q分量三階混料中心多項(xiàng)式模型R-最優(yōu)設(shè)計(jì)

鄭 婷

(蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 甘肅 蘭州 730030)

0 引 言

混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)與工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)密切相關(guān)，發(fā)展十分迅速[1].在q分量混料系統(tǒng)中，所度量的響應(yīng)只是出現(xiàn)在混料中各種成份比例x1,x2,…xq的函數(shù)，而與混料的總量無關(guān)，混料問題中的各成份比例，即每種成份在混料總量中所占的百分比是不能任意變化的，要受到約束條件

的限制，從而構(gòu)成了混料系統(tǒng)中的q-1維正規(guī)單純形

(1)

在混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，關(guān)于D-最優(yōu)設(shè)計(jì)的研究已趨于完備.D-最優(yōu)準(zhǔn)則的幾何意義是最小化模型參數(shù)向量的置信橢球體的體積，但當(dāng)模型參數(shù)的維數(shù)較大時(shí)，該置信橢球體的體積不易計(jì)算且解釋也不夠簡潔明了，對此，Holger[2]基于Bonferroni-t區(qū)間法

(2)

(3)

其中，(M-1(ξ))ii表示信息矩陣的逆矩陣的主對角線元素，R-最優(yōu)設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)意義是將信息矩陣的逆矩陣的主對角線元素的乘積最小化，從而使得其矩形置信區(qū)域的體積最小.

Holger根據(jù)線性回歸模型參數(shù)聯(lián)合估計(jì)的Bonferroni-t區(qū)間法，構(gòu)造了矩形置信區(qū)域，于1997年提出了一類基于該置信區(qū)域的新型最優(yōu)準(zhǔn)則——R-最優(yōu)準(zhǔn)則.關(guān)于R-最優(yōu)準(zhǔn)則的研究相對于其它最優(yōu)準(zhǔn)則，如A-最優(yōu)準(zhǔn)則、D-最優(yōu)準(zhǔn)則、E-最優(yōu)準(zhǔn)則和I-最優(yōu)準(zhǔn)則來說相對較少，僅趙洪雅等[3-4]介紹了二階Scheffé正則多項(xiàng)式模型參數(shù)估計(jì)的R-最優(yōu)，二階可加混料模型參數(shù)估計(jì)的R-最優(yōu)設(shè)計(jì)問題.李俊鵬等[5]討論了q分量二階混料K模型的R-最優(yōu)設(shè)計(jì).胡小玲[6]研究了二階塌落模型的R-最優(yōu).而關(guān)于單純形-中心多項(xiàng)式的研究，關(guān)穎男等[7]討論了q-1階多重線性多項(xiàng)式模型參數(shù)估計(jì)的A-最優(yōu)設(shè)計(jì)，給出了一種A最優(yōu)設(shè)計(jì)的算法，佟毅等[8]討論了最優(yōu)的單純形-中心設(shè)計(jì).基于此，本文將R-最優(yōu)準(zhǔn)則與單純形-中心多項(xiàng)式結(jié)合起來，主要介紹q分量三階中心多項(xiàng)式混料模型的R-最優(yōu)設(shè)計(jì)，并給出設(shè)計(jì)柱點(diǎn)以及相應(yīng)的測度.

1 q分量三階中心多項(xiàng)式模型

對于q分量混料系統(tǒng)來說，q-1維正規(guī)單純形Sq-1上的q階單純形中心多項(xiàng)式模型為

(4)

對于模型(4)，試驗(yàn)點(diǎn)安排在單純形Sq-1上所有各類中心上的設(shè)計(jì)就是單純形-中心設(shè)計(jì)，單純形-中心設(shè)計(jì)是Scheffé在1963年提出的，在q分量單純形-中心設(shè)計(jì)中，共有2q-1個(gè)不同的試驗(yàn)點(diǎn)，分別為q個(gè)純混料、Cq2個(gè)二分量等比例混料和Cq3個(gè)三分量等比例混料，…，全部分量的等比例混料.

特別地，當(dāng)m=3時(shí)，正規(guī)單純形Sq-1上的q分量三階中心多項(xiàng)式模型為

(5)

2 q分量三階中心多項(xiàng)式模型R-最優(yōu)設(shè)計(jì)

本文考察的是在混料系統(tǒng)正規(guī)單純形Sq-1上模型(5)的R-最優(yōu)設(shè)計(jì)，通過計(jì)算給出了該模型在Sq-1內(nèi)的R-最優(yōu)設(shè)計(jì)柱點(diǎn)及其測度.

