基于信息?；膮^間值信息系統不確定性度量方法

甘秀娜 李 明 王月波

1(石家莊鐵路職業技術學院組織人事部 河北 石家莊 050041)2(石家莊鐵道大學四方學院經濟管理系 河北 石家莊 051132)3(河北銀行股份有限公司信息技術部 河北 石家莊 050000)

0 引 言

信息系統的不確定性度量是目前信息科學領域的研究熱點。粗糙集是波蘭學者Pawlak[1]提出的一種信息分析理論，尤其在處理不確定性數據方面表現出了良好的性能，因此目前廣泛用于數據的不確定性度量[2]。

區間值信息系統是一種較為常見的信息系統形式，其廣泛存在于醫療和金融領域[3]。針對這種類型的信息系統，Yao等[4]將傳統的粗糙集理論推廣至區間值信息系統中，提出了上下近似的定義，建立了區間值粗糙集模型。在文獻[4]的基礎上，Dai等[5-7]利用區間值粗糙集模型提出區間值信息系統的多種不確定性度量方法，其方法都是利用區間值粗糙集上下近似來度量近似對象集的粗糙度，然后用粗糙度去表示區間值信息系統的不確定性度量結果。譚佳德等[8]做了進一步改進，提出了基于覆蓋方法的區間值信息系統不確定性度量，并提出對應的屬性約簡算法。

近年來，Liang等[9]指出傳統的基于粗糙集上下近似的不確定性度量存在一定的局限性，即隨著信息系統屬性的增加，不確定性度量逐漸降低，而粗糙度可能會存在不變的情形，進一步利用粒計算的知識粒度方法進行度量可以改善這一局限[9]。粒計算是著名學者Zadeh[10]提出的一種信息計算理論，Liang等[11]將該理論進一步引入粗糙集模型中。苗奪謙等[12]利用粒計算方法進行信息系統的不確定性分析，Zhang等[13]利用粒計算模型對信息系統進行信息?；?，然后利用?；Y果進行不確定性度量。同樣地，Chen等[14]利用信息粒化方法進行鄰域信息系統的不確定性度量，Qin等[15]進行不完備信息系統的不確定性度量，徐風等[16]在模糊鄰域信息系統進行信息?；?，并設計出一種不確定性度量方法。

針對區間值信息系統的不確定性度量，本文首先將通過實例方法驗證粗糙度度量的缺陷，然后在目前粒計算度量方法的研究成果上，將信息?；姆椒ㄒ雲^間值信息系統中，定義了區間值信息系統下的信息粒結構，并進一步地提出區間值信息系統的知識粒度度量方法，理論分析證明了該方法在信息系統不確定性度量方面的有效性。同時基于區間值信息系統的信息粒結果，本文進一步地提出一種區間值信息系統的粗糙熵度量，理論證明了粗糙熵的嚴格單調性，同樣可以用于區間值信息系統的不確定性度量。最后通過實驗分析驗證了所提出的知識粒度和粗糙熵均優于傳統的粗糙熵度量。

1 區間值信息系統與不確定性度量

區間值信息系統是一種常見的信息系統類型，該信息系統中，屬性值以一種區間值的數據來表示。

設區間數為[R]={r=[r-,r+]|r-,r+∈R,r-≤r+}，其中R表示實數域，對于常數?a∈R，可表示成區間值形式為a=[a,a]。

對于a,b∈[R]，那么有：

(1)a=b?a-=b-,a+=b+。

(2)a≤b?a-≤b-,a+≤b+;a

定義1[4]設區間數a,b∈[R]，a關于b的概率定義為：

(1)

根據定義1，區間數滿足如下關系[4]:

(1)a,b∈[R],0≤P(a,b)≤1。

(2)a∈[R],P(a,a)=1。

(3)a,b∈[R],P(a,b)+P(b,a)=1。

定義2[4]設區間數a,b∈[R]，a與b之間的相似度定義為：

S(a,b)=1-|P(a,b)-P(b,a)|

(2)

根據定義2，區間數滿足如下關系[4]：

(1)a,b∈[R],S(a,b)=S(b,a)。

(2)a,b∈[R],0≤S(a,b)≤1。

(3)a,b∈[R],S(a,b)=1?a=b。

設區間值信息系統表示為IS=(U,A)，其中：U為信息系統的論域；A為信息系統的屬性集。

定義3[6]考慮區間值信息系統IS=(U,A)，設θ∈(0,1]和屬性子集B?A，定義屬性子集B在論域U上誘導的相似關系為：

(3)

(4)

