考慮牽引電機功率損耗的高速列車節能速度跟蹤控制研究

尤冰濤，趙紫寧，馮佳輝，付程成

（西南交通大學電氣工程學院，成都611756）

0 引言

隨著我國軌道交通領域的飛速發展，高速列車自動駕駛技術作為軌道交通智能化的重要前沿技術已經得到了廣泛的應用和關注[1]，而作為列車自動駕駛技術的重要組成部分，列車的速度跟蹤控制一直都是業內的研究重點。比例積分微分（Proportion Integral Differential，PID）控制是目前應用于高速列車速度跟蹤控制領域最常見的算法之一，它可以實現良好的速度跟蹤效果；文獻[2]在傳統PID控制器的基礎上引入了模糊控制算法，主要解決了PID控制器級位切換頻繁的問題；文獻[3]采用了LQR（Linear Quadratic Regulator）控制，實現了列車在平直道上的精確停車；文獻[4]引入了自適應控制，較好地解決了模型參數不確定性所帶來的影響，提高了列車的追蹤精度；文獻[5]采用模型預測控制的分層結構，結合二次型優化算法實現了最優列車速度跟蹤控制；文獻[6]引入了廣義預測控制算法，該算法具備良好的魯棒性，同樣實現了精確的停車效果；文獻[7]提出了基于擾動觀測器的自適應終端滑模控制停車算法，避免控制輸入切換頻繁的前提下實現高精度的速度跟蹤效果。文獻[8]采用模型預測控制結構結合二次規劃實現了貨運列車控制中速度和車鉤力的優化。

上述的控制方法大多已經具備了良好的速度跟蹤性能，并重點關注了列車級位變化、停車精度、車鉤力等問題，但均未涉及列車牽引電機效率問題。當高速列車處于低負載運行工況時，列車牽引傳動系統的損耗占到牽引總能耗的50%以上[9]，其中牽引電機的損耗在牽引傳動系統的總損耗中占比最大[10]。這是由于現階段高速列車的牽引動力采用全車牽引電機平均分配的方式[11]，在部分低功率運行區段，勢必會出現牽引電機負載率較小的情況，而牽引電機的損耗與牽引電機負載率相關，當牽引電機的負載率小于50%時，電機的運行效率和運行功率因數將出現大幅度下降[12]，從而導致牽引電機損耗占比過大，列車運行能耗上升。由于高速列車牽引電機存在“高負載高效率，低負載低效率”的特點，在既有高速列車牽引電機損耗特性無法改變的情況下，合理地進行高速列車牽引電機的動力分配將對高速列車的效能提升產生重要影響。

綜上，本文旨在提出一種考慮牽引電機功率損耗的高速列車節能速度跟蹤控制算法，以實現高速列車精準速度跟蹤控制和節能運行。從合理分配牽引電機運行個數以降低高速列車整車牽引電機運行損耗的角度出發，基于模型預測控制框架，選用動態規劃算法進行相關控制量的實時求解，在保證速度跟蹤精度的同時，減少高速列車牽引電機的整車損耗，有效提升整車運行效能，降低列車運行能耗。

1 列車模型建立

1.1 高速列車運動學模型

高速列車在運行過程中受到牽引/制動力F（v）、基本運行阻力R（v）、線路附加阻力W（s）等力的影響，如圖1所示。

圖1 高速列車運行過程受力分析圖

根據牛頓第二定律，高速列車的運動學模型可以由式（1）表示。

式中M是列車質量，v是列車速度，s是列車位置，t是運行時間。F（v）表示列車的牽引力或制動力，由式（2）表示，其中，當列車處于牽引工況時，Ft（v）值為正，表示列車牽引力；當列車處于電制動工況時，Ft（v）值為負，表示列車電制動力；Fb（v）表示列車的空氣制動力。R（v）表示列車的基本運行阻力，由式（3）表示，其中參數a、b、c為與車型與線路有關的三個固定參數。W（s）表示線路附加阻力，由式（4）表示，其中g為重力加速度，α為列車所處坡道的坡度值，d（r）表示列車所處位置的單位曲線附加阻力，e（l）表示列車所處位置的單位隧道附加阻力。

