力矩分配的矩陣方程法

摘??要：為提高力矩分配的計(jì)算效率和計(jì)算精度，在傳統(tǒng)力矩分配法的基礎(chǔ)上，使用方程方法，引入矩陣形式，建立矩陣方程法，從而提高了結(jié)構(gòu)計(jì)算效率，解題思路步驟清晰，且計(jì)算結(jié)果是精確解。

關(guān)鍵詞：力矩分配法;矩陣方程法;多結(jié)點(diǎn)連續(xù)梁;無(wú)側(cè)移鋼架

傳統(tǒng)力矩分配法是求解超靜定結(jié)構(gòu)的實(shí)用計(jì)算方法，該法克服了力法和位移法需要聯(lián)立求解方程組的缺點(diǎn)，通過(guò)逐次分配傳遞不平衡力矩來(lái)逼近精確解。[1]但是具有計(jì)算量大，精度有限的缺點(diǎn)。

本文建立矩陣方程法，該法在傳統(tǒng)力矩分配法的基礎(chǔ)上重新引入方程組，但該方程組具有部分系數(shù)為1的特點(diǎn)，仍較力法和位移法的方程組簡(jiǎn)單，同時(shí)利用方程系數(shù)物理意義，引入矩陣形式，和最終彎矩求解的通式，使求解思路步驟清晰簡(jiǎn)潔，且計(jì)算結(jié)果是精確解。

1?力矩分配矩陣方程法

1.1?計(jì)算步驟（以三個(gè)分配點(diǎn)A、B、C為例說(shuō)明，可推廣至多個(gè)分配點(diǎn)）

①計(jì)算各分配系數(shù)μ、傳遞系數(shù)C、固端彎矩MF、放松彎矩m0。

②列矩陣

③計(jì)算各桿端最后彎矩

通式：MPQ=MPQF+MPQ+=MPQF+XPμPQ+XQμQPCQP

（P、Q為分配點(diǎn)編號(hào);當(dāng)P為非分配點(diǎn)時(shí)，XPμPQ=0）

1.2?基本原理

結(jié)合以下連續(xù)梁算例說(shuō)明：

假設(shè)B、C、D三結(jié)點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行一次分傳，分傳完成后三分配結(jié)點(diǎn)放松力矩被全部放松。

設(shè)XB、XC、XD分別為對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)分配的總力矩，分析可知分配點(diǎn)放松彎矩m0由對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)分配總力矩X以及傳遞得到的力矩兩部分組成。列方程求解可得各結(jié)點(diǎn)分配的總力矩X，回代、將固端彎矩MF和結(jié)點(diǎn)分傳各行疊加便得各桿端最終彎矩。

對(duì)于連續(xù)梁，按圖2表格形式計(jì)算即可。但對(duì)于鋼架，不便于列表，為免去列表，直接由分配系數(shù)μ、傳遞系數(shù)C、固端彎矩MF、放松彎矩m0求得桿端最終彎矩，現(xiàn)引入矩陣的方法。

分析線性方程各系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，知結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)分配的總力矩X的系數(shù)為1，非對(duì)應(yīng)X的系數(shù)為μC，常數(shù)項(xiàng)為放松彎矩m0。列出矩陣形式如下：

為使矩陣形式統(tǒng)一，令1=μPP=CPP，得

分析最終疊加的過(guò)程，得到計(jì)算各桿端最后彎矩的通式：

MPQ=MPQF+MPQ+=MPQF+XPμPQ+XQμQPCQP

2?方法正確性及精度驗(yàn)算

為進(jìn)行方法正確性及精度驗(yàn)算，選取文獻(xiàn)[2]中等比數(shù)列彎矩分配法的例題作為算例。

例?兩跨剛架無(wú)側(cè)移，L1=8m，，L2=10m，高H=5m，各梁柱剛度相等均為EI，，EA為無(wú)窮大，短跨布置均布載荷q1?=?10kN/m，長(zhǎng)跨布置均布載荷q2=20?kN/m，見(jiàn)圖3

3?結(jié)論

本文提出了在含有多個(gè)分配點(diǎn)的連續(xù)梁、無(wú)側(cè)移鋼架中用矩陣方程法求精確解的計(jì)算步驟，解釋了基本原理，并通過(guò)算例進(jìn)行了驗(yàn)證。?得到以下結(jié)論：

（1）矩陣方程法可以避免彎矩分配傳遞的重復(fù)運(yùn)算，利用參數(shù)、矩陣、通式直接求得桿端彎矩的精確解，思路步驟清晰，形式統(tǒng)一，求解快速方便，實(shí)用性強(qiáng)。

（2）在教學(xué)中，本文提出的方法可以在學(xué)生掌握傳統(tǒng)彎矩分配方法后進(jìn)行擴(kuò)展，使學(xué)生對(duì)力矩分配法有更全面的理解。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱慈勉.結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]劉天一，陳素文.含3個(gè)分配點(diǎn)結(jié)構(gòu)的彎矩分配公式法精確解.力學(xué)與實(shí)踐，2014，36（02）：207-209+206.

[3]劉茂燧，程渭民.一次性分配的力矩分配法[J].力學(xué)與實(shí)踐，2007（04）：73-75.

作者簡(jiǎn)介：朱曉江（2000—???），男，漢族，浙江嘉興人，本科生。