區間值信息系統上的相似關系對論域誘導出的相似類，可以進一步建立區間值信息系統的粗糙集模型。

(5)

(6)

式中：θ近似度反映的是在閾值θ下，屬性集B對對象集X的近似逼近程度；θ粗糙度則與θ近似度相反，反映的是屬性集B近似逼近的不確定性程度，因此θ粗糙度也被學者們用來度量區間值信息系統的不確定性[6]。

2 區間值信息系統不確定性度量方法

2.1 傳統區間值信息系統不確定性度量的局限性

雖然粗糙度是度量信息系統的一種重要的方法，但是近年來，一些學者指出該種度量方法存在一定的不足，隨著屬性的變化，粗糙度不一定滿足嚴格單調，從而不能很好地進行信息系統的不確定性評估[9]。下面通過一個例子來說明。

例1表1所示為一個區間值信息系統，其中：U為信息系統的論域；{a,b,c,d,e}為信息系統的屬性集。

表1 區間值信息系統

設P={a,b}，Q={a,b,c}，并且θ=0.4，對于X={x2,x5}有：

根據定義4有:

但是，對象在屬性集Q下的相似類均小于在屬性集P下的相似類，因此屬性集Q的不確定性要小于屬性集P，而θ粗糙度值是一樣的，因此該度量方法不能很好地反映區間值信息系統的不確定性程度。

2.2 區間集信息系統信息粒化模型

本節將在文獻[9,11]信息系統的粒化模型基礎上，將信息?；Ｐ屯茝V至區間值信息系統中，提出相應的知識粒度度量方法。

(7)

性質1設區間值信息系統IS=(U,A)，給定θ∈(0,1]和屬性子集P,Q?A，若P?Q，則有：

(8)

證畢。

性質2設區間值信息系統IS=(U,A)，設屬性子集P?A，若0<θ1≤θ2≤1，則有：

(9)

證畢。

下面在區間值信息系統?；Ｐ偷幕A上，進一步研究信息系統的知識粒度度量。

定義7設區間值信息系統IS=(U,A)，給定θ∈(0,1]，設Gθ:2A→(-∞,+∞)是一個映射函數，Gθ被稱為知識粒度需滿足如下3個條件：

(1) 非負性：?B?A，Gθ(B)≥0。

接下來將定義一種知識粒度的表達形式。

定義8設區間值信息系統IS=(U,A)，|U|=n，給定θ∈(0,1]，對于屬性子集B?A在論域U下的知識粒度Gθ(B)定義為：

(10)

可以看出，定義8中區間值信息系統的知識粒度定義滿足定義7的3個基本條件。

即

證畢。

性質4設區間值信息系統IS=(U,A)，|U|=n，給定θ1,θ2∈(0,1]以及屬性子集P,Q?A，則滿足：

亦即Gθ1(P)≤Gθ2(Q)，則(1)成立，同理(2)成立。

證畢。

性質4的(1)表明，隨著區間值信息系統的信息?；泳殨r，其區間值信息系統的知識粒度是逐漸減小的，并且性質4的(2)表明知識粒度是嚴格單調性變化的，因此利用知識粒度進行區間值信息系統的不確定性度量是適用的。

性質5設區間值信息系統IS=(U,A)，|U|=n，那么滿足:

(1) 若P?Q?A且θ∈(0,1]，那么Gθ(Q)≤Gθ(P)。

(2) 若0<θ1≤θ2≤1且B?A，那么Gθ2(B)≤Gθ1(B)。

證畢。

例2區間值信息系統如表1所示。設P={a,b}，Q={a,b,c}，并且θ=0.4，根據例1有：

比較例1可以發現，從P至Q隨著屬性的增加，知識粒度的結果發生了變化，因此知識粒度更加嚴格單調。

2.3 基于熵的區間值信息系統不確定性度量

通過信息系統的?；Ｐ?，可以將信息系統的論域分解成一個個信息粒，通過這些信息粒，學者們提出了信息系統的熵模型[11]，并利用這些熵的方法去進行信息系統的不確定性度量。本節將這些方法進一步推廣，提出區間值信息系統下的熵模型，并構造相應的不確定性度量方法。

(11)

區間值信息系統下的粗糙熵滿足性質6-性質8。

0≤Eθ(B)≤nlog2n

(12)

則有

證畢。

性質7設區間值信息系統IS=(U,A)，|U|=n，給定θ1,θ2∈(0,1]以及P,Q?A，則：

即Eθ1(P)≤Eθ2(Q)，所以(1)成立，同理(2)也成立。

證畢。

性質7的(1)表明，隨著區間值信息系統的信息?；泳殨r，其區間值信息系統的粗糙熵是逐漸減小的，即粗糙熵滿足單調性，并且性質7的(2)表明粗糙熵滿足嚴格單調性變化的。

