基于置信區(qū)間的約束多精度序貫代理模型優(yōu)化方法及應(yīng)用

錢家昌，程遠(yuǎn)勝，張錦嵐

1 華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，湖北 武漢 430074

2 武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，湖北 武漢 430205

0 引 言

當(dāng)前，水下結(jié)構(gòu)物優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域大量使用耗時的數(shù)值仿真分析手段，如FEM，CFD 等。在基于耗時的數(shù)值仿真分析的水下結(jié)構(gòu)物優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中，需要多次迭代調(diào)用數(shù)值仿真模型才能獲得最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，導(dǎo)致無法滿足其快速、高效的應(yīng)用需求。在此背景下，代理模型應(yīng)運(yùn)而生，其是利用設(shè)計(jì)空間內(nèi)有限樣本點(diǎn)的輸入輸出數(shù)據(jù)，通過近似擬合輸入輸出間的關(guān)系，來代替原仿真計(jì)算進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)[1-3]。其中，基于序貫代理模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法是通過充分利用在優(yōu)化過程中獲得的數(shù)據(jù)信息來指導(dǎo)尋優(yōu)過程，與傳統(tǒng)的一次采樣代理模型技術(shù)相比，其能夠進(jìn)一步節(jié)約計(jì)算資源，有效平衡收斂效率與求解精度之間的關(guān)系[4]。趙留平等[5]綜述了基于代理模型的優(yōu)化方法在船舶結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的發(fā)展現(xiàn)狀，指出基于代理模型的優(yōu)化技術(shù)是船舶結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究的熱點(diǎn)。鄭少平等[6]將單精度代理模型應(yīng)用到了船舶板架強(qiáng)度和穩(wěn)定性分析中。夏志等[7]將水下結(jié)構(gòu)物基座阻抗數(shù)據(jù)進(jìn)行前處理，獲得了阻抗曲線的包絡(luò)線，通過采用單精度代理模型對預(yù)處理后的基座阻抗數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，有效提高了預(yù)報(bào)精度。Qian 等[8]針對目標(biāo)函數(shù)不耗時、約束函數(shù)耗時的工程優(yōu)化問題，提出在建立耗時約束函數(shù)代理模型時，應(yīng)側(cè)重考慮約束函數(shù)代理模型在約束邊界處的預(yù)估不確定性，將因代理模型的不確定性而使得約束可行性可能發(fā)生改變的點(diǎn)作為更新點(diǎn)，建立了一種基于置信區(qū)間的約束單精度序貫代理模型優(yōu)化算法（SCU-CI）。

然而，對于復(fù)雜的水下結(jié)構(gòu)物優(yōu)化問題，單次實(shí)驗(yàn)或者仿真計(jì)算都需要耗費(fèi)巨大的計(jì)算資源。有學(xué)者通過引入低精度模型數(shù)據(jù)輔助高精度模型數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)，減少了仿真計(jì)算的成本[9-10]。Yi 等[11]將多精度代理模型用到了水下結(jié)構(gòu)物變剛度加筋圓柱殼的強(qiáng)度與穩(wěn)定性分析中；宋保維等[12]將多精度代理模型用到了不同速度和攻角下自主水下航行器的流體動力參數(shù)預(yù)測中；姜哲等[13]在桁架式Spar 平臺多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中，采用結(jié)構(gòu)強(qiáng)度指標(biāo)構(gòu)建多精度代理模型，大大節(jié)省了優(yōu)化所需的計(jì)算資源；張守慧等[14]在KCS 集裝箱船艏部型線優(yōu)化過程中，構(gòu)建了興波阻力系數(shù)的多精度近似模型，以較小的計(jì)算資源獲得了興波阻力下降的船型。

