廣義位勢理論本構模型的加卸載準則探討

鐘志輝，楊光華，張玉成，官大庶，溫 勇

(1.廣州市宏禹水利水電勘測設計有限公司，廣東 廣州 511458；2.廣東省水利水電科學研究院，廣東 廣州 510635；3.華南農業大學 水利與土木工程學院，廣東 廣州 510642；4.中國礦業大學，江蘇 徐州 221008；5.廣東水利電力職業技術學院，廣東 廣州 510610；6.仲愷農業工程學院 城鄉建設學院，廣東 廣州 510225)

1 概述

巖土本構理論一般將土的狀態分為彈性狀態和塑性狀態，其中加卸載準則是用于判斷土是處于加載還是卸載的狀態，不同狀態下一般會采用不同的應力應變關系。經典彈塑性理論是通過屈服函數來確定加卸載準則的，但試驗表明土的應力應變關系較為復雜，從而導致屈服面的確定或建立也較為復雜。目前巖土的彈塑性模型的屈服面都基于一些假設條件而建立的。然而，土的屈服面是否唯一也無法嚴格的證明。基于單一屈服面推導出來的加卸載準則存在一定的局限性，因此沈珠江[1-2]、向大潤[3]等提出部分屈服加卸載準則。此外，鑒于建立屈服面型加卸載準則的困難，部分學者建議采用應力型加卸載準則和應變型加卸載準則[4-5]。

為了克服經典彈塑性理論假設多、屈服面復雜等缺點，楊光華[6-9]直接從數學原理出發，提出了土體本構模型的廣義位勢理論。廣義位勢理論的優點是數學原理清晰，不需要以塑性公設為基礎，其建立的本構模型從理論上來講更為科學和完善。近年來廣義位勢理論逐漸得到更多學者的研究和應用[10-17]。然而，基于屈服面確立的加卸載準則用于廣義位勢理論的本構模型，或者采用其他方式建立加卸載準則，仍需更多的研究和探討。鑒于此，本文從數學角度闡述廣義位勢理論中加卸載準則的數學本質，為建立合理的加卸載準則提供數學依據，最后提出一種普遍適用于廣義位勢理論本構模型的分段型加卸載準則。

2 廣義位勢理論本構模型的加卸載準則

2.1 基于廣義位勢理論建立土的本構模型[7]

基于廣義位勢理論建立土的本構模型，只需解決2個基本問題：① 確定土在主應力空間中的應力應變關系，本文又稱為狀態方程；② 確定(塑性)應變增量的3個勢函數。

首先，狀態方程一般通過數學方法擬合試驗數據得到，根據主應變類型的不同可以分別寫成如下2種形式：

εi=fi(σ1,σ2,σ3)

(1a)

(1b)

(2a)

(2b)

然后，根據廣義位勢理論，塑性應變增量張量可表示為：

(3a)

(3b)

當塑性應變增量用3個勢函數表示時，稱為多重勢面模型；當塑性應變增量用2個勢函數表示時，稱為二重勢面模型；當只用1個勢函數表示時，就退化為經典的彈塑性模型。

一般式(3)中3個塑性勢函數可以取為σ1,σ2,σ3(或p，q，Lode角θ)。當選用σ1,σ2,σ3作為分段條件，分段條件具有明確的物理意義，而且較為簡單實用。

2.2 三維應力空間的分段型加卸載準則

一般狀態方程是在主應力空間中確定的，只要能夠合理地對狀態方程進行分段，那么這個分段型加卸載準則是可行的。

最簡單的3個分段條件是σ1,σ2,σ3(或p，q，θ)，因為在三軸試驗中，每個狀態方程一般是通過改變其中1個主應力、而另外2個主應力保持不變確定的。例如，保持σ2和σ3不變，分別增加或減少σ1，就擬合出2個不同的狀態方程。由此可見，1個簡單又合理的分段條件可以表示為：

(4)

這是最基本的分段條件，如果要描述更為復雜的狀態方程，必須加入更多的分段條件。

2.3 二維應力空間的分段型加卸載準則

(5a)

(5b)

或者表示為：

(6a)

(6b)

式中A、B、C、D為待定參數，通過擬合試驗數據得到。可見，最基本的分段條件應該為：

(7)

或者為：

(8)

如果要描述更為復雜的狀態方程，也必須加入更多的分段條件。例如沈珠江[2]提出的部分屈服條件也包含式(8)所列的分段條件，但另外增加了一個分段條件η=q/p。

2.4 屈服面型加卸載準則

傳統的彈塑性本構模型一般采用屈服面f(σij,H)=0建立加卸載準則，其中H為硬化參數。當應力狀態位于屈服面上時，土體處于加載或中性變載狀態；當應力狀態位于屈服面內時，土體處于卸載狀態。