在列車的運行過程中，列車的位置將滿足線路起終點約束，如式（5）所示，列車的速度將滿足線路的限速約束以及在始末位置的初始狀態約束，如式（6）和式（7）所示。

其中s0和sf分別表示運行線路的起點位置和終點位置，vlim（s）表示隨線路位置變化的線路限速。

此外，列車的牽引制動力需滿足需要滿足列車牽引制動特性的約束，如式（8）和式（9）所示。

其中，Ft-min（v）表示列車在速度v下的最大電制動力，Ft-max（v）表示在速度v下的最大牽引力，Fb-max（v）表示在速度v下的最大空氣制動力。

高速列車的運行能耗由輪周牽引力做功和牽引傳動系統損耗組成，其中本文對牽引傳動系統的損耗只考慮了牽引電機的損耗，不將牽引逆變器至牽引網側傳動系統的損耗納入計算計算。因此高速列車運行能耗E可由式（10）計算得出，其中Pt表示高速列車的輪周功率，由式（11）所示，Ploss-total表示整車牽引電機損耗功率。

1.2 牽引電機損耗模型

高速列車整車牽引電機的損耗Ploss-total由多個牽引電機的單耗組成，計算公式如式（12）所示，其中Nm表示牽引電機個數，Pl_motor表示單個牽引電機損耗。而單個牽引電機的損耗主要由銅耗、鐵耗、機械損耗構成，由式（13）所示，式中，Pcu表示銅耗，Pir表示鐵耗，Pme表示機械損耗。

牽引電機的銅耗主要由電機的電流決定。當牽引電機轉速低于其額定轉速時，可以認為牽引電機的電流和輸出轉矩之間成正比；而當牽引電機轉速高于其額定轉速時，可以認為牽引電機的電流與牽引電機輸出功率成正比[13]。在此基礎上，可以計算出牽引電機每個功率和轉速對應下的瞬時銅耗為：

式中，Pcu-r是牽引電機的額定銅耗，Pmax是牽引電機的最大輸出功率，Pa是電機輸出功率，ωr是電機額定轉速，ωa是電機轉速。電機輸出功率與整車輪周功率的關系如式（15）所示，電機轉速和列車車速之間的關系如式（16）所示。

其中，ηg是齒輪箱的效率，rg是齒輪傳動比，d是車輪直徑。

鐵耗可以分為渦流損耗和磁滯損耗，主要由牽引電機的電壓決定。當牽引電機轉速低于額定轉速時，渦流損耗與牽引電機轉速的平方成正比，而磁滯損耗與牽引電機轉速的成正比；當電機轉速高于額定轉速時，渦流損耗是恒定的，而磁滯損耗與電機轉速的1.6次方成正比[14]。每個功率-轉速對的瞬時鐵耗可以計算為：

其中Ped-r是額定渦流損耗，Phy-r是額定磁滯損耗。

機械損耗可以認為和牽引電機轉速的平方成正比[14]，可由式（18）計算得出，其中Pme-r是牽引電機額定轉速下的額定機械損耗。

根據公式（11）-（18）可得，當高速列車牽引電機的運行個數為定值時，列車牽引電機整體損耗僅與牽引力F（v）和列車速度v相關，而當高速列車牽引電機運行個數不為定值時，列車牽引電機整體損耗還將和牽引電機的運行個數相關，其非線性關系可由式（19）所示，根據式（19）和式（10），則高速列車考慮牽引電機運行個數時變的運行能耗可由式（20）表示。

2 控制器設計

2.1 MPC控制器框架

MPC控制框架采用了多步預測、滾動優化、反饋矯正的控制策略[14]，是一種將全局的最優控制問題轉化為局部的最優控制問題并通過滾動優化實現全局優化控制的方法。其原理是將對象的某一時刻的狀態進行采樣，并把該狀態作為局部優化的初始狀態，進行預測步長為Np的相關優化問題目標函數的最優求解，并將優化產生的控制序列的第一步應用于被控對象，隨后又進行新一輪的狀態采樣和滾動優化，從而實現全局的優化控制。本文基于MPC框架提出的速度跟蹤控制器的控制框圖如圖2所示。