相比單精度代理模型優(yōu)化，多精度代理模型優(yōu)化能夠充分利用建模過程中獲得的多精度分析模型之間的相關(guān)信息，從而提高效率并節(jié)省計(jì)算資源。本文將在SCU-CI 方法[8]的基礎(chǔ)上，研究提出一種基于置信區(qū)間的多精度序貫Co-Kriging代理模型優(yōu)化算法（MF-SCU-CI）。該方法通過引入成本系數(shù)來衡量不同精度模型的計(jì)算成本，建立高/低精度樣本點(diǎn)的Co-H 評估函數(shù)，并充分利用高/低精度模型數(shù)據(jù)信息。然后，通過3 個數(shù)值測試函數(shù)以及縱橫加筋圓錐殼結(jié)構(gòu)振動優(yōu)化設(shè)計(jì)案例進(jìn)行應(yīng)用研究，驗(yàn)證所提方法的適用性和有效性。

1 MF-SCU-CI 方法

對于目標(biāo)函數(shù)不耗時、約束函數(shù)耗時這類優(yōu)化問題，需要采用代理模型替代昂貴的約束函數(shù)進(jìn)行仿真計(jì)算，隨后，在優(yōu)化過程中直接利用代理模型序貫進(jìn)行尋優(yōu)。不同于目標(biāo)函數(shù)代理模型更新時更加關(guān)注局部精度（即如何有效利用代理模型序貫更新樣本點(diǎn)迭代得到最優(yōu)值），約束函數(shù)代理模型序貫過程關(guān)注的是約束函數(shù)邊界是否有足夠的精度（即如何有效利用代理模型序貫更新樣本點(diǎn)），以保證能夠在優(yōu)化過程中對約束違反的情況進(jìn)行準(zhǔn)確判斷。這種用代理模型替代約束函數(shù)的優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可以描述為：

式中：f（x）為目標(biāo)函數(shù),x=(x1,x2,···,xN)T，為設(shè)計(jì)變量向量，N為設(shè)計(jì)變量空間維度；xlb，xub分別為設(shè)計(jì)變量x的下限和上限；g?j1為計(jì)算昂貴的約束函數(shù)的代理模型；gj2為計(jì)算不昂貴的約束函數(shù)；J1，J2分別為計(jì)算昂貴和不昂貴的約束函數(shù)的個數(shù)。

1.1 基本思想

具有多精度數(shù)據(jù)來源時，MF-SCU-CI 方法需要解決2 個關(guān)鍵問題：1）在每次迭代過程中，如何確定一定置信區(qū)間下可行性狀態(tài)可能發(fā)生變化的樣本點(diǎn)；2）在更新代理模型時，如何確定待仿真樣本點(diǎn)的精度水平，以最大化每個更新點(diǎn)對于約束邊界預(yù)估精度的提高水平。

針對問題2），需要通過評估更新點(diǎn)對約束邊界精度的提高水平來選擇下一步的更新點(diǎn)，也就是說要確定是采用高精度模型還是低精度模型進(jìn)行樣本點(diǎn)的響應(yīng)計(jì)算。為了衡量在設(shè)計(jì)空間中不同精度樣本點(diǎn)對于約束邊界精度的提高值，本文提出了基于Co-Kriging 代理模型的Co-H 函數(shù)。該函數(shù)能夠通過衡量樣本點(diǎn)的不確定性水平、高/低精度模型之間的相關(guān)程度以及不同精度的成本系數(shù)來量化不同精度樣本點(diǎn)對于約束邊界精度的提高程度，如式(3)所示：

式 中：H(x)為 單 精 度 代 理 模 型 的H 函 數(shù)[16]；f?(x)，s?(x)分別為Kriging 代理模型的預(yù)測均值和預(yù)測方差； Φ ， φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概密度函數(shù)和概率密度函數(shù)；r(x,t)為高、低精度模型之間的相關(guān)性程度；c(t)為不同精度水平模型的相對成本；q為一次高精度仿真時間和一次低精度仿真時間的比值；t為不同精度水平； mf 指多精度模型； l指低精度模型。當(dāng)t=mf時，Co-H 函數(shù)用于衡量高精度樣本點(diǎn)對于約束邊界的提高程度；當(dāng)t=l時，Co-H 函數(shù)用于衡量低精度樣本點(diǎn)對于約束邊界的提高程度。