性質8設區間值信息系統IS=(U,A)，|U|=n，那么：

(1) 若P,Q?A且P?Q，對于θ∈(0,1]有Eθ(Q)≤Eθ(P)。

(2) 若0<θ1≤θ2≤1，對于B?A有Eθ2(B)≤Eθ1(B)。

證畢。

例3區間值信息系統如表1所示。設P={a,b}，Q={a,b,c}，并且θ=0.4，根據例1有:

上述結果同樣表明粗糙熵具有更嚴格的單調性。

3 實驗與結果分析

本節將通過實驗來驗證本文方法的有效性，表2所示的是實驗中的區間值信息系統，其中數據集1-數據集3選取自UCI機器學習數據集庫，所有非區間值的屬性已進行刪除，數據集4-數據集5是本文實驗隨機生成的人工數據集。

表2 實驗數據集

實驗將每個數據集按照屬性依次增加的順序計算信息系統的粗糙度、知識粒度和粗糙熵的結果，這些結果表示的是不同度量方法對信息系統不確定性度量的值。如圖1-圖5所示，其中區間值信息系統的θ值選取為0.7。

(a) 粗糙度

(a) 粗糙度

(a) 粗糙度

(a) 粗糙度

(a) 粗糙度

圖1中，隨著屬性數量的增加，三種不確定性度量值均是不斷降低的，這主要是由于屬性的增加意味著可獲取的知識越來越多，那么信息系統的不確定性程度則越來越小。比較圖1中粗糙度、知識粒度和粗糙熵的結果可以發現，在屬性由1增加至2時，粗糙度的值保持不變，而知識粒度和粗糙熵的值均是減小的，說明屬性由1增加至2時，信息系統的不確定性發生了減小，但是粗糙度并沒有刻畫出這種變化。產生這種現象的主要原因是由于屬性由1增加至2時，雖然對象的相似類發生了變化，但是信息系統決策類的近似程度并沒有發生變化。正如本文例1展示的那樣，發生變化的相似類不改變粗糙集的上下近似集，因此粗糙度不能很好地反映信息系統不確定性程度。相反，屬性由1增加至2時，知識粒度和粗糙熵的值是降低的，因此知識粒度和粗糙熵的評估程度要更好一些。在圖2數據集的不確定性度量中，當屬性由2增加至3時，粗糙度保持不變，而知識粒度和粗糙熵是減小，其原因與圖1也是一樣的。同樣地，在圖3中，屬性由1增加至5，粗糙度的不確定性度量結果保持不變，其余兩種度量方法的度量值是降低的，均表現出了信息系統不確定性的變化。此外觀察圖3可以發現一個有趣的結果，在數據集屬性由20增加至21時，三種度量結果表現一致，均大幅度減小，這說明屬性21的增加使得信息系統的不確定性大幅度降低，從而證明知識粒度和粗糙熵能達到粗糙度同樣的度量效果。在圖3中屬性32增加至33，粗糙度和知識粒度均大幅度減小，粗糙熵也有一定幅度的減小。在圖4中屬性由1增加至2，圖5屬性由1增加至5和屬性由9增加至12，這些情形粗糙度度量值均未發生變化，而另外兩種度量方法均表現出了信息系統不確定性的改變。

綜合以上實驗結果，表明本文所提出的區間值信息系統知識粒度度量和粗糙熵度量不僅可以改善傳統粗糙度度量的局限，而且還能表現出粗糙度同樣的不確定性度量性能。由于知識粒度度量和粗糙熵度量均具有嚴格的單調性，因此實際應用中可以任意選擇其中一種進行應用。

4 結 語

不確定性度量是數據挖掘和知識發現等領域的重要研究內容，粗糙集和粒計算理論是進行信息系統不確定性度量的強有力工具。針對區間值信息系統，本文揭示了傳統粗糙集中粗糙度在進行不確定度量時的不足，同時提出一種區間值信息系統的知識?；Ｐ?。通過定義區間值信息系統上的粒結構，進一步地提出知識粒度度量，理論分析證明了該度量隨知識粒化的單調性，可以用作區間值信息系統的不確定性度量。同時基于該信息?；Ｐ停ㄟ^信息熵的角度提出了區間值信息系統的粗糙熵度量，同樣證明了可以用作信息系統的不確定性度量。實驗分析表明，所提出的兩種度量方法均改善了區間值信息系統傳統粗糙度度量的局限性。