高等數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)大學(xué)生的應(yīng)用能力探究

許克威

摘??要：本文主要是從積極的方面介紹高等數(shù)學(xué)培養(yǎng)大專學(xué)生應(yīng)用能力提高方面做個探討，希望更多的大專學(xué)生能學(xué)習(xí)到高等數(shù)學(xué)課程，領(lǐng)悟到高等數(shù)學(xué)的核心思想，在工作崗位上有所作為。高等數(shù)學(xué)核心思想是極限，其主要研究對象是函數(shù)，函數(shù)是二個量之間的關(guān)系。高等數(shù)學(xué)主要研究方法是三大運算，首先是極限運算，極限運算解決函數(shù)連續(xù)問題。其次是函數(shù)的微分運算，微分運算是解決函數(shù)單調(diào)性，最值和函數(shù)成圖等問題。最后是積分運算，積分運算是解決連續(xù)區(qū)間內(nèi)累積和的問題。高等數(shù)學(xué)課程的特點是觀點鮮明，利用圖表，有難度更有理有據(jù)，對大學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)和提高具有很大的幫助作用。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)課程;微分運算;積分運算

1?函數(shù)極限定義與應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)探究

在高等數(shù)學(xué)中，我們接觸到的第一個定義就是函數(shù)極限的定義，這個定義是高等數(shù)學(xué)的核心思想，我們先來重溫一下函數(shù)極限的定義。

定義：設(shè)函數(shù)在上有定義，A為一個常數(shù)，如果對于任意給定的正數(shù)（無論多么小），總存在正數(shù)，使7得當(dāng)時，有

則稱函數(shù)當(dāng)時極限為A。

函數(shù)極限定義極其嚴(yán)縝。定義首先給極限制定了一個標(biāo)準(zhǔn)，這個標(biāo)準(zhǔn)就是定理中任意給定的一個無窮小量，給定了這個標(biāo)準(zhǔn)后定義又提供了檢驗該標(biāo)準(zhǔn)的方法，這個方法就是找到某一正數(shù)x，從x以右的所有的函數(shù)減去某個常數(shù)A的絕對值都要小于給定的這個標(biāo)準(zhǔn)小量。

從極限觀點來看，無窮小量是極限為零的一個變量。古代人不知道如何求圓的周長，想了很多方法，我國古代數(shù)學(xué)家劉徵先從求圓內(nèi)接六邊形的周長開始，然后逐漸把邊數(shù)擴大的方法來求圓的周長大小。劉徵每求一次就算一下正多邊形周長與直徑的比，用一個分?jǐn)?shù)來表示，這樣反復(fù)做了多次后，劉徵得到一個分?jǐn)?shù)系列。劉徵的結(jié)論是圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，圓內(nèi)接正多邊形的周長與圓周就越接近，所得到的分?jǐn)?shù)就越接近圓周率。

我們可以很清晰的認(rèn)識到，無論正多邊形的邊數(shù)如何，它都是一個圓內(nèi)接的正多邊形，不是圓。但是劉徵的方法是可以操作的，做出來的結(jié)果與預(yù)先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)是無限接近的。

極限只能是在有標(biāo)準(zhǔn)的條件下可操作的方法中過程的無限接近，而不是達(dá)到。這種思想方法可以稱為高等數(shù)學(xué)核心思想。這種思想貫穿了微積分的求極限，求導(dǎo)數(shù)，求積分的運算之中。它是一次革命性的思想轉(zhuǎn)變，

表現(xiàn)為標(biāo)準(zhǔn)可以檢驗，方法可以操作，

由此及彼，此不一定是彼，彼也不一定是此。

抓大放小，抓主要矛盾，研究主要實體。

函數(shù)極限的思想從根本上改變了我們中學(xué)數(shù)學(xué)中呆板的舉一返三的學(xué)習(xí)模式，它啟發(fā)我們，做任何一件項目，先要制定出項目的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)，然后在此標(biāo)淮下尋找到行之有效的可以操作的方法。

如果制定項目標(biāo)準(zhǔn)是一種創(chuàng)新思想，在這種思想下采取行之有效的操作方法是一種創(chuàng)業(yè)能力，我們職業(yè)教育培養(yǎng)的人才，就應(yīng)該是這種具有創(chuàng)新思想創(chuàng)業(yè)能力的應(yīng)用型人才。

2??三個導(dǎo)數(shù)中值定理在函數(shù)中證明及計算

高等數(shù)學(xué)中第二個運算是微分運算，微分運算中有三個中值定理，分別是羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理，這三個中值定理互為補充，再配合表格圖形，對函數(shù)的研究如庖丁解牛一般準(zhǔn)確。

先看羅爾定理;設(shè)函數(shù)滿足

（1）在閉區(qū)間上連續(xù)，

（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)

（3）若有

則至少存在一點，使

我們認(rèn)真解讀一下羅爾定理，羅爾定理的前二個條件是函數(shù)連續(xù)，或有可去間斷點，第三個條件是重點，函數(shù)只要有二處函數(shù)值相等，那么在連續(xù)函數(shù)中就存在著極值點，通過把所有的極值點找出來，就確定了函數(shù)增減區(qū)間的分界點。這些點分布在坐標(biāo)軸上就是函數(shù)的區(qū)間分界點。

我們找到了增函數(shù)和減函數(shù)的區(qū)間以后，如何判斷區(qū)間內(nèi)函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)呢？拉格朗日中值定理給予了很好的回答。

拉格朗日中值定理：設(shè)函數(shù)滿足

（1）在閉區(qū)間上連續(xù)

（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)

則至少存在一點，使

在中，，若，則函數(shù)單調(diào)增，反之，函數(shù)單調(diào)減。

拉格朗日還給我們提供了一種思路，若在一段區(qū)間內(nèi)函數(shù)都是增函數(shù)，我們就可以用求導(dǎo)的總法來求解函數(shù)中的不等式和恒等式。

例如，證明當(dāng)，

這類題目在中學(xué)數(shù)學(xué)中是難題，而應(yīng)用拉格朗日中值定理，我們只須設(shè)，在內(nèi)單調(diào)遞增即可。證明過程如下。

證明;??設(shè)，

我們可以利用中值定理，通過表格來清楚的知道函數(shù)的增減區(qū)間和增減的性質(zhì)。

例，討論的單調(diào)性

解，函數(shù)y的定義域為

通過列表我們可以讓讀者清楚我們所做的工作，我們的工作條理清楚，以數(shù)據(jù)說明問題，以理服人。

3??五個函數(shù)貫穿三種計算方法之中

在高等數(shù)學(xué)中有五個基本初等函數(shù)貫穿始終，這五個基本初等函數(shù)是冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)和反三角函數(shù)。高等數(shù)學(xué)課程看起來問題多，思緒復(fù)雜，但貫穿整體的就是這五個基本初等函數(shù)及其組合而成的復(fù)合函數(shù)在極限運算中，微分運算中，積分運算中的應(yīng)用和變化。我們學(xué)習(xí)者掌握了這條主線后就可以在學(xué)習(xí)中進行比較，使學(xué)習(xí)變得簡單起來。

五個基本函數(shù)在極限和微分運算中較為簡單，不多重復(fù)，在分部積分法中有兩兩相乘的積分情況。

它主要的方法和技巧就是把較難的積分轉(zhuǎn)化為容易積分的，這不是一種偷梁換柱的耍滑頭，而是在工作中用簡單的技巧代替復(fù)雜的困難，是一種智慧，也是一種工作能力的體現(xiàn)。