因此，MF-SCU-CI 方法應(yīng)首先利用式(2)找出具有可行性不確定的樣本點(diǎn)，然后再通過式(3)確定這些樣本點(diǎn)在更新Co-Kriging 代理模型時的精度水平，即哪些點(diǎn)作為低精度樣本點(diǎn)，哪些點(diǎn)作為高精度樣本點(diǎn)。

1.2 求解流程

MF-SCU-CI 算法的流程圖如圖1 所示，主要步驟描述如下。

圖1 MF-SCU-CI 算法流程圖Fig. 1 Flowchart of the proposed MF-SCU-CI algorithm

步驟1：利用最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)在設(shè)計(jì)空間內(nèi)進(jìn)行初始采樣，分別生成初始的高精度樣本點(diǎn)和低精度樣本點(diǎn)，計(jì)算獲得高精度約束函數(shù)和低精度約束函數(shù)的相對成本c(t)。

步驟2：建立初始Co-Kriging 代理模型。

步驟3：初始化遺傳算法（GA）種群，設(shè)置代數(shù)GEN=1，然后通過Co-Kriging 代理模型評估初始個體約束值。

步驟4：根據(jù)式(2)，從Co-Kriging 代理模型中選擇那些因預(yù)估不確定性而可能改變可行性的個體。

步驟5：利用提出的Co-H 函數(shù)，將步驟4 中所獲得的具有可行性不確定性的樣本點(diǎn)合理分配到不同精度仿真模型中，用以更新Co-Kriging 代理模型。

步驟6：更新Co-Kriging 代理模型，生成新的種群并更新計(jì)數(shù)GEN=GEN+1。

步驟7：用Co-Kriging 模型評估新個體的響應(yīng)值。

步驟8：檢查收斂準(zhǔn)則是否滿足，如果是，轉(zhuǎn)到步驟9，反之，回到步驟4。對于數(shù)值測試函數(shù)，由于最優(yōu)解是已知的，相應(yīng)的收斂準(zhǔn)則設(shè)置為代理模型獲得的最優(yōu)解與真實(shí)最優(yōu)解之間的相對誤差，或者達(dá)到設(shè)置的最大進(jìn)化代數(shù)。對于工程測試案例，由于其是黑箱問題，無法通過數(shù)學(xué)分析手段得到真實(shí)最優(yōu)解。因此，將算法收斂準(zhǔn)則設(shè)置為遺傳算法進(jìn)化一定的代數(shù)，然后比較其找到的最優(yōu)化解和總計(jì)算資源。

步驟9：用真實(shí)函數(shù)值（工程問題則用高精度有限元計(jì)算值）校核當(dāng)前最優(yōu)解是否真實(shí)可行，如果可行，轉(zhuǎn)到步驟11，反之，運(yùn)行步驟10。

式中，m為整體循環(huán)次數(shù)，當(dāng)基于不加嚴(yán)約束的最優(yōu)解不符合要求時，設(shè)m=1。在后續(xù)循環(huán)中，如果優(yōu)化解不符合要求，則逐步加嚴(yán)約束，令m=m+1。求解新的數(shù)學(xué)模型時，代理模型不需要再次更新，因此不會額外耗費(fèi)新的計(jì)算資源。

步驟11：輸出優(yōu)化設(shè)計(jì)解。

2 數(shù)值測試算例及結(jié)果分析

2.1 數(shù)值測試函數(shù)

應(yīng)用所提出的MF-SCU-CI 算法，對Constrained Branin，qcp4 和G4 這3 個不同類型的典型數(shù)值測試算例進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算分析，具體函數(shù)真實(shí)最優(yōu)解的詳細(xì)描述見文獻(xiàn)[17]。假設(shè)高精度約束函數(shù)和低精度約束函數(shù)的成本比為10∶1，即仿真1 個高精度樣本點(diǎn)的時間等于仿真10 個低精度樣本點(diǎn)的時間；GA 算法的種群大小為40，交叉概率為0.8，變異概率為0.15，代溝設(shè)置為0.95。初始樣本點(diǎn)的個數(shù)可能會對算法效果產(chǎn)生一定影響，這在文獻(xiàn)[18]中已進(jìn)行研究，故此處不再贅述。數(shù)值算例的初始樣本點(diǎn)、收斂準(zhǔn)則設(shè)置如表1 所示。表中，“初始樣本點(diǎn)數(shù)”一欄的數(shù)值，加號前為高精度樣本點(diǎn)個數(shù)，加號后為低精度樣本點(diǎn)個數(shù)。

