不完整緩和曲線坐標計算方法的探討

尚濤

（中交二公局第四工程有限公司，河南 洛陽 471013）

1 概述

在高速公路建設過程中，不完整曲線在匝道線路設計時中極為常見，很多測量工作者在進行坐標計算時，一般采用交點法或線元法兩種計算方式進行電算，線元法根據曲線元素的起點坐標、切線方位角、曲率半徑以及待求點曲率半徑為基礎，計算待求點的坐標數據，可適用于任意曲線的計算。因為線元法是將每段線元分開進行計算，故輸入數據量較大，同時如果不完整端處于線路首段或尾段時，其曲率半徑設計不予提供，需要自己進行計算。交點法通過交點坐標、里程以及起終點里程、切線方位角（或起點切線方位角及轉角）、緩和曲線長度以及圓曲線半徑進行計算，僅適用于完整緩和曲線的計算。因交點法可以計算每個交點控制范圍內的線元統一計算，故輸入數據量相對較少，但對曲線的完整性提出了要求。兩種算法各有利弊，在不同計算類型中可擇優選取。

2 緩和曲線計算原理

直線以及圓曲線計算都相對簡單，這里不再贅述，重點討論曲線的計算過程。

考慮到線路設計時緩和曲線的產生原理，其曲率半徑一般從∞過渡到圓半徑R，曲線上各點需滿足緩和曲線參數方程：A2=RS，其中A 為緩和曲線參數，R 為待求點的曲率半徑，S 為待求點至起點ZH（HZ）點的長度。當S 趨近于0 時，R 趨近于∞，參考曲線設計原理，即當滿足半徑從∞過渡到圓半徑時即認為曲線完整，未從∞過渡到圓半徑時認為不完整。

2.1 常規完整緩和曲線計算

針對完整緩和曲線的計算，相關教材中均給出了曲線計算公式，現以圖1 所示的曲線中進行分析。

完整緩和曲線計算過程中，ZH（HZ）點至JD 的切線方位角已知，設為α1；ZH（HZ）點坐標已知，設為（X0、Y0）；ZH（HZ）里程已知，設為K1，需要求取曲線上任一點P（KP）點的坐標。

根據教材內容并結合圖1，過P 點（圖1 中P 點=HY（YH）點）處切線角β0 的計算公式如式（1）所示：

式（1）中，L′為待求點P 至起點曲線起點ZH（HZ）長度，R為圓曲線長度，Ls 為曲線起點ZH（HZ）至終點HY（YH）完整長度，且β0 以弧度為單位。

P 點在圖1 坐標系下的坐標計算公式如式（3）所示：

式（3）中x、y 分別代表P 點在圖1 中數學坐標系下的坐標值，其他參數與式（1）中相同。

由上式可以計算得出起點待求點P 至ZH（HZ）之間的弦長L，如式（4）所示：

綜合式（1）、（2）可計算起點待求點P 至ZH（HZ）之間的坐標方位角β=α1-δ0，結合式（4）可計算待求點P 點坐標，如下式（5）所示：

2.2 不完整緩和曲線的計算

不完整緩和曲線在小半徑匝道線路設計時經常出現，其半徑從圓半徑R 大過渡到R 小，設置形式如圖2 所示。

圖2 不完整緩和曲線示意圖

針對不完整緩和曲線，假設理論上存在一個ZH（HZ）點,如圖2 所示。假設已知條件：交點里程、交點坐標、與前后交點之間的坐標方位角、R 小值、R 大處或R 小處坐標、R 大處或R 小處里程，以此為基礎求取曲線上任一點P（KP）點的坐標。

假設假定ZH（HZ）點至實際緩和曲線起點之間緩和曲線長度為L1，實際緩和曲線長度為L2、ZH（HZ）點至HY（YH）點完整緩和曲線長度為LS，根據緩和曲線參數方程：

依據式（6）可計算得出LS，繼而LS-L2 求得L1 值，再代入緩和曲線參數方程：

依據式（7）可計算得出R 大，依據L1 可計算R 大處里程，至此即可利用線元法套入Gauss-Legendre 公式直接計算曲線上任一待求點的坐標。

結合式（1）、（2）可計算R 大處切線角βR 大以及緩和曲線偏角δR 大的值，同時可以計算R 大處bR 大的值，如式（8）所示：

結合已知條件中該交點與前后交點之間的坐標方位角以及求得的bR 大值，可以計算R 大處至假定ZH（HZ）點之間的坐標方位角，再結合求得的δR 大的值即可計算假定ZH（HZ）點至JD 之間的坐標方位角。