由于屈服面較難確定，因此，一般是采用塑性勢面代替的，即所謂的關聯流動法則。楊光華[7]指出，狀態方程必須滿足一定的條件，關聯流動法則才成立。如對于式(6b)，只有當B=C，AD=BC時，屈服面才等于塑性勢面，此時狀態方程可以采用屈服面建立分段條件。然而，上述條件在一般情況下較難滿足，即使條件滿足，推導屈服面的過程也較為困難。

圖1 雙軸試驗的“試樣模型”示意(單位：mm)

a σ1-σ3與ε1的關系曲線

b σ1-σ3與-ε3的關系曲線

因此，屈服面型加卸載準則作為單一的分段條件，較難全面地反映土體的狀態方程的分段情況，用于廣義位勢理論的本構模型有一定的局限。

3 分段型加卸載準則建立步驟示例

3.1 示例模型介紹

采用平面雙軸試驗來說明分段型加卸載準則的建立步驟。該雙軸試驗采用二維顆粒流程序PFC2D模擬，PFC2D通過生成微小的顆粒單元并定義單元的微觀參數，從而生成由大量顆粒組成的宏觀模型，通過分析宏觀模型的受力和變形，就能得到宏觀參數。

本示例的試樣模型如圖1所示，“試樣”寬為6.0 mm，高為12.0 mm，設置顆粒的最小半徑為0.075 mm，最大半徑為0.1 mm，由PFC2D隨機生成的2 574個顆粒組成。“試樣”的初始圍壓為1 200 kPa，在初始圍壓作用下，初始孔隙率達到了0.14。模型四周采用墻體單元包圍，四周壓力作用在“墻體”上，顆粒單元和墻體單元的計算參數見表1所示。

表1 雙軸數值試驗的計算參數

本示例采用的狀態方程為式(5a)，分段型加卸載準則采用式(7)。

3.2 σ1=σ1max,σ3=σ3max時的狀態方程

σ1=σ1max,σ3=σ3max是指σ1、σ3都處于加載條件，其增量形式為dσ1>0，dσ3>0，此時可以通過以下應力路徑確定狀態方程：① 保持σ3不變，增加σ1，以此確定狀態方程的A、C；② 保持σ1不變，增加σ3，以此確定狀態方程的B、D。

3.2.1保持σ3不變，增加σ1

當保持σ3不變，增加σ1時，PFC2D得出的應力應變曲線和擬合曲線如圖2所示。

a σ3-σ1與-ε11

b σ3-σ1與ε3的關系曲線

3.2.2保持σ1不變，增加σ3

當保持σ1不變，增加σ3時，PFC2D得出的應力應變曲線和擬合曲線如圖3所示。

σ1=σ1max,σ3=σ3max時的狀態方程可以通過上述2個擬合結果進行疊加，即：

3.3 σ1<σ1max,σ3=σ3max時的狀態方程

σ1<σ1max,σ3=σ3max是指σ1處于卸載條件、σ3處于加載條件，其增量形式為dσ1≤0，dσ3≥0，此時可以通過以下兩種應力路徑的試驗結果進行疊加確定狀態方程：①保持σ1不變，增加σ3，即dσ1=0，dσ3>0；②保持σ3不變，減少σ1，即dσ1<0，dσ3=0。應力路徑①的結果見3.2.2節；按應力路徑②進行試驗時，PFC2D得出的應力應變曲線如圖4所示。

a σ1-σ3與ε1的關系曲線

b σ3-σ1與ε3的關系曲線

與3.2.2節的擬合結果進行疊加，可得σ1<σ1max,σ3=σ3max時的狀態方程為：

3.4 σ1=σ1max,σ3<σ3max時的狀態方程

σ1=σ1max,σ3<σ3max是指σ1處于加載條件、σ3處于卸載條件，其增量形式為dσ1≥0，dσ3≤0，此時可以通過以下兩種應力路徑的試驗結果進行疊加確定狀態方程：① 保持σ3不變，增加σ1，即dσ1>0，dσ3=0；② 保持σ1不變，減少σ3，即dσ1=0，dσ3<0。應力路徑①的結果見3.2.1節；按應力路徑②進行試驗時，PFC2D得出的應力應變曲線如圖5所示。

a σ3-σ1與-ε1的關系曲線

b σ3-σ1與ε3的關系曲線

圖6 三軸試驗的試樣模型示意(單位：mm)

圖7 驗證試驗的應力路徑示意

與3.2.1節的擬合結果進行疊加，可得σ1=σ1max,σ3<σ3max時的狀態方程為：

3.5 σ1<σ1max,σ3<σ3max時的狀態方程

σ1<σ1max,σ3<σ3max是指σ1、σ3都處于卸載條件，此時的狀態方程可通過3.3節、3.4節的試驗擬合結果進行疊加，即：

綜上所述，不同分段條件下的狀態方程是不一樣的，應采用不同的應力路徑確定。對于復雜的本構關系，分段條件應適當增加。

4 分段型加卸載準則應用實例—類劍橋模型

4.1 類劍橋模型簡介

廣義位勢理論中的p-q型二重勢面模型[7]，其狀態方程按式(6b)表示。2個塑性勢函數取為φ1=p，φ2=q，此時式(3b)變為：

a 軸向應變—偏差應力關系曲線

b 軸向應變—體應變關系曲線

a 軸向應變—偏差應力關系曲線

b 軸向應變—體應變關系曲線

a 軸向應變—偏差應力關系曲線

b 軸向應變—體應變關系曲線

(9)