表1 多精度測試函數(shù)參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameters setting of the multi-fidelity functions

2.2 數(shù)值測試函數(shù)優(yōu)化結(jié)果

在現(xiàn)有研究中，利用多精度代理模型輔助遺傳算法求解約束耗時的文獻(xiàn)較少，因此，對于本文所提MF-SCU-CI 算法的優(yōu)化效率，將只跟SCU-CI算法[8]進(jìn)行對比。比較的標(biāo)準(zhǔn)為：算法收斂時，哪種方法所需總的等效高精度樣本點(diǎn)少，獲得優(yōu)化解的效率就高。為了避免計(jì)算結(jié)果的隨機(jī)性，所有的數(shù)值測試算例都重復(fù)運(yùn)行30 次，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2 所示。

表2 數(shù)值測試算例在不同方法下的可行性比率Table 2 Feasibility ratios of numerical test examples under different benchmark funcitons

從表2 中可以看出：

1） 采用MF-SCU-CI 算法得到優(yōu)化解的可行性比率遠(yuǎn)優(yōu)于單精度的SCU-CI 方法。對于測試函數(shù)qcp4 和G4，SCU-CI 方法的可行性比率分別為0.833 和0.733，而MF-SCU-CI 方法的則為1.000。這意味著，MF-SCU-CI 方法的可行性隨著大量低精度樣本點(diǎn)的信息加入得到了很大提升。需要指出的是，本文所提MF-SCU-CI 方法在上述數(shù)學(xué)算例中每次都能直接搜索得到可行優(yōu)化解，而不需要進(jìn)入步驟10 中的約束加嚴(yán)過程。

2） MF-SCU-CI 方法所需要的總樣本點(diǎn)數(shù)少于SCU-CI 方法，表明在利用多精度代理模型輔助優(yōu)化的序貫過程中，大部分可行性不確定的樣本點(diǎn)的預(yù)估不確定性，都能通過更新低精度模型得到一定程度的降低。可見多精度的MF-SCU-CI方法與單精度的SCU-CI 方法相比，能進(jìn)一步節(jié)省計(jì)算資源。

3 縱 橫 加 筋 圓 錐 殼 結(jié) 構(gòu) 振 動 優(yōu) 化設(shè)計(jì)

縱橫加筋圓錐殼是水下結(jié)構(gòu)物艉部的重要結(jié)構(gòu)型式，本文主要研究結(jié)構(gòu)振動和尺寸搭配約束下的圓錐殼輕量化設(shè)計(jì)。不失一般性，本節(jié)主要考慮縱橫加筋圓錐殼在空氣中的振動特性，但在實(shí)際的水下結(jié)構(gòu)物工程優(yōu)化中，往往還需要考慮附連水質(zhì)量以及材料阻尼等多種因素。縱橫加筋圓錐殼結(jié)構(gòu)模型如圖2 所示。圖中：R1，R2分別為圓錐殼艉端和艏端半徑；t1，t2分別為艉段和艏段殼板厚度。

圖2 縱橫加筋圓錐殼結(jié)構(gòu)模型Fig. 2 The model of longitudinal and transverse stiffened conical shell structure

該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

表3 設(shè)計(jì)變量及其取值范圍Table 3 Design variables and their range of values

本案例在圓錐殼艉端施加了一個垂直向下的單位簡諧力。頻率范圍100～250 Hz，頻率間隔2 Hz，加速度總級的計(jì)算需要在頻率范圍內(nèi)掃頻計(jì)算[19]。材料的彈性模量E=2.1×1011Pa，泊松比μ=0.3，材料密度ρ=7 850 kg/m3。

