屬于屬性e1的程度為0.3和0.5，且相應的概率均為0.4，其他數據具有類似意義。

4.2 理想方案的確定

4.3 參數的確定

根據公式（8）、（9）和（10）分別計算yi(i=1,2,3,4)與理想方案y+的關聯系數，相關計算結果如表2所示。

表2 各個方案與理想方案的關聯系數Table 2 Correlation coefficient of each plan and ideal plan

已知決策群體給出的主觀參數為ωs=(0.6,0.1,0.3)T，然后基于模型（M-1）和（M-2）計算得到最終參數如表3所示。

表3 各個方案的參數Table 3 Parameters of each plan

4.4 排序結果

根據表2 和表3 計算得到各個被評價方案的加權綜合關聯系數分別是ρwt(y1,y+)=0.416 8，ρwt(y2,y+)=-0.059 6，ρwt(y3,y+)=-0.048 8 和ρwt(y4,y+)=0.906 7。

因此可得方案的最終排序為y4?y1?y3?y2。

4.5 對比分析

為了說明本文所提的方法的優勢，本文采用文獻[11]所提的概率多值中智加權平均（PMVMMWA）算子和概率多值中智加權幾何（PMVMMGA）算子對上述案例進行決策，計算結果如表4所示。

表4 三種方法的排序結果Table 4 Sort results of three methods

從表4 可以看出PMVMMWA 算子和PMVMMWG算子得到的結果與本文的結果存在部分差異，但本文模型具有以下優勢：（1）文獻[11]所提的方法與本文模型相比步驟復雜且耗時過多，而本文模型的計算過程簡單且易于理解；（2）本文模型較文獻[11]相比考慮了方案的整體，即關聯系數是將方案看作一個整體考慮的，并通過方案與理想方案之間的關聯程度體現各方案的優劣，因此計算結果更直觀。

5 結語

針對關于研究概率多值中智集關聯系數較少的現狀，本文首先提出了概率多值中智集的期望關聯系數、精確度關聯系數和信息完全度關聯系數，然后提出了帶有參數的概率多值中智綜合關聯系數和一系列加權關聯系數，建立一種概率多值中智多屬性決策模型，最后通過具體案例證明了該模型的有效性。雖然本文所提的關聯系數可應用到模式識別和聚類分析領域中，但該關聯系數假設屬性之間是完全獨立的，而在現實情況中，屬性之間可能存在相關關系，因此在后續的研究中將關注其他形式的概率多值中智關聯系數。