基于多元線性回歸模型的考試評(píng)價(jià)與預(yù)測(cè)研究

郝翠萍

（榆林學(xué)院教育學(xué)院，陜西榆林 719600）

通過考試能夠考核和評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，教師通過分析考試成績(jī)能夠精準(zhǔn)了解學(xué)生對(duì)于知識(shí)掌握程度，從而調(diào)整教學(xué)方式與模式。所以，教師要客觀、正確的評(píng)價(jià)成績(jī)。有效、合理的成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)能夠使教師反思課堂教學(xué)過程中的不足，還能夠使教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)正確評(píng)估，避免出現(xiàn)負(fù)面影響，為后續(xù)課程的教學(xué)提供參考[1]。以此，文中針對(duì)考試的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)，提出基于多元性回歸模型的創(chuàng)建策略。

1 數(shù)據(jù)處理

文中收集了100 名學(xué)生基礎(chǔ)課程第一學(xué)期的考試成績(jī)和結(jié)業(yè)考試成績(jī)，數(shù)據(jù)中全部案例都根據(jù)學(xué)生的結(jié)業(yè)考試成績(jī)、第一學(xué)期考試成績(jī)和性別匯總。第一學(xué)期考試成績(jī)包括GRADE 值為60 分以下、60-65 分之間、65-75 分之間、75 分以上等4 個(gè)檔次。以此，創(chuàng)建交互組后構(gòu)成匯總水平觀測(cè)案例，成績(jī)分組數(shù)據(jù)詳見表1。

表1 成績(jī)分組數(shù)據(jù)

表中GENDER 為0 指的是男生，1 指的是女生。第j組結(jié)業(yè)成績(jī)超過70 分比例表示為fj，第j組的觀測(cè)頻數(shù)用nj表示，第j組權(quán)數(shù)表示為wj[2]。

通過某案例中的數(shù)據(jù)創(chuàng)建分析單元，全部自變量指的是GEADE、GENDER 的值，每組都一樣。結(jié)業(yè)成績(jī)超過70 分的概率為pj，假設(shè)同一組中所有人的結(jié)業(yè)成績(jī)均超過70 分，用樣本結(jié)業(yè)成績(jī)大于70 分的比例或者結(jié)業(yè)成績(jī)大于70 分的相對(duì)頻數(shù)fj估計(jì)pj，并且假設(shè)：

式（1）中εj指殘差，fj的期望值表示為E（f）j=pj。在樣本規(guī)模比較大的時(shí)候，殘差就會(huì)比較小，并且fj和pj越來越接近。假如一個(gè)組中的觀測(cè)頻數(shù)比較大，就能夠計(jì)算相對(duì)頻數(shù)，將其作為事件概率估計(jì)。在樣本規(guī)模不斷增加的過程中，觀測(cè)相對(duì)頻數(shù)是指概率真值估計(jì)，連續(xù)變量使組內(nèi)頻率得到增加[3]。

2 多元線性回歸模型

線性分析指的是對(duì)一個(gè)變量到另外一個(gè)變量相互關(guān)系的研究，并且研究變量相互間的關(guān)系緊密程度與性質(zhì)。簡(jiǎn)單來說，線性回歸分析的主要任務(wù)就是描述定量關(guān)系。回歸分析能夠根據(jù)非確定變量關(guān)系確定函數(shù)的關(guān)系，對(duì)兩個(gè)變量回歸關(guān)系研究時(shí)，稱之為簡(jiǎn)單回歸或一元回歸，對(duì)3 個(gè)或者以上變量回歸關(guān)系研究時(shí)，稱之為復(fù)回歸或多元回歸。線性回歸能夠?qū)σ粋€(gè)或者多個(gè)自變量和一個(gè)因變量線性關(guān)系進(jìn)行分析，SPPS 提供5 種創(chuàng)建回歸方程方法和殘差分析、參數(shù)估計(jì)等方法[4]。