引理1[9]對于混料區(qū)域Sq-1上的三階中心多項(xiàng)式模型(5)，參數(shù)估計(jì)的最優(yōu)設(shè)計(jì)柱點(diǎn)只能是Sq-1上的各類中心點(diǎn).

設(shè)r1,r2,r3分別表示Sq-1上的每個(gè)頂點(diǎn)、兩頂點(diǎn)中心及三頂點(diǎn)中心的測度，滿足

則模型(5)所對應(yīng)的設(shè)計(jì)矩陣X為

記測度矩陣為

則該模型所對應(yīng)的信息矩陣M(ξ)為

M(ξ)=XTΛX=

利用文獻(xiàn)[10]求3×3分塊矩陣的逆矩陣的方法，求得信息矩陣M(ξ)的逆為

其中

由R-最優(yōu)準(zhǔn)則(3)可得如下約束極小值問題

利用拉格朗日乘子法，令

H(r1,r2,r3,λ)=

對r1,r2,r3,λ求偏導(dǎo)，得

(6)

由于式(6)較復(fù)雜，不易求出r1、r2、r3的表達(dá)式，但當(dāng)q為具體數(shù)值時(shí)，通過將q的值帶入式(6)并結(jié)合軟件mathematica可得到具體分量的三階中心多項(xiàng)式模型的R-最優(yōu)配置的數(shù)值解.

3 實(shí) 例

下面考察當(dāng)q=3時(shí)模型(5)的R-最優(yōu)設(shè)計(jì).可直接將q=3帶入式(6)，通過軟件mathematica計(jì)算得到三分量三階中心多項(xiàng)式模型的R-最優(yōu)配置.也可通過該模型的信息矩陣，利用拉格朗日乘子法得到其R-最優(yōu)配置.

設(shè)r1,r2,r3分別表示混料系統(tǒng)正規(guī)單純形S3-1上的每個(gè)頂點(diǎn)、兩頂點(diǎn)中心及三頂點(diǎn)中心的測度，滿足

則該模型所對應(yīng)的設(shè)計(jì)矩陣X為

記測度矩陣為

則該模型所對應(yīng)的信息矩陣M(ξ)為

M(ξ)=

其中，J3為元素均為1的三階方陣.

易求得信息矩陣M(ξ)的逆為

其中

由R-最優(yōu)準(zhǔn)則(3)可得如下約束極小值問題

利用拉格朗日乘子法解該條件極小值問題，結(jié)合軟件mathematica可得到如下結(jié)果：

r1→0.179 635 000 502 688 07,

r2→0.121 685 461 418 078 89,

r3→0.096 038 614 237 699 16.

因此，三分量三階中心多項(xiàng)式模型的R-最優(yōu)配置為

4 結(jié) 論

由于實(shí)際中需保持預(yù)測值的精度，需要適當(dāng)提高模型的階數(shù)，因此，對三階中心多項(xiàng)式混料模型及其R-最優(yōu)設(shè)計(jì)的研究是有必要的.本文從R-最優(yōu)設(shè)計(jì)的理論出發(fā)，討論了q分量三階中心多項(xiàng)式模型的R-最優(yōu)設(shè)計(jì)，并結(jié)合軟件mathematica，得到了具體分量的三階中心多項(xiàng)式模型的R-最優(yōu)配置的數(shù)值解.為了求得模型的R-最優(yōu)設(shè)計(jì)，需要得到模型的信息矩陣，通過最小化信息矩陣的逆矩陣的主對角線元素的乘積，利用拉格朗日乘子法解條件極小值問題，得到模型的R-最優(yōu)設(shè)計(jì).在這個(gè)過程中，由于R-最優(yōu)設(shè)計(jì)的信息矩陣計(jì)算的復(fù)雜性，對于q分量的該中心多項(xiàng)式模型，不易求得其R-最優(yōu)配置的數(shù)值表達(dá)式，但當(dāng)q為具體數(shù)值時(shí)，通過軟件mathematica較易得到具體分量的三階中心多項(xiàng)式模型的R-最優(yōu)配置.因此，隨著計(jì)算機(jī)的不斷發(fā)展，利用算法及相應(yīng)的軟件，使得對于模型的R-最優(yōu)設(shè)計(jì)問題變得相對容易，從而可以按照需求解決更為復(fù)雜的R-最優(yōu)設(shè)計(jì)問題.