由式(9)可得：

(10)

式(10)代入式(6)得：

(11)

又因為：

(12)

將式(11)和(12)代入式(9)得：

(13)

式(13)即為塑性本構方程，加上彈性應變，即可得數值計算用的彈塑性本構方程。

針對正常固結粘土加載條件下的變形特點，并借鑒劍橋模型，楊光華基于廣義位勢理論提出了一個類劍橋模型[16]，其狀態方程的表達形式為：

(14)

其中：

(15)

(16)

(17)

式中 參數M、λ、κ分別為極限應力比、壓縮指數、回彈指數；參數n為擬合參數；e為孔隙比。

4.2 類劍橋模型的屈服面型加卸載準則

傳統的加卸載準則一般通過屈服面確定。由于式(14)滿足關聯流動法則的條件，因此可將塑性勢面代替屈服面，從而可以推導出基于屈服面的加卸載準則。根據式(14)，塑性應變增量方向為：

(18)

設屈服軌跡為f(p,q,H)=0，由一致性條件可得：

(19)

根據關聯流動法則：

(20)

聯立式(18)(19)和(20)解得：

(21)

解微分方程(21)得出屈服函數為：

(22)

式中p0為等向固結壓力，可視為該屈服面的硬化參數。

當f<0時，為彈性狀態，狀態方程為：

(23)

4.3 類劍橋模型的分段型加卸載準則

式(14)是在加載的條件下才成立的，即p=pmax，q=qmax，但此狀態方程并不包含部分卸載和完全卸載的情況。根據2.3節的式(8)，本文初步提出類劍橋模型的分段型加卸載準則及對應的狀態方程如下：

1)p=pmax，q=qmax時，為式(14)。

2)p

(24)

3)p=pmax，q

(25)

4)p

(26)

應當指出，類劍橋模型隱含著一個剪切破壞條件，即η=M。

4.4 兩種加卸載準則的對比分析

驗證思路：① 通過三軸試驗確定試樣的類劍橋模型的參數，本節采用PFC3D構建三軸試驗的“試樣”，并模擬“試樣”的三軸試驗；② 采用PFC3D模擬“試樣”在不同應力路徑的三軸試驗，通過對比不同應力路徑的試驗數據與兩種加卸載準則的計算數據，以說明哪種加卸載準則更為合理。

首先，在PFC3D中建立的“試樣模型”如圖6所示，“試樣模型”直徑為3.0 mm，高度為6.0 mm，由2 492個球體顆粒組成，顆粒最小半徑為0.075 mm，最大半徑為0.2 mm。“試樣模型”四周采用“墻體”單元包圍，外部壓力直接作用在“墻體”上。“試樣模型”顆粒的計算參數見表2所示。

表2 數值試驗的計算參數

采用PFC3D對“試樣”進行三軸試驗模擬，得出“試樣”宏觀上的應力應變數據，由應力應變數據計算得出類劍橋模型的參數見表3所示。

表3 類劍橋模型的計算參數

驗證類劍橋模型及兩種加卸載準則的計算精度，驗證的應力路徑如圖7所示(σa為軸壓，σc為圍壓)，首先各向等壓固結到A點(此時圍壓為1 200 kPa)，然后進行三軸壓縮試驗(應力路徑AB)，最后分別進入3種應力路徑：① 路徑BC，此時p減少，q增加；② 路徑BD，此時p增加，q減少；③ 路徑BE，此時p不變，q減少。

分段型加卸載準則和屈服面型加卸載準則的預測結果見圖8～10，可見兩者得出的εa～q曲線與試驗結果的吻合程度較高，而εa～εv曲線的吻合程度相對較低。

總體而言， 分段型加卸載準則的計算結果與數值試驗結果較為接近，而屈服面型加卸載準則的預測精度相對較差，由此可見，采用分段型加卸載準則更為合理。

5 結語

本文探討了基于廣義位勢理論的本構模型的加卸載準則的數學實質，說明了加卸載準則在本質上是狀態方程的分段條件，并提出了分段型加卸載準則。最后，以一個二重勢面模型——類劍橋模型為例，論述了其分段型加卸載準則和屈服面型加卸載準則的建立步驟，并比較兩個加卸載準則在不同應力路徑下的計算結果，結果表明分段型加卸載準則的計算精度相對較高，更加適用于廣義位勢理論的本構模型。