考慮硬度變化的結(jié)合面法向接觸剛度分形模型*

王顏輝 張學良 溫淑花 陳永會

(1.太原科技大學機械工程學院 山西太原 030024； 2.山西能源學院機電工程系 山西晉中 030600)

機械零部件之間通過裝配形成的結(jié)合面，在機械系統(tǒng)正常運行過程中起著極其重要的作用。結(jié)合面在微觀尺度下呈現(xiàn)為不同曲率半徑和高度的微凸體，結(jié)合面間的接觸是不連續(xù)的且僅發(fā)生在較高的微凸體上，導致真實接觸面積與名義接觸面積相差甚遠，造成大載荷作用于小接觸面積的狀況，因此結(jié)合面間接觸性質(zhì)、應力分析等的研究非常復雜[1]。研究結(jié)合面之間的接觸變形行為和精確建模對于深入了解摩擦、磨損、潤滑、導電、導熱等機制非常重要。

國內(nèi)外學者在結(jié)合面接觸行為的研究上已經(jīng)做了不少工作，研究方法主要是建立理論模型，其中統(tǒng)計學分析和分形理論為2種最常用的主導求解方法。由于統(tǒng)計學參數(shù)，很大程度上受到粗糙度測量儀的分辨率或濾波器等因素的影響，因此對于一個粗糙表面來說不具有唯一性。

分形模型最早是1990年提出的MB模型，該模型認為隨著載荷增大，微凸體的變形過程為塑性變形到彈性變形過渡，這與傳統(tǒng)的接觸研究相反[2-4]。此后基于MB分形模型研究人員又進行了很多的研究，進而獲得更加準確的結(jié)合面接觸力學特性。MORAG和ETSION[5]建立了單個微凸體的彈塑性接觸分形模型，對MB模型中微凸體由塑性到彈性的變形順序與經(jīng)典赫茲接觸理論相矛盾的問題進行解答，其結(jié)論證明單個微凸體臨界接觸面積的尺度相關(guān)性。田紅亮等[6]對CEB模型進行了進一步修正，考慮了在彈塑性階段材料硬度隨表面深度的變化，建立了一種結(jié)合面單次加載分形模型。然而該模型在微凸體彈塑性變形階段時的描述僅考慮了彈性到彈塑性、彈塑性到完全塑性的過渡，對結(jié)合面彈塑性變形階段的描述不詳細深入。YUAN等[7]提出了一種基于MB模型的粗糙表面分形彈塑性接觸模型的改進模型，進而推導出一種結(jié)合面總的接觸載荷、總的實際接觸面積的求解模型。然而，該模型并未考慮到結(jié)合面材料的應變硬化現(xiàn)象，即材料硬度不再是一個恒定值，而是會發(fā)生變化。WANG等[8]考慮到彈塑性變形階段微凸體變形量發(fā)生變化影響材料的硬度H發(fā)生變化，構(gòu)建一新的硬度變化函數(shù)，研究各變形的臨界條件，對3種變形范圍進行重新修正，從而提出一種描述結(jié)合面單次加載的分形理論模型[8]。硬度作為表征材料彈性、塑性、強度和韌性等力學性能的重要指標，其值的變化與否直接關(guān)系到計算的準確性。根據(jù)應變硬化準則，隨著微凸體變形量的增大、塑性變形程度增大、加工硬化以及位錯強化程度增大等，材料的硬度會表現(xiàn)為增大的趨勢。

在結(jié)合面剛度方面主要有法向剛度模型和切向剛度模型，溫淑花等[9]建立了考慮微接觸大小分布的域擴展因子影響的接合面法向接觸剛度分形模型,并得出相關(guān)參數(shù)對法向接觸剛度的影響規(guī)律。李小彭等[10]建立一種考慮摩擦因素的結(jié)合面接觸剛度分形模型,并研究各影響因素對法向接觸剛度的影響。文獻[11-15]考慮微凸體彈塑性變形，建立結(jié)合面法向接觸剛度分形模型，且驗證考慮彈塑性變形情況得到的法向接觸剛度大于僅考慮彈性和塑性變形的結(jié)果。但以上文獻均未考慮硬度變化對接觸剛度的影響。

本文作者基于上述研究成果，依據(jù)分形理論，考慮彈塑性變形的2個階段及材料硬度的變化特性建立一種新的結(jié)合面加載法向接觸剛度分形模型，并研究結(jié)合面法向接觸剛度的影響因素。研究結(jié)果為更加科學合理地描述結(jié)合面的微觀和宏觀接觸狀態(tài)，為機械零件表面的接觸、摩擦等問題的研究提供理論依據(jù)。

