懂數學的蟬

袁越

夏天是屬于蟬的季節，蟬的叫聲是每個慵懶夏日的背景音樂。但是美國有一種蟬，17年才叫一次，像鐘表一樣準確。

世界上有3000多種蟬，絕大多數是一年生的，每年繁殖一次。也有不少蟬以2～4年為一個周期。1633年，有人描述過一種產自北美的蟬，周期極長。但直到18世紀初期，美國的昆蟲學家才最終確定了這種蟬的生長周期——17年。100多年后，又有一種周期為13年的蟬被發現。科學家把這兩種奇怪的蟬統稱為“周期蟬”。

這種蟬總是在5月下旬開始破土而出，沿著樹干爬到高處，發出瘋狂的求偶叫聲。它們必須抓緊時間找到伴侶，因為大自然留給它們的交配時間只有一個星期。之后，雌蟬把卵產在樹干內便死掉了。經過2～8周的孵化，幼蟲破殼而出，掉到地上，鉆進土壤，依附在大樹的根部，一邊吸食植物汁液，一邊等待時機再次破土而出。這一等就是16年（或者12年）。

其實，17年蟬早在第8年時就已經完全成熟了，但它們體內似乎有個鐘表，不斷提醒它們要耐心等待。直到第17年的那個夏天，蟬們好像約好了，一起沖出地面，完成新的一輪生命周期。

一般情況下，一個地區只生活著一種周期蟬，科學家按照它們的出土日期和分布范圍，把北美的周期蟬分成了大約15個按照羅馬字母命名的“窩”。比如，2004年出現在美國東部大部分地區的周期蟬是第10號窩，這一窩蟬數量最多，分布最廣，是研究得最透徹的窩之一。

科學家首先想弄明白的問題是：這種蟬為什么選擇在地下生活那么多年？這樣做肯定會降低繁殖的效率。這個問題現在基本上有了定論。原來，周期蟬最早出現在大約180萬年前，那時北美正處于冰河期，氣候極不穩定，經常會遇到冷夏。成年蟬需要很高的氣溫，假如它們出土后正好遇到低溫，就死定了。科學家經計算發現，假如在1500年的時間里每50年出現一次冷夏，那么7年蟬的成活率是7%，11年蟬的成活率是51%，17年蟬則是96%。顯然，周期越長，成活率就越高。

下一個，也是最有趣的問題是：周期蟬的周期為什么總是質數？眾所周知，質數是除了它自己和1以外無法被任何整數整除的數。有一種理論認為，周期蟬為了避免相互爭奪糧食，便進化出質數周期，減少了相遇的次數。比如13年蟬和17年蟬每221年（13乘以17）才會同時出現一次。

可是，這個理論禁不起推敲。事實上，13年蟬和17年蟬分別有自己的活動區域，兩者很少重疊。1998年在密蘇里地區出現過一次第10號窩和另外兩窩13年蟬同時出現的奇景，但是這種情況很少發生。另外，蟬大部分時間都生活在地下，相互爭奪最厲害的食物應該是植物的根，這和它們的生命周期就沒什么關系了。

1977年，著名古生物學家史蒂芬·杰·古爾德提出了一個新假說，認為周期蟬這樣做是為了避開自己的天敵。他指出，很多蟬的天敵也有自己的生命周期，假如周期蟬的生命周期不是質數，那就會有很多機會和天敵的周期重疊。比如12年蟬就會和周期為2、3、4、6年的天敵重疊，被吃的可能性就要大很多。

2001年，德國科學家馬里奧·馬科斯設計了一個數學模型，間接驗證了這一假說。在這個計算機模型里，蟬和天敵們的生活周期一開始都不固定，但是兩者都會隨機地發生變異。如果周期重疊，蟬就被吃掉。經過多年的演化后，蟬的周期無一例外地會停留在一個質數上。

達爾文的支持者肯定喜歡這個理論，因為它把周期蟬的這個“神來之筆”變成了一個進化論框架下的數學模型。另外，這個理論還產生了一個副產品，那就是“質數生成器”。原來，質數是沒有規律可言的，大質數很難找到，需要用計算機一個一個算。現在好了，只要把前提條件變化一下，輸入這個“質數生成器”，就能自動得出一個質數來。

說起來，研究周期蟬的周期對人類一點實際價值也沒有。不過，人類的好奇心是無窮的，科學的發展就是這樣，一開始也許只是出于好奇，但沒準就能找到一個突破性的大發現。