基于最佳溫度分布的均熱板矩形微通道優化

陳鈺龍 蘇開華 吳磊

摘要：矩形微通道已廣泛用于均熱板中，并且已有大量研究對微通道進行優化。為了對矩形微通道的尺寸進行優化，選擇微通道的溫度分布標準偏差作為標準。首先，根據 Navier –Stokes方程推導了矩形微通道的平均流速公式，然后，又推導了微通道的壁面溫度分布公式，最后采用多項式擬合的方式對平均流速公式進行簡化，得出微通道的溫度分布標準偏差。數值研究表明，寬長比越大，溫度分布越好。僅當寬度與深度的比率滿足接觸角的函數時，可以獲得在微通道的縱向上的最佳溫度分布。為均熱板矩形微通道的尺寸優化提供了一定的理論計算依據，提出了以微通道的溫度分布標準偏差最小作為優化的方向。

關鍵詞：矩形微通道;平均流速;溫度分布

中圖分類號：TK124文獻標志碼：A文章編號：1009-9492（2021）11-0109-04

Optimization of Rectangular Microchannel of Vapor Chamber Based on Optimal Temperature Distribution

Chen Yulong1，Su Kaihua2， Wu Lei2

（1. Zhongshan Sansheng IOT Technology Co.， Ltd.， Zhongshan， Guangdong 528437， China;2. Department of Equipment Manufacturing， Zhongshan Torch Polytechnic， Zhongshan， Guangdong 528437， China）

Abstract： The rectangular microchannel has been extensively used in flat heat pipe and lots of study have been conducted to optimize thechannel on the maximum thermal conductivity in a microchannel. To optimize the size of the rectangular microchannel， the standard deviationof the temperature distribution of the microchannel is selected as the standard. First， the mean flow velocity was established by solving theNavier –Stokes equation. Then， the wall temperature distribution formula of the microchannel was derived. Finally， a polynomial fitting methodwas used to simplify the average flow rate formula， and obtain the standard deviation of the temperature distribution of the microchannel. Thenumerical investigation shows that the larger the ratio of width to length， the better the temperature distribution. Only when the ratio of width todepth satisfies a function of the contact angle， the best temperature distribution in longitudinal direction of the microchannel can be got. Theresearch provides a certain theoretical basis for the optimization of the size of the rectangular microchannel， and proposes the minimumstandard deviation of the temperature distribution of the microchannel as the optimization direction.

Key words： rectangular microchannel; mean flow velocity; temperature distribution

0 引言

電子元器件在使用過程中不可避免地都會出現發熱，因此需要對其進行散熱。而均熱板具有高導熱性的能力，特別適合用于冷卻高功耗電子元件[1]，因此，對均熱板散熱性能研究具有重要意義。已經有大量的文獻對均熱板中的流動和傳熱特性進行研究，姜勇[2]對兩款內部毛細芯結構不同的均熱板進行數值分析，認為內部具有燒結銅粉柱體的均熱板熱性能更加優良;趙亮[3]測試了均熱板和具有相同尺寸電子設備模塊殼體在不同工況下的散熱性能，發現均熱板的均溫效果優于同尺寸常規鋁材模塊殼體;基于植物葉片蒸騰作用帶走大量熱的特性，劉旺玉[4]提出了新型仿葉脈分形結構用以優化均熱板的熱結構;曹紅[5]對功放腔體結構采用了一體化均熱板的形式，解決了毫米波功率放大器芯片的散熱問題，通過熱仿真和熱測試表明一體化均熱板可有效降低功放芯片的工作溫度。然而，到目前為止，研究文獻幾乎都是關注均熱板與其他類型散熱器件的對比研究，而作為均熱板的內部微通道的研究卻很少有關注。本文關注溫度在微槽道中的均衡性，通過基于溫度分布均勻性這一標準對矩形微通道的尺寸進行優化，為均熱板的優化提供一定的理論指導。

1 分析模型及矩形微通道平均流速

本文討論的模型是一種毛細管通道，具有矩形橫截面，并分布在葉脈狀的分形結構中，如圖1所示。假定微通道在縱向方向上長度為 l ，寬度為2W ，深度（高度）為 H （圖1（b））。其他3個側面由銅壁制成。

為了使計算更加方便，開放的微通道等效于圖2中封閉的矩形通道的下半部分，因為開放通道表面中的流體和蒸氣之間的內部黏性摩擦近似為0。對于封閉的微通道，由于其對稱性，中間層界面的流速均相等。根據牛頓內摩擦定律，中間層流體之間的內黏性摩擦也為0。

毛細矩形槽道內的流動控制方程可以由 Navi- er-Stokes 方程得到，Navier-Stokes方程在本笛卡爾坐標系下的表達形式如式（1） 所示。其中， u=（u， v， w ）為速度矢量，μ為液體粘度，p 為毛細壓。

本文中，毛細矩形槽道為充分發展好的流動滿足以下條件：（1） 流動是穩定的，屬于定常流動，因而各參量不隨時間變化，即 =0;（ 2）流動速度在 y、z 軸方向的速度分量為0，只有 x 方向的速度，即p=0，w=0;（3） 流體為不可壓縮流體，?.u =0; （4） 毛細壓力在?p ?p對于毛細壓力，重力影響很小，忽略重力因素，即g=0。

