高等數學教學培養大學生的應用能力探究

許克威

摘??要：本文主要是從積極的方面介紹高等數學培養大專學生應用能力提高方面做個探討，希望更多的大專學生能學習到高等數學課程，領悟到高等數學的核心思想，在工作崗位上有所作為。高等數學核心思想是極限，其主要研究對象是函數，函數是二個量之間的關系。高等數學主要研究方法是三大運算，首先是極限運算，極限運算解決函數連續問題。其次是函數的微分運算，微分運算是解決函數單調性，最值和函數成圖等問題。最后是積分運算，積分運算是解決連續區間內累積和的問題。高等數學課程的特點是觀點鮮明，利用圖表，有難度更有理有據，對大學生應用能力的培養和提高具有很大的幫助作用。

關鍵詞：高等數學課程;微分運算;積分運算

1?函數極限定義與應用標準探究

在高等數學中，我們接觸到的第一個定義就是函數極限的定義，這個定義是高等數學的核心思想，我們先來重溫一下函數極限的定義。

定義：設函數在上有定義，A為一個常數，如果對于任意給定的正數（無論多么小），總存在正數，使7得當時，有

則稱函數當時極限為A。

函數極限定義極其嚴縝。定義首先給極限制定了一個標準，這個標準就是定理中任意給定的一個無窮小量，給定了這個標準后定義又提供了檢驗該標準的方法，這個方法就是找到某一正數x，從x以右的所有的函數減去某個常數A的絕對值都要小于給定的這個標準小量。

從極限觀點來看，無窮小量是極限為零的一個變量。古代人不知道如何求圓的周長，想了很多方法，我國古代數學家劉徵先從求圓內接六邊形的周長開始，然后逐漸把邊數擴大的方法來求圓的周長大小。劉徵每求一次就算一下正多邊形周長與直徑的比，用一個分數來表示，這樣反復做了多次后，劉徵得到一個分數系列。劉徵的結論是圓內接正多邊形的邊數越多，圓內接正多邊形的周長與圓周就越接近，所得到的分數就越接近圓周率。

我們可以很清晰的認識到，無論正多邊形的邊數如何，它都是一個圓內接的正多邊形，不是圓。但是劉徵的方法是可以操作的，做出來的結果與預先設定的標準是無限接近的。

極限只能是在有標準的條件下可操作的方法中過程的無限接近，而不是達到。這種思想方法可以稱為高等數學核心思想。這種思想貫穿了微積分的求極限，求導數，求積分的運算之中。它是一次革命性的思想轉變，

表現為標準可以檢驗，方法可以操作，

由此及彼，此不一定是彼，彼也不一定是此。

抓大放小，抓主要矛盾，研究主要實體。

函數極限的思想從根本上改變了我們中學數學中呆板的舉一返三的學習模式，它啟發我們，做任何一件項目，先要制定出項目的應用標準，然后在此標淮下尋找到行之有效的可以操作的方法。

如果制定項目標準是一種創新思想，在這種思想下采取行之有效的操作方法是一種創業能力，我們職業教育培養的人才，就應該是這種具有創新思想創業能力的應用型人才。

2??三個導數中值定理在函數中證明及計算

高等數學中第二個運算是微分運算，微分運算中有三個中值定理，分別是羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理，這三個中值定理互為補充，再配合表格圖形，對函數的研究如庖丁解牛一般準確。

先看羅爾定理;設函數滿足

（1）在閉區間上連續，

（2）在開區間內可導

（3）若有

則至少存在一點，使

我們認真解讀一下羅爾定理，羅爾定理的前二個條件是函數連續，或有可去間斷點，第三個條件是重點，函數只要有二處函數值相等，那么在連續函數中就存在著極值點，通過把所有的極值點找出來，就確定了函數增減區間的分界點。這些點分布在坐標軸上就是函數的區間分界點。

我們找到了增函數和減函數的區間以后，如何判斷區間內函數是增函數還是減函數呢？拉格朗日中值定理給予了很好的回答。

拉格朗日中值定理：設函數滿足

（1）在閉區間上連續

（2）在開區間內可導

則至少存在一點，使

在中，，若，則函數單調增，反之，函數單調減。

拉格朗日還給我們提供了一種思路，若在一段區間內函數都是增函數，我們就可以用求導的總法來求解函數中的不等式和恒等式。

例如，證明當，

這類題目在中學數學中是難題，而應用拉格朗日中值定理，我們只須設，在內單調遞增即可。證明過程如下。

證明;??設，

我們可以利用中值定理，通過表格來清楚的知道函數的增減區間和增減的性質。

例，討論的單調性

解，函數y的定義域為

通過列表我們可以讓讀者清楚我們所做的工作，我們的工作條理清楚，以數據說明問題，以理服人。

3??五個函數貫穿三種計算方法之中

在高等數學中有五個基本初等函數貫穿始終，這五個基本初等函數是冪函數，指數函數，對數函數，三角函數和反三角函數。高等數學課程看起來問題多，思緒復雜，但貫穿整體的就是這五個基本初等函數及其組合而成的復合函數在極限運算中，微分運算中，積分運算中的應用和變化。我們學習者掌握了這條主線后就可以在學習中進行比較，使學習變得簡單起來。

五個基本函數在極限和微分運算中較為簡單，不多重復，在分部積分法中有兩兩相乘的積分情況。

它主要的方法和技巧就是把較難的積分轉化為容易積分的，這不是一種偷梁換柱的耍滑頭，而是在工作中用簡單的技巧代替復雜的困難，是一種智慧，也是一種工作能力的體現。