1 考慮硬度變化情況下單個微凸體法向接觸剛度分形模型

結(jié)合面的接觸問題可簡化為一等效粗糙表面和一剛性平面的接觸問題，即結(jié)合面上一系列微凸體和剛性平面的接觸問題。簡化后的接觸模型如圖1所示。

圖1 結(jié)合面等效接觸簡化模型示意Fig 1 Simplified model of equivalent contact of joint interfaces

MAJUMDAR等[2-3]研究表明，實際工程粗糙表面形貌的輪廓線具有分形特性，數(shù)學特征為處處連續(xù)、處處不可微以及具有統(tǒng)計自仿射性，可用Weierstrass-Mandelbort函數(shù)(W-M函數(shù))來描述粗糙表面輪廓線，其表達式[15]為

(1)

式中：x為粗糙表面輪廓線函數(shù)的橫坐標；z為輪廓線的高度；D為Z(x)的分形維數(shù)；G是表面的長度尺度參數(shù)；nmin是輪廓線對應的最低頻率指數(shù)；γn是粗糙表面頻率密度參數(shù)，為適應實際表面輪廓的高頻譜密度和相位的隨機性，取γ=1.5。

在此做2個假設：①粗糙表面是各向同性的；②不考慮微凸體與微凸體接觸過程中的相互作用且認為不會發(fā)生大變形?；谠摷僭O可得頻率指數(shù)為n的微凸體變形前的方程[10]為

(2)

對公式(2)求導可得頻率指數(shù)為n的微凸體頂端處的曲率半徑：

(3)

在微凸體加載過程中，隨變形量ωn的增大微凸體將依次由彈性到彈塑性再到完全塑性變形。微凸體在初始屈服時的彈性臨界變形[12]為

(4)

根據(jù)文獻[8]可得微凸體彈性臨界接觸面積為

(5)

根據(jù)文獻[16]的研究結(jié)果，微凸體實際變形量滿足ωn>ωnec時，開始發(fā)生彈塑性變形，微凸體彈塑性變形分為2個階段：1<ωn/ωnec≤6時的第一彈塑性變形階段和6<ωn/ωnec≤110時的第二彈塑性變形階段。定義微凸體第一彈塑性臨界變形量為第一彈塑性變形階段開始進入第二彈塑性變形階段時的實際變形量：ωnepc=6ωnec，對應的真實接觸面積為anepc。定義微凸體第二彈塑性臨界變形量為第二彈塑性變形階段進入完全塑性階段時的實際變形量：ωnpc=110ωnec，對應真實接觸面積為anpc。微凸體彈塑性變形階段接觸面積-變形量、接觸載荷-變形量之間的關(guān)系[16]為

(ωnec<ωn≤6ωnec)

(6)

(6ωnec<ωn≤110ωnec)

(7)

1.1 微凸體處于第一彈塑性變形狀態(tài)

根據(jù)文獻[8]的研究結(jié)果，考慮到加載過程中材料的硬度變化，為了更加準確地表達彈塑性變形階段的特性，引入極限平均幾何硬度HG(a)這一概念，得出微凸體處于第一彈塑性變形階段時法向接觸載荷[8]為

(8)

將式(5)代入式(8)得：

(9)

此種情況下單個微凸體的接觸剛度為

(10)

1.2 微凸體處于第二彈塑性變形狀態(tài)

考慮材料硬度變化情況下，微凸體在處于第二彈塑性變形階段時的法向接觸載荷為

(11)

其中，

將式(5)代入式(11)并整理得：

(12)

此種情況下單個微凸體的接觸剛度為

(13)

1.3 微凸體處于完全彈性、完全塑形變形接觸狀態(tài)

當微凸體變形量ωn<ωnec時，微凸體處于完全彈性變形階段。根據(jù)赫茲理論，此變形階段單個微凸體上接觸載荷為

此時單個微凸體法向接觸剛度為

(14)

當微凸體變形量ωn>110ωnec時，微凸體處于完全塑形變形階段，在此變形階段材料的硬度不再受到變形量的影響，認為是一個常量。當材料給定時，微凸體的接觸載荷為

fnp=2HπRnωn

此時微凸體的法向接觸剛度為

(15)

2 考慮硬度變化情況下結(jié)合面實際法向接觸剛度

根據(jù)文獻[5]定義頻率指數(shù)為n時粗糙表面上微凸體的面積分布密度函數(shù)為

(16)