通過數(shù)據(jù)工具使實(shí)際問題得到解決的主要手段為數(shù)學(xué)建模，此方法有多種，多元線性回歸屬于多因素模型分析的常見方法，此方法比較方便簡(jiǎn)單，并且預(yù)測(cè)效果能夠利用回歸擬合程度進(jìn)行展現(xiàn)。但是在回歸分析中，如何利用多因素選擇合適因子影響模型分析結(jié)果。多元線性分析預(yù)測(cè)方法指的是利用兩個(gè)或者以上因變量、自變量相關(guān)分析創(chuàng)建預(yù)測(cè)模型，在因變量、自變量具備線性關(guān)系時(shí)，也就是多元線性回歸分析。自變量和因變量具備密切線性相關(guān)，并且自變量對(duì)于因變量具備互斥性，估計(jì)回歸系數(shù)數(shù)量不能超過樣本容量。

通過分組數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)數(shù)發(fā)生比，估計(jì)真實(shí)對(duì)數(shù)發(fā)生比，計(jì)算公式為：

假設(shè)對(duì)數(shù)發(fā)生比是指招生分?jǐn)?shù)、類型的函數(shù)，從而創(chuàng)建以下回歸模型對(duì)此數(shù)據(jù)進(jìn)行分析：

利用分組數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)數(shù)發(fā)生比，通過常規(guī)最小二乘法對(duì)回歸模型進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)自變量對(duì)個(gè)人數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，然后對(duì)每組時(shí)間概率pj進(jìn)行估計(jì)，根據(jù)每組事件概率估計(jì)對(duì)數(shù)發(fā)生比，從而成為線性回歸模型因變量，線性回歸自變量屬于分類變量[5]。

式（3）的模型存在異方差性，由于每組殘差項(xiàng)和本組事件發(fā)生概率具有密切關(guān)系，并且關(guān)系著本組觀測(cè)頻率。那么，可以使用最小二乘法GLS 實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)分析。該文采用最小二乘法模型，其中所有原始變量為常數(shù)項(xiàng)要求加權(quán)轉(zhuǎn)換，權(quán)數(shù)為殘差項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)誤差系數(shù)。由于殘差標(biāo)準(zhǔn)誤差依賴于fj，并且fj在不斷地改變，相關(guān)殘差項(xiàng)方差具有不同的假設(shè)條件。如果無法使這種異方差問題得到解決，相關(guān)參數(shù)估計(jì)顯著性建設(shè)是無效的。為了對(duì)異方差性進(jìn)行修正，要在模型估計(jì)前對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

該文列出和成績(jī)相關(guān)指標(biāo)，分別為高考成績(jī)、平均成績(jī)、分級(jí)成績(jī)和期末卷面成績(jī)，通過Excel 得出影響因素和英語四級(jí)考試成績(jī)散點(diǎn)分布圖[6]，詳見圖1～4。表2 為高考英語成績(jī)小于103 分的學(xué)生的四級(jí)成績(jī)表和高考英語成績(jī)大于等于103 分的學(xué)生的四級(jí)成績(jī)統(tǒng)計(jì)表。

表2 高考成績(jī)和四級(jí)成績(jī)統(tǒng)計(jì)表

圖1 分班成績(jī)散點(diǎn)分布圖

通過圖1 可知，分班成績(jī)?yōu)閷W(xué)生剛進(jìn)入到學(xué)校的成績(jī)，也是對(duì)學(xué)生過完假期之后的英語水平。分班成績(jī)和四級(jí)考試成績(jī)線性關(guān)系優(yōu)于高考成績(jī)，關(guān)系點(diǎn)在線性曲線附近分布，并且存在個(gè)別關(guān)系點(diǎn)和線性關(guān)系距離比較遠(yuǎn)的問題。由此可知，分班成績(jī)能夠成為對(duì)學(xué)生四級(jí)考試成績(jī)影響的主要因素[7]。