圖2 基于MPC框架的速度跟蹤控制器控制框圖

該控制器的輸入端包含列車當前位置s（k）、當前速度v（k）、當前牽引電機運行個數Nm（k），以及預測步長內的位置[s（k+1），s（k+2），…，s（k+Np）]和目標速度[v*（k+1）,v*（k+2）,…,v*（k+Np）]，基于以上輸入，在預測模型以及目標函數和相關變量約束下，采用動態規劃求解器進行預測范圍Np內的最優求解，求解完成后輸出優化控制序列的第一步，即當前位置的牽引力F*（k）和牽引電機投切個數Fn*（k），將控制量施加于實際列車模型，得到實際列車的運行狀態s（k+1）、實際速度v（k+1）、牽引電機運行個數Nm（k+1）、運行能耗E（k+1）等，并將運行狀態s（k+1）、v（k+1）、Nm（k+1）反饋到控制器的輸入端，進行列車的運行狀態更新，得到下一次最優求解的初始狀態量，從而實現列車全程的滾動優化及速度跟蹤控制。

2.2 最優求解算法

在圖2所示的控制框架下，最優求解器是控制量輸出的關鍵，由于高速列車的速度跟蹤控制需要精確的控制效果，且其問題在求解時具有無后效性的特點，本文采用動態規劃算法作為MPC框架下節能速度跟蹤控制器的最優求解算法。為了方便討論，本文對算法涉及的相關變量進行如下定義：

（1）列車狀態：用列車所在位置、速度、牽引電機運行個數表示，記為G（s，v，Nm）。

（2）狀態空間：所有的列車狀態組成的狀態空間。

（3）決策變量：列車在某一狀態時進行的控制操作為決策變量，記為u（F，Fn）。

（4）狀態轉移：列車由當前狀態Ga經過決策變量ua轉移到下一狀態Gb的過程為狀態轉移，記為Gb=f（Ga，ua）。

（5）狀態轉移路徑：列車從某一狀態轉移到另一狀態的狀態轉移的集合，記為H，如列車從狀態Ga轉移到下一狀態Gb，則記為H（Ga,Gb）。

（6）狀態轉移成本：列車在狀態轉移過程中產生的成本為狀態轉移成本，記為J，如Jab表示從Ga轉移到Gb的成本。在本文中，列車的速度跟蹤精度和列車運行能耗是優化目標，因此狀態轉移成本為J=λV+E，式中，V表示列車運行速度與目標速度誤差的平方值，如式（21）所示，E表示狀態轉移產生的列車運行能耗，E在前面的式（10）中已定義。

在動態規劃算法的應用中，狀態空間以及狀態轉移成本遞推函數的確定是解決問題的關鍵。在狀態空間的確定上，本文將預測范圍內的列車運行的起始位置和終點位置之間的里程以步長Δs進行離散化，將每一個離散的位置s對應的限速范圍內的速度以步長Δv進行離散化，將每一個離散（s,v）點的列車牽引電機運行個數以步長Δn進行離散化，從而得到預測范圍內的三維列車狀態空間。在得到狀態空間之后，根據狀態轉移成本公式可以計算出兩個相鄰狀態間發生狀態轉移需要的成本。而在動態規劃算法下，高速列車考慮牽引電機功率損耗的高速列車節能速度跟蹤控制問題可以描述為使高速列車狀態轉移成本最小化的狀態轉移路徑和決策集合的搜索問題，可由式（22）描述。

其中，k=1表示列車的初始狀態，k=Np表示列車的最終狀態，預測步長Np即為狀態轉移的總次數。定義列車從初始狀態轉移到m狀態的最小狀態轉移成本為Jm，則根據目標函數可以得到：

式中，m為初始狀態轉移到m狀態的狀態轉移總次數。根據狀態轉移成本的定義，從m狀態轉移到n狀態的狀態轉移成本的計算為：

式中，Vmn和Emn分別為m狀態轉移到n狀態的速度誤差成本和能耗成本。則從初始狀態轉移到n狀態的最小狀態轉移成本為：

式中，J0為列車初始狀態下的最小狀態轉移成本。通過式（25）即可求得從k=1狀態到k=Np狀態的最小狀態轉移成本，并通過狀態轉移路徑的記錄和狀態轉移的定義，從而得到狀態轉移路徑對應的最優決策序列從而完成預測范圍內的最優求解。

3 仿真案例

為了驗證本文所提控制算法的有效性，選取國內某高速動車組和某段實際高鐵線路作為仿真數據來源，所選列車和線路的各項參數如表1所示，列車牽引特性、電制動特性、綜合制動特性的外包絡如圖3所示。MPC控制器的預測范圍Np取10，狀態轉移成本函數權重λ取800，狀態空間位置的離散度Δs取10m，速度離散度Δv取0.025km/h，運行電機個數的離散度Δn取1個。