式中：anl是頻率指數(shù)為n時最大接觸點面積。定義nec、nepc、npc分別為彈性臨界頻率指數(shù)、彈塑性臨界頻率指數(shù)、塑性臨界頻率指數(shù)。則在載荷作用下頻率指數(shù)nmin

(1) 當頻率指數(shù)為nmin

結(jié)合面在該階段的法向接觸剛度為

(17)

(2)當頻率指數(shù)為nec

結(jié)合面在該階段的法向接觸剛度為

(18)

(3)當頻率指數(shù)為nepc1

結(jié)合面在該階段的法向接觸剛度為

(19)

其中，

(20)

(7.119 7anec)0.872 6(c4+1)-0.5D)

(21)

(4)當頻率指數(shù)為npc

結(jié)合面在該階段的法向接觸剛度為

(22)

其中，

(205.382 70.872 6(c4+1)-D/2-7.119 70.872 6(c4+1)-D/2)

(23)

(24)

由上可得結(jié)合面總的接觸剛度為

K=Kn1+Kn2+Kn3+Kn4

(25)

(26)

(27)

(28)

(205.382 70.872 6(c4+1)-0.5D-7.119 70.872 6(c4+1)-0.5D)+

(29)

同時可得出頻率指數(shù)為nec

(30)

頻率指數(shù)為nepc1

(31)

3 結(jié)果及分析

為了更進一步分析以上計算結(jié)果，等效結(jié)合面的參數(shù)取表1所示數(shù)值進行仿真分析。

表1 等效結(jié)合面參數(shù)

圖2所示為考慮材料硬度變化時微凸體處于第一彈塑性變形階段，當頻率指數(shù)n取34[8]、分形維數(shù)D取1.5時單個微凸體實際接觸面積和接觸剛度之間的關(guān)系曲線。可以看出，對于一特定的微凸體而言，當頻率指數(shù)和分形維數(shù)一定時其法向接觸剛度隨實際接觸面積增大而增大。

圖3所示為微凸體處于第二彈塑性變形階段，當頻率指數(shù)n取38、分形維數(shù)D取1.5時單個微凸體實際接觸面積和接觸剛度之間的關(guān)系曲線。

圖3 第二彈塑性變形階段單個微凸體實際接觸面積和接觸剛度關(guān)系曲線(n=38,D=1.5)Fig 3 The relation curve of actual contact area and contactstiffness of a single asperity during the secondelastic-plastic deformation stage (n=38,D=1.5)

由圖3可以看出，該變形階段單個微凸體接觸剛度隨實際接觸面積增大而增大，前期增長較快后期增長較慢，拐點出現(xiàn)在實際接觸面積為0.1 m2對應值為6.628×104N/m附近。

圖4所示為頻率指數(shù)為nec

圖4 分形維數(shù)對關(guān)系的影響Fig 4 The influence of fractal dimension on relation

圖5 分形維數(shù)對關(guān)系的影響Fig 5 The influence of fractal dimension on relation

圖6 長度尺度參數(shù)和分形維數(shù)對關(guān)系的影響Fig 6 The influence of length scale parameter and fractal dimension on relation(a) D=1.3;(b) D=1.5;(c)D=1.7;(d) D=1.9

圖7 長度尺度參數(shù)和分形維數(shù)對關(guān)系的影響Fig 7 The influence of length scale parameter and fractal dimension on relation(a) D=1.3;(b) D=1.5;(c)D=1.7;(d) D=1.9

圖曲線對比Fig 8 Contrast of relation curves

4 結(jié)論

(1)基于分形理論并考慮結(jié)合面第一彈塑性接觸、第二彈塑性接觸2個彈塑性變形階段的情形，分別建立考慮硬度變化情況下單個微凸體加載過程中法向接觸剛度模型。

(2)考慮加載過程中硬度變化對接觸剛度的影響，建立一種新的彈塑性變形階段結(jié)合面法向接觸剛度模型。

(3)根據(jù)文中給出的模型，單個微凸體法向接觸剛度模型與材料屬性(等效彈性模量、泊松比、材料初始硬度)、分形參數(shù)(分形維數(shù)、頻率指數(shù)、粗糙表面頻率密度參數(shù)、表面長度尺度參數(shù))以及變形量有關(guān)。

(4)彈塑性變形階段考慮硬度變化時，結(jié)合面量綱一法向接觸剛度的值隨法向?qū)嶋H接觸載荷、實際接觸面積的增大均增大。實際接觸載荷一定時，結(jié)合面法向接觸剛度值隨著分形維數(shù)的增大而增大。分形維數(shù)一定時，結(jié)合面法向接觸剛度與表面長度尺度參數(shù)有關(guān)，隨著其值增大而增大。