通過圖2 可知，英語平時(shí)成績(jī)和四級(jí)考試成績(jī)沒有線性關(guān)系，表示平時(shí)成績(jī)并不會(huì)影響到學(xué)生的四級(jí)考試成績(jī)，能夠?qū)⑵涮蕹?/p>

圖2 英語平時(shí)成績(jī)散點(diǎn)分布圖

通過圖3 可知，高考成績(jī)關(guān)系點(diǎn)在線性關(guān)系曲線附近分布，因?yàn)槭芷渌蛩赜绊懀糠株P(guān)系點(diǎn)距離線性關(guān)系曲線比較遠(yuǎn)，但仍為線性關(guān)系[8]。

圖3 英語高考成績(jī)散點(diǎn)分布圖

通過圖4 可知，期末卷面成績(jī)和四級(jí)考試成績(jī)具有良好線性關(guān)系，關(guān)系點(diǎn)都處于關(guān)系曲線附近，表示期末卷面成績(jī)?yōu)橹饕绊懸蛩豙9]。

圖4 英語期末卷面成績(jī)散點(diǎn)分布圖

通過上述分析可知，四級(jí)考試成績(jī)和分班成績(jī)、高考成績(jī)與期末卷面成績(jī)具有良好線性關(guān)系，通過SPSS 軟件實(shí)現(xiàn)收集數(shù)據(jù)的回歸分析處理，能夠得出處理后的數(shù)據(jù)。表3 為模型系數(shù)分析（Sig.代表顯著性，B代表組間差異，T代表單樣本校驗(yàn)），通過表3 可以看出期末卷面成績(jī)偏相關(guān)系數(shù)是最大的，也就是表示期末卷面成績(jī)對(duì)于四級(jí)考試成績(jī)影響最大[10]。

表3 模型系數(shù)分析

3 多元線性回歸模型顯著性校驗(yàn)

如何實(shí)現(xiàn)回歸方程顯著性校驗(yàn)，假設(shè)：

式（4）中，假如接收H0，那么多元線性回歸模型無法滿足自變量關(guān)系需求。從而創(chuàng)建H0 校驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，取合適的考試成績(jī)和人數(shù)，校驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。表4 為方差分析數(shù)值表，可以看出，回歸方程顯著[11]。

表4 方差分析數(shù)值表

已知學(xué)生3 個(gè)學(xué)期期末考試成績(jī)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理。使用已經(jīng)創(chuàng)建的模型對(duì)學(xué)生在英語四級(jí)考試中的成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)[12]。首先，分析成績(jī)并且說明；另外，對(duì)成績(jī)合理可靠性進(jìn)行分析；最后，對(duì)比四級(jí)成績(jī)考試預(yù)測(cè)成績(jī)和實(shí)際成績(jī)，圖5 為英語四級(jí)考試成績(jī)對(duì)比圖。通過圖5 可以看出來，兩條折線基本吻合[13]。部分學(xué)生預(yù)測(cè)過程中存在不在預(yù)測(cè)模型的情況，從而使學(xué)生成績(jī)出現(xiàn)偏差。觀察折線圖，對(duì)可校驗(yàn)?zāi)Ｐ陀行赃M(jìn)行對(duì)比分析，預(yù)測(cè)成績(jī)可靠合理[14-18]。

圖5 英語四級(jí)考試成績(jī)對(duì)比圖

4 結(jié)束語

該文研究表明，利用回歸分析模型能夠?qū)荚嚦煽?jī)進(jìn)行評(píng)價(jià)，并且可合理預(yù)測(cè)成績(jī)。利用模型顯著性校驗(yàn)?zāi)軌驅(qū)δＰ秃侠硇赃M(jìn)行判斷，通過模型回歸系數(shù)顯著性校驗(yàn)，能夠?qū)ふ业綄?duì)因變量影響比較弱的自變量后剔除，從而簡(jiǎn)化模型，便于模型的使用。在實(shí)際預(yù)測(cè)過程中，需考慮多因素的影響，最大程度地減小誤差。