表1 列車參數和線路參數

圖3 列車牽引制動特性外包絡曲線

仿真選用傳統PID控制器與本文提出的控制器在選定線路上進行相關控制效果的對比，兩種控制器的控制結果如圖4、圖5和表2所示。其中速度曲線、速度跟蹤誤差、牽引制動力分別在圖4中的子圖（a）、（b）、（c）中展示，電機輪周功率、運行電機個數、整車電機效率分別在圖5中的子圖（a）、（b）、（c）中展示。

圖4 速度、速度誤差、牽引/制動力控制結果圖

圖5 電機輪周功率、運行電機數、整車電機效率控制結果圖

表2 仿真結果統計表

在速度跟蹤性能方面，由圖4所示，在列車的起車和停車階段，因為包含了預測部分，MPC控制器對于目標速度變化的情況有著更好的跟蹤效果，而傳統PID控制器則出現了不小的跟蹤誤差，在途中運行階段MPC控制器和傳統PID控制器均出現了一定的跟蹤誤差，但是誤差均保持在1.5km/h以內。統計可得，傳統PID控制器在該線路的速度跟蹤誤差的均方根誤差為0.55km/h，MPC控制器在該線路的速度跟蹤誤差的均方根誤差為0.24km/h，可知MPC控制器相對于傳統PID控制器有著更好的速度跟蹤性能。

在列車效能提升方面，由圖5所示，選擇兩段典型的區間進行分析，其中黃色區域為輕負載區，藍色部分為重負載區。可以看到，MPC控制器和傳統PID控制器發揮的輪周功率大致相同，二者總體趨勢均隨著列車運行速度以及線路坡道大小變化。在重負載區，MPC控制器的工作電機數與傳統PID控制器的工作電機數大致相同，兩個控制器控制下的整車電機效率均大于0.9；而在輕負載區，由于牽引功率需求下降，MPC控制器的工作電機數明顯下降，整車電機效率仍保持相對較高的水平，而傳統PID控制器仍處于滿電機工作的狀態，整車電機效率相對較低。

統計可得，傳統PID控制器在該線路上全線運行的列車牽引能耗為2171.436kwh，而MPC控制器在該線路上全線運行的列車牽引能耗為2140.623kwh，可得MPC控制器對比傳統PID控制器在該線路可以達到1.42%的節能率。在重負載區，PID控制器運行的累計能耗為1118.0302 kwh，MPC控制器的累計運行能耗為1116.4446kwh，可得MPC控制器對比傳統PID控制器的節能率為0.14%，考慮兩種控制器下實車運行速度并不完全相同情況，可以認為兩者在該區段的具有一致的能耗控制效果；在輕負載區，傳統PID控制器運行的累計能耗為132.6998 kwh，MPC控制器的累計運行能耗為113.4888kwh，可得MPC控制器對比傳統PID控制器的節能率為14.47%。因此可知當列車處于輕負載狀況下，使用考慮牽引電機投切的MPC控制器進行速度跟蹤控制可以達到14%以上的節能率，節能優勢明顯；而在重負載狀況下，考慮牽引電機投切的MPC控制器相比于PID控制器的節能效果較小，節能優勢并不明顯，本文設計的節能速度跟蹤控制算法更適合用于列車處于輕負載的場景。

4 結語

本文以提升高速列車運行效能為目標，在保證速度跟蹤精度的同時，從降低高速列車牽引電機損耗角度出發提出了一種考慮牽引電機功率損耗的高速列車節能速度跟蹤控制算法，得到了以下結論：

（1）高速列車牽引電機損耗與牽引力和運行速度之間的量化模型的建立，使列車運行能耗更為精確化，為基于列車運行能耗求解的相關問題提供模型支撐。

（2）采用模型預測控制框架設計節能速度跟蹤控制器，通過滾動優化和預測控制保證了實現了良好的控制效果。

（3）采用牽引電機運行個數實時投切控制取代列車牽引動力平均分配方式可有效提升系統效能，降低列車運行能耗。

后續研究可以進一步探討列車位置、速度、工作電機數不同程度的離散度對控制結果的影響，并考慮結合高速列車逆變器進行投切控制，進一步實現列車的高效節能運行。