L節匹配網絡的應用條件

李曉春， 張 晗

(上海交通大學 電子信息與電氣工程學院， 上海 200240)

0 引言

在微波射頻電路中，匹配網絡對于系統功能的正確實現至關重要。其中，僅由兩個電抗性元件構成的L節匹配網絡是一類簡單的匹配網絡[1]。盡管在實際應用中，這種匹配網絡有著頻率、帶寬等諸多方面的限制，但在教學過程中，這種形式簡單的匹配網絡能夠幫助學生更好地學習和理解單支節匹配、雙支節匹配等其他類型的匹配網絡[1～3]。

文獻[1]作為微波理論技術方面的經典教材，對兩種形式的L節匹配網絡進行了理論推導，并結合了Smith圓圖加以分析。但是，在這兩種形式電路的使用條件上，文獻[1]的闡述并不完善。

本文從理論上嚴格推導了使用兩種形式的L節匹配網絡時各自所需的充要條件，并結合Smith圓圖加以驗證。為了便于教學應用，本文給出了自制的L節匹配網絡程序，并結合程序進行了實例分析。

1 L節匹配網絡使用條件的理論推導

L節匹配網絡的兩種拓撲結構如圖1所示，表示將負載阻抗ZL匹配到目標阻抗Z0。其中，X為電抗值，B電納值。值得注意的是，X和B的取值可以為正，也可以為負。如果用集總元件實現L型匹配網絡，當X為正或B為負時，均對應電感；當X為負或B為正時，均對應電容。

(a) 先串后并型 (b) 先并后串型圖1 L節匹配網絡

(1)

其中，RL和XL分別為ZL的實部(電阻)和虛部(電抗)。在阻抗匹配中，常見的一種情況是將負載阻抗匹配到傳輸線的特征阻抗，并將特征阻抗近似為正實數進行設計。此處采用該假設，認為Z0為正實數，則可將式(1)的實部和虛部分開，整理得到關于X和B的兩個等式：

RLBX-Z0XLB+Z0-RL=0

(2)

XLBX+Z0RLB-X-XL=0

(3)

從式(2)和式(3)中消去X，可給出關于B的二次方程

Z0(RL2+XL2)B2-2Z0XLB+Z0-RL=0

(4)

式(4)有實數解的充要條件為

Z0RL(RL2+XL2-Z0RL)≥0

1)數據中心的硬件技術架構可以采用操作數據存儲(ODS)+分布式存儲集群(Hadoop)+數據集市(DM)的混合架構，來滿足數據中心對海量異構數據的處理需求。

(5)

先并后串型L節匹配網絡可使用的充要條件，即為式(5)給出的不等式。根據上述假設，Z0為正實數；同時，負載ZL的電阻RL通常也為正，因此式(5)可簡化為

RL2+XL2-Z0RL≥0

(6)

文獻[1]給出的使用先并后串型L節匹配網絡的條件為RL≥ZL，在此條件下式(6)恒成立。然而，該條件并非充要條件。事實上，可以從式(6)得到更簡單的等價形式。將式(6)變形可得

(7)

注意到不等式的左邊為負載的電導GL，不等式的右邊為目標阻抗的導納Y0，因此式(7)又可寫為

GL≤Y0

(8)

式(8)即為先串后并型L節匹配網絡可以使用的充要條件，即負載電導不大于目標導納。

圖1(b)所示先串后并型L節匹配網絡可以使用的充要條件通過類似過程推得為

RL≤Z0

(9)

即負載電阻不大于目標阻抗。此條件與文獻[1]結論相符。

2 L節匹配電路的Smith圓圖驗證

圖2展示了通過Smith阻抗導納圓圖進行L節阻抗匹配的過程。其中，等電阻圓(包括單位電阻圓)在圖的右上側標示，等電導圓(包括單位電導圓)在圖的左上側標示，zL為歸一化負載阻抗

zL=ZL/Z0

(10)

(a) 先并后串型

(b) 先串后并型圖2 Smith圓圖示意L節匹配過程

對于先并后串型L節匹配網絡，負載首先與電納元件并聯，此時輸入電導是不變的，因此歸一化負載阻抗點zL沿等電導圓旋轉，移動到等電導圓與單位電阻圓的交點。其中，單位電阻圓上的點所對應的歸一化電阻值均為1。然后，負載又與電抗元件串聯，此時輸入電阻不變，因此歸一化負載點再從上述交點處沿單位電阻圓移動到原點O，實現與目標阻抗的匹配。可以看出，為了使用先串后并型L節匹配網絡進行阻抗匹配，需要滿足的條件是歸一化負載阻抗點zL所在的等電導圓與單位電阻圓有交點(包括相切)。在Smith圓圖中，這一條件等價于歸一化負載阻抗點zL不在單位電導圓內部，即圖2(a)中陰影區域，意味著需要滿足條件

gL≤1

(11)

其中gL為歸一化電導

gL=GL/Y0

(12)

該條件與式(8)一致，驗證了前面公式推導的正確性。

類似的，我們可以得到，使用先并后串型L節匹配網絡時，需要滿足的條件是，歸一化負載阻抗點zL不在單位電阻圓內部，即圖2(b)中陰影區域。該條件等價于

rL≤1

(13)

其中rL為歸一化電阻

rL=RL/Z0

(14)

與式(9)給出的條件一致。

3 自制程序實例

自制L節匹配網絡程序的圖形化界面如圖3所示。界面左側包括目標阻抗、負載和L節匹配電路形式的輸入窗口，以及結果的顯示窗口；界面右側為Smith圓圖。當輸入完成時，單擊計算按鈕，結果顯示窗口將給出L節匹配電路中元件的數值，同時Smith圓圖中將顯示匹配過程。

圖3 L節匹配網絡程序界面

圖3給出的算例中，目標阻抗Z0=50 Ω，負載阻抗ZL=40+j40 Ω。按照文獻[1]中給出的L節匹配電路選擇條件，此時負載電阻RL=40 Ω，滿足RL

該程序可以在教學過程中使用，幫助學生理解L節匹配電路的原理。

4 結語

本文從公式推導和Smith圓圖兩個角度，給出了兩種形式的L節匹配電路的使用條件，完善了傳統研究方法中的不足。在此基礎上，本文采用自制程序，通過一個具體例子進一步驗證了文中提出的充要條件，加深了對L節匹配電路的理解。