SVPWM教學研究之空間矢量沖量等效原理

佘 焱， 王 勇， 孫 佳， 徐青菁

(上海交通大學 電力傳輸與功率變換控制教育部重點實驗室，上海200240)

0 引言

空間電壓矢量脈寬調制SVPWM將電壓型逆變器輸出的基本空間電壓矢量合成需要的空間電壓矢量，是逆變器控制的重要技術[1]，在電機控制和并網技術等領域中有重要應用。但是，我們在SVPWM教學中，發現有些難點目前很少有資料進行討論，特別是SVPWM的理論基礎，本文進行了一些探討和澄清，在此求教于大家。

1 沖量等效原理

空間矢量脈寬調制將逆變器輸出的基本空間矢量合成參考空間矢量，合成的理論基礎目前很少有資料提及或者討論。本節首先證明沖量等效原理，再推廣到三相三線制電路的線電壓沖量等效原理。

定理1(沖量等效原理)：設開關周期Ts足夠小，幅值為vi的電壓脈沖的寬度分別為Ti，Ti≤Ts，i=1,2。且

v1·T1=v2·T2

(1)

則，v1和v2是通過慣性環節的響應等效。

證明：設慣性環節如圖1所示：

顯然：

圖1 慣性環節

容易證明，上述電路的沖激響應為：

(2)

輸入幅值為vi，寬度為Ti的電壓脈沖，則響應為：

(3)

(4)

由式(1)，v1·T1=v2·T2，所以，由式(4)，當t>Ti，響應完全相同，考慮到Ti足夠小，可以近似認該慣性環節具有相同響應。

推論1：設開關周期Ts足夠小，幅值為vi(i=1,2,3)的電壓脈沖的寬度分別為Ti，其中T1+T2≤Ts，T3≤Ts。且

v1·T1+v2·T2=v3·T3

(5)

則，v1和v2在一個開關周期內相繼通過慣性環節的響應與v3通過該慣性環節的響應等效。

證明：由定理1的證明，特別是式(4)，如果單獨輸入信號vi(i=1,2,3)，則當t>Ts>Ti時，響應的值與脈沖的面積成正比。當v1和v2在一個開關周期內相繼輸入線性系統時，系統的響應為分別輸入v1和v2的響應之和，由式(5)，該響應等于v3的響應。

推論2：設開關周期Ts足夠小，三個線電壓脈沖，幅值分別為vUVi,vVWi,vWUi(i=1,2)，寬度分別為Ti，Ti≤Ts。且

vUV1·T1=vUV2·T2

vVW1·T1=vVW2·T2

vWU1·T1=vWU2·T2

則，vUV1,vVW1,vWU1和vUV2,vVW2,vWU2通過三線三相電路對稱慣性環節的響應等效。

證明：設三線三相電路對稱慣性環節如圖2所示。其中

R1=R2=R3=R

C1=C2=C3=C

圖2 三線三相電路對稱慣性環節

考慮圖示三個回路，由基爾霍夫電壓定律：

vUV=vC1-vC2+R1iU-R2iV

vVW=vC2-vC3+R2iV-R2iW

vWU=vC3-vC1+R3iW-R2iU

注意到：

將上式代入式()，

記輸出線電壓:

v12=vC1-vC2

v23=vC2-vC3

v31=vC3-vC1

得：

注意到輸入線電壓和輸出線電壓滿足和定理1中輸入輸出電壓完全相同的微分方程，所以，完全類似的方法可以證明推論2.

推論3：設開關周期Ts足夠小，三個線電壓脈沖，幅值分別為vUVi,vVWi,vWUi(i=1,2,3)，寬度分別為Ti，其中T1+T2≤Ts，T3≤Ts。且

vUV1·T1+vUV2·T2=vUV3·T3

vVW1·T1+vVW2·T2=vVW3·T3

vWU1·T1+vWU2·T2=vWU3·T3

則，vUV1,vVW1,vWU1和vUV2,vVW2,vWU2在一個開關周期內相繼通過三線三相對稱電路慣性環節的響應與vUV3,vVW3,vWU3通過該慣性環節的響應等效。

證明:根據推論2的建模，類似推論1可以證明。

2 空間矢量的沖量等效原理

2.1 空間矢量

圖3 三相電壓的空間矢量

定義[2]對于給定的三相電壓vU、vV、vW，稱

(6)

為三相電壓vU、vV、vW的空間矢量，其中k為常數。上述求和為矢量求和運算。

容易證明，式(6)等價于：

(7)

2.2 空間矢量的沖量等效原理

定理2(空間矢量沖量等效原理):設開關周期Ts足夠小，三相相電壓vUi、vVi、vWi(i=1,2,3)的空間矢量分別為Vi(i=1,2)，Vi的輸出時間分別為Ti，其中Ti≤Ts。且

證明:由式(7)：

(9)

式(9)代入式(8)，得

適當簡化：

進一步簡化：

由上式可得：

vU1T1-vU2T2=vV1T1-vV2T23=vW1T1-vW2T2

由上式可推出：

(vU1-vV1)T1=(vU2-vV2)T2

(vV1-vW1)T1=(vV2-vW2)T2

(vW1-vU1)T1=(vW2-vU2)T2

記vUVi-vUi-vVi，vWVi-vVi-vWi，vWUi-vWi-vUi，由推論2得證。

推論4:設開關周期Ts足夠小，三相相電壓vUi、vVi、vWi(i=1,2,3)的空間矢量分別為Vi(i=1,2,3)，Vi的輸出時間分別為Ti，其中T1+T2≤Ts，T3≤Ts。且

V1·T1+V2·T2=V3·T3

(10)

則，V1和V2在一個開關周期內相繼通過三線制對稱電路慣性環節的響應與V3通過該慣性環節的響應等效。

證明:由式(7)：

(11)

式(11)代入式(10)，得

適當簡化：

進一步簡化：

由上式可得：

vU1T1+vU2T2-vU3T3=vV1T1+vV2T2-vV3T3=vW1T1+vW2T2-vW3T3

由上式可推出：

(vU1-vV1)T1+(vU2-vV2)T2=(vU3-vV3)T3

(vV1-vW1)T1+(vV2-vW2)T2=(vV3-vW3)T3

(vW1-vU1)T1+(vW2-vU2)T2=(vW3-vU3)T3

記vUVi=vUi-vVi，vVWi=vVi-vWi，vWUi=vWi-vUi，則推論3得證。

3 結語

本文提出并證明了SVPWM的理論基礎空間矢量的沖量等效原理，對于學生透徹理解掌握SVPWM有重要意義。