式（ 1）可簡化為：

邊界條件如下所示：

式中：b1、b2為速度滑移長度。

在水的自由界面處，剪切應力被忽略，因此：

根據牛頓內摩擦定律，得到：

為了計算公式（2），應有：

結合式（3）、（4）、（6），得：

其中，βn 滿足：

結合（2）、（3）、（4）、（7） 得：

對于式（7），滑移長度 b 的數量級為10-3 mm[6]， βn 可以表示為：

然后，可以通過以下公式計算通過開放式微通道的總流量（定義為每單位面積的流量）：

結合式（8）（9），流量密度可以表達為：

Wang等[7]根據能量原理計算了入口和出口之間的毛細管壓力差。在當前建立的坐標系中，毛細壓力可以定義為：

式中：σ為表面張力;θ為接觸角常數。而

則開放式微通道中的平均流速可以寫為：

結合式（10）～ （13），得平均流速表達式為：

2 微通道的壁溫

由于矩形通道中的溫度分布非常復雜，因此可以假定通道橫截面中的壁溫是均勻的。 Wang[8]， Lee[9]和Aghanajafi[10]等許多研究通過水力直徑研究了傳熱特性，即圓形微通道等效于矩形微通道。水力直徑可以定義為：

與流場一樣，溫度場也可以分為入口段和充分發展段。在二維坐標系中，如圖3所示，x 表示流速的方向。入口段溫度場的長度可以表示為：

其中 Pe 是 Berkeley數，可以定義為：

式中：α為熱擴散系數。

結合式（16）、（17），入口段溫度場的長度可以寫為：

其中α=1.11×10-4 m2/s[11]。H 和 W 的大小為10-1 mm ，uB的大小為10-1 mm/s ，因此 LT 的大小為10-5 mm 級別。因此，與微通道的長度相比，它非常小，可以忽略不計。在這項研究中，只考慮了充分發展的溫度場。

2.1 x 方向流體溫度分布

對于恒定熱流，充分發展的溫度場是相似的，滿足：

式中： Tw 為壁溫; TB 為流體的平均溫度。

流體能量方程可以寫成：

對于充分發展的溫度場：

用式（22）代替式（21）中的v ，得：

其中導熱系數 k 可以定義為：

由于通道是對稱的，對式（23）在 y （0， d/2）內進行積分，并結合式（19），可以得到以下方程：

式中：q 為熱通量。

2.2 x 方向的壁面溫度分布

在恒熱流條件下，TB 和 Tw 滿足方程：

其中 h 是傳熱系數，可以定義為：

式中：Nu 為 Nusselt常數，假定 Nu 不會隨x 改變。

結合式（25）～ （27）， x 方向的壁溫分布可寫為：

2.3 長度方向溫度分布均勻性的標準

長度方向的平均壁面溫度為：

壁面溫度在長度方向的方差為：

其中標準偏差 s 被認為是長度方向溫度分布均勻性的標準，可以通過式（28）～ （30）得：

其中 q 為負，因為微通道為散熱。

3 結果分析

如前所述，滑移長度b 的數量級為10-3 mm ，幾乎可以忽略。因此，不考慮滑移長度時，式（14）可以簡化為：

式中：λ=H/W。

定義：

經過數值擬合后， f （λ）為關于λ的多項式，當 0.1<λ<1時，表達式如下：

結合式（32）～ （34），平均流速的簡化形式可以表示為：

由于標準偏差 s 是微通道尺寸和uB的函數，而uB是微通道尺寸和接觸角的函數，因此，可以推斷出標準偏差 s 是微通道尺寸和接觸角的函數。可以進一步推斷出，在一定的微通道尺寸下可以獲得最佳的溫度分布。結合公式（31）、（35），標準偏差可以表達為：

為了獲得標準偏差 s 的最小值，假設 l / H 是一個確定值，并定義：

對于銅的矩形微通道，有 cosθ=0.978，圖 4所示為此時 g （λ）隨深度與寬度的一半之比λ的變化曲線。由圖可知， g （λ）首先在一定范圍內隨λ而減小，然后增大。因此，當 l/H 為常數，且滿足0.75

式（38）表明，深度與寬度的一半之比λ對溫度分布均勻性有很大影響。盡管它是根據銅通道的實驗結果得出的，但仍然適用于其他材料。對于銅矩形微通道， cosθ=0.978，λ=0.6676，即長寬比為0.3338時，可以獲得最佳的溫度分布。

4 結束語

用數值研究的方法來優化微通道的長度方向上的溫度分布均勻性。通過穩定的不可壓縮的 Navier-Stokes方程，并經過多項式函數的擬合簡化平均速度模型。在恒定熱通量的條件下獲得了微通道長度向上溫度分布的函數，得出溫度的標準偏差。經過數值研究，發現寬度與長度之比越大，溫度分布均勻性就會越好，深度與寬度的一半之比滿足接觸角的函數時，可以得到最佳的溫度分布。

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第一作者簡介：陳鈺龍（1974-），男，陜西扶風人，碩士，工程師，研究領域為物聯網技術。

（編輯：王智圣）