基于氣隙磁場的異步電機“全矢量”分析法

王君艷

(1. 上海交通大學 電力傳輸與功率變換控制教育部重點實驗室，2. 上海交通大學 電氣工程系， 上海 200240)

0 引言

目前在“電機控制技術”教學中，講到矢量控制時，都是用很多數學推導來簡化交流異步電機動態數學模型，在推導過程中有大量矢量在不同直角坐標系下的分量參與復雜運算，使學生很難把握關鍵點。在確定控制方案時，理論推導依然很復雜，不同方案推導關聯性不強，使學生進一步研究無從下手。再者，這種矢量控制原理推導與先修課程“電機學”中講的電機內部磁場分布缺乏關聯性，導致學生學習時感到迷茫。

本文以異步電機氣隙磁場為核心，根據矢量運算規律，得出三組“全矢量”形式的異步電機動態模型。“全矢量”是指：在模型推導過程中不出現電機的物理量在不同直角坐標系下的分量，物理量以完整矢量形式表達。根據這三組全矢量形式的動態模型特點，從供電側和控制端出發簡單而直接地得出四種異步電機控制策略。該方法沿襲了“電機學”教學中的電機內磁場分類及分布規律的內容[3][5]，且應用了先修課程“電磁場”的磁阻、虛位移等原理分析了電機的氣隙磁場和電磁轉矩[2][4]。“全矢量”表達形式的動態模型具有普遍性，更易確定電機的控制方案，便于學生進一步深入研究；此方法易推廣到其他電機的矢量控制，使電機控制的教學更加系統化。

1 “全矢量”形式的異步電機磁鏈模型

Fcosθ+Fcos(2π/3-θ)+Fcos(4π/3-θ)=1.5。下面用此規律推導“全矢量”形式的磁鏈模型。

圖1 平面內互差2π/3的單位矢量

圖2 異步電機定、轉子的單位矢量

異步電機合成磁勢：

(1)

其中：NS為定子每相匝數，Nr為轉子每相匝數。以方向為正軸線的假想線圈DH如圖3虛線所示，DH線圈電流方向和線圈正軸線方向遵守右手螺旋規則。假設線圈DH匝數為NS，則線圈DH中電流ID為Fm/NS,矢量。線圈DH中電流ID在氣隙中產生的空間基波磁場就是電機內定、轉子線圈在氣隙中共同產生的空間基波磁場。

與DH線圈交鏈的氣隙磁場形成磁路，此磁路由定子鐵芯、定轉子間的氣隙、轉子鐵芯形成閉合回路，磁阻記為Rm。

根據磁路的原理[2][4]，氣隙中空間基波磁場在DH線圈中產生的磁通為：

(2)

其中：k1為空間基波磁通系數，小于1，為常數[3][5]。

圖3 虛擬線圈DH

(3)

同理可得，氣隙中空間基波磁場在轉子中的磁鏈矢量:

(4)

考慮式(1)，并令：Lm=1.5NSNrk1/Rm；Lms=1.5NS2k1/Rm;Lmr=1.5Nr2k1/Rm,則式(3)、(4)變為：

(5)

(6)

(7)

(8)

2 “全矢量”形式的異步電機電壓模型及簡化方案

2.1 “全矢量”形式的定子電壓模型

定子A、B、C三相電壓方程分別為：

uA、uB、uC分別為定子A、B、C相電壓，RS為定子每相內阻，P為微分算子d/dt。它們分別可寫為：

(9)

根據矢量運算規律2:

(10)

(11)

2.2 “全矢量”形式的轉子電壓模型

轉子a、b、c三相電壓方程分別為：

ua、ub、uc分別為轉子a、b、c相電壓，Rr為轉子每相內阻，P為微分算子d/dt。它們分別可寫為：

將這三個式子的等號左右兩邊內容分別相加，得：

(12)

(13)

(14)

(15)

此式左端用式(13)替換，經整理得：

(16)

將式(16)代入式(12)得“全矢量”形式的轉子電壓模型：

(17)

2.3 簡化方案

分兩種情況討論“全矢量”形式電壓模型的簡化：

(18)

uSm、ISm分別為定子電壓矢量和定子電流矢量在m軸上的分量。該式僅涉及定子磁鏈矢量幅值的變化。

(19)

urm、Irm分別為轉子電壓矢量和轉子電流矢量在m軸上的分量。該式僅涉及轉子磁鏈矢量幅值的變化。

3 “全矢量”形式的電磁轉矩模型及實用形式

3.1 “全矢量”形式的電磁轉矩模型

電機是通過氣隙磁場傳遞能量的，電磁轉矩與這部分磁場有關[3][5]。

前面已說明圖3中虛擬線圈DH在氣隙中產生的空間基波磁場就是電機內氣隙中定、轉子線圈共同產生的空間基波磁場。線圈DH在氣隙中產生的空間基波磁場的儲能Wm[2][4]：

(20)

式中：ΨmD為氣隙中空間基波磁場在線圈DH中產生的磁鏈。

由式(2)可得：

所以：

(21)

由式(1)，又因矢量模的平方等于對該矢量本身的點乘運算，即：

(22)

應用虛位移法[2][4]求電磁轉矩，電磁轉矩為：

(23)

(24)

再考慮到前面已令Lm=1.5NSNrk1/Rm，對式(24)整理，有：

(25)

(26)

3.2 拓展形式

(27)

(28)

(29)

電磁轉矩6種表達形式中,其中4種在下面敘述的控制中可以實現，即式(26)至式(29)。

4 以供電側和控制端為出發點獲得控制方案

4.1 定子側供電，從定子端控制

工頻電源經過變頻器連接異步電機定子，通過控制變頻器，改變電機定子電壓矢量或電流矢量進行控制。

(30)

再由式(8)的m軸方向關系：

(31)

聯立(30)、(31)，消去Irm，可得：

(32)

4.2 定、轉子雙側供電，從轉子端控制(雙饋調速系統)

雙饋調速系統的定子端輸入工頻電壓，轉子端通過變頻器連接工頻電源，通過控制變頻器，改變電機轉子電流矢量進行控制。

(33)

(34)

5 結語

本文應用矢量分析方法得出“全矢量”形式異步電機的三大動態模型，又根據模型特點，以供電側和控制端為出發點獲得了控制方案。動態模型采用的是“全矢量”形式，而不是分量形式，使得控制方案引出更直接、全面，便于學生理解。在模型推導過程中強調氣隙磁場在定、轉子能量交換中的作用，使學生更清晰掌握電機內部物理過程，便于推廣到其他類型電機的分析。