結合式（3）、（4）可計算R 大處至假定ZH（HZ）點之間弦長；結合式（5）即可計算得到假定ZH（HZ）點的坐標值。

至此已將不完整曲線進行了還原，求取了假定ZH（HZ）點處里程、坐標、以及切線方位角等數據，此時即可利用交點法進行曲線上任一待求點的坐標。

3 工程實例

以作者參建的某高速公路項目一小半徑A 匝道設計曲線要素為例進行理論運用。設計曲線要素如表1 所示。

根據曲線要素表分析可知，該匝道設計線形為：JD1：起點（BP 點=HY 點）右轉至YH 點、再右轉至HZ 點；JD2：ZH（同上一曲線HZ 點）、左轉至HY 點、再左轉至YH 點；JD3:在R=240m與R=100m 兩個不同半徑的圓之間加設緩和曲線左轉過渡至HY 點、再左轉至YH 點、最后左轉至HZ 點；JD4：ZH（同上一曲線HZ 點）、右轉至HY 點、最后右轉至YH 點。其中EP 點既為A匝道終點同時也為JD4 控制范圍內最后一段曲線YH 點。

根據曲線計算原理部分中的敘述：JD3 控制曲線范圍以內在R=240m 與R=100m 兩個不同半徑的圓之間加設緩和曲線為不完整曲線。

為驗證不完整曲線還原理論方法，以下僅利用JD3 中提供的數據計算：

將A=145、R=100 代入A2=RS 可計算完整緩和曲線長度Ls=210.250m，實際緩和曲線段為122.646m，故假定ZH（HZ）點至實際緩和曲線起點處有210.250-122.646=87.604m 的理論長度，代入式（7），可求得此處緩和曲線的曲率半徑R′=240.000，與設計JD2 提供的曲線半徑完全相同。至此利用線元法進行電算時已具備完整輸入條件。

同時可結合曲線計算原理部分對不完整緩和曲線進行還原，還原出假定ZH（HZ）點的里程、坐標及切線方位角。

依據JD3、JD2 坐標可計算JD3 至JD2 之間的坐標方位角：247°11′04″。依據JD3 坐標、里程及切線長，可計算實際曲線起點處坐標（8754.715，652.558）、里程：AK0+152.110。依據式（1）、（8）可計算b0=6°58′16.65″，故實際緩和曲線起點處至假定ZH 點之間的坐標方位角為：254°09′20.65″、假定ZH（HZ）點處切線方位角為：77°38′28.98″。依據式（3）、（4）、（5）即可得到假定ZH（HZ）點坐標數據（8730.834，568.413）。至此利用交點法進行電算時已具備完整輸入條件。

為驗證曲線還原方法的正確性，以上文中求得的假定ZH（HZ）點的里程、坐標、切線方位角作為起算數據，以線元法進行電算驗證，以假定ZH（HZ）點推算BP 點坐標，結果如表2 所示。

結合表1、表2 中BP 點坐標值可以看出，ΔX=-1mm，ΔY=-6mm，誤差產生的原因主要由計算過程中取位精度導致，而非計算方法錯誤；同時對于高速公路匝道施工測量而言，數據精度也在可控范圍以內。

表1 A 匝道設計曲線要素表（考慮布局問題，刪去前幾位坐標）

表2 以假定ZH（HZ）點為起算數據推算BP 點坐標成果統計

4 結論

本文結合曲線計算原理，對完整緩和曲線的計算進行了詳細說明，對不完整曲線的計算也提出了兩種方法：一是利用既有數據計算曲線不完整端的曲率半徑，為線元法電算提供已知數據；二是通過曲線還原，將假定ZH（HZ）點進行還原，求取其理論里程、坐標以及切線方位角，并結合作者參建的某高速公路一小半徑匝道設計曲線要素進行了驗證，通過數據驗證，充分說明了計算方法的合理性，可為同類型曲線計算提供參考。