進(jìn)行優(yōu)化分析時的高精度有限元網(wǎng)格劃分方案為：沿船長方向等間距劃分50 份網(wǎng)格，沿環(huán)向等間距劃分60 份網(wǎng)格，每次仿真計(jì)算耗時80.22 s；低精度有限元網(wǎng)格劃分方案為：沿船長方形等間距劃分20 份網(wǎng)格，沿環(huán)向等間距劃分24 份網(wǎng)格，每次仿真計(jì)算耗時20.02 s。單精度SCU-CI 方法的初始樣本點(diǎn)數(shù)設(shè)置為109 個高精度樣本點(diǎn)，多精度MF-SCU-CI 方法的初始樣本點(diǎn)設(shè)置為70 個高精度樣本點(diǎn)和156 個低精度樣本點(diǎn)（高、低精度樣本點(diǎn)的計(jì)算成本比為1∶4），總成本約合109個高精度樣本點(diǎn)。GA 算法的參數(shù)設(shè)置除迭代代數(shù)為400 外，其他參數(shù)同數(shù)值算例。

表4 和表5 匯總了3 種方法的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，并列出了相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)、約束值及仿真調(diào)用次數(shù)（NS）。

繪制的優(yōu)化收斂曲線如圖3 所示。

從表4、表5 和圖3 中可以看出：

圖3 GA，SCU-CI 和MF-SCU-CI 方法收斂曲線Fig. 3 Convergence curves of three methods

表4 優(yōu)化設(shè)計(jì)方案Table 4 Optimization design results

表5 不同方法結(jié)果對比Table 5 Result comparision of different methods

1） 由于代理模型的預(yù)報(bào)誤差，在未對最終約束進(jìn)行修正時，采用SCU-CI 方法和MF-SCU-CI方法獲得的最優(yōu)化解的真實(shí)值均略微違反約束。在借用約束加嚴(yán)做法對約束進(jìn)行修正后發(fā)現(xiàn)，修正后的目標(biāo)函數(shù)值雖略高于修正前，但能保證優(yōu)化解的真實(shí)可行性。

2） 基于代理模型的SCU-CI 方法和MF-SCU-CI方法滿足停止準(zhǔn)則時，均能得到與基于直接有限元計(jì)算的GA 方法目標(biāo)函數(shù)相當(dāng)?shù)膬?yōu)化解，甚至MF-SCU-CI 方法的優(yōu)化解還略優(yōu)于GA 方法。SCUCI 方法和MF-SCU-CI 方法的計(jì)算資源分別約為GA 方法的1/30 和1/50，體現(xiàn)了基于代理模型優(yōu)化方法的優(yōu)化效率。

3） MF-SCU-CI 方法的可行優(yōu)化解優(yōu)于SCU-CI方法，且MF-SCU-CI 方法調(diào)用等效高精度仿真次數(shù)更少，僅為SCU-CI 方法的73.7%。而且，在初始方案中不存在可行解的情況下，MF-SCU-CI 方法較SCU-CI 方法能更早地搜尋到可行解，且在隨后的進(jìn)化過程中，MF-SCU-CI 方法會首先收斂至最優(yōu)解。這說明多精度MF-SCU-CI 方法相比單精度SCU-CI 方法在工程應(yīng)用上更具潛力。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于置信區(qū)間的約束多精度序貫Co-Kriging 代理模型優(yōu)化方法（MF-SCU-CI），通過3 個典型的數(shù)值測試函數(shù)和縱橫加筋圓錐殼結(jié)構(gòu)振動優(yōu)化工程案例，將多精度MF-SCU-CI 方法與單精度SCU-CI 方法進(jìn)行了比較，結(jié)論如下：

1） MF-SCU-CI 方法在3 個數(shù)值測試 函數(shù)中的可行性比率均優(yōu)于單精度的SCU-CI 方法，同時，MF-SCU-CI 方法所用的總樣本點(diǎn)數(shù)更少。

2） 在工程案例中，MF-SCU-CI 方法獲得的可行優(yōu)化解要優(yōu)于SCU-CI 方法，且能更快地收斂。

研究表明，本文所提的多精度MF-SCU-CI 方法效率高、適用性好，能夠進(jìn)一步減少計(jì)算資源需求，具有良好的工程應(yīng)用前景。