中外《數學分析》教材對比研究

何桂添 呂慧君 唐國吉

關鍵詞：數學分析;微積分;教材

一、緒論

牛頓和萊布尼茨在三百年前奠定了微積分學的基礎。現在數學分析與代數構成了枝繁葉茂的現代數學之樹的根基，使得現代數學與非數學領域一直生機勃勃。《數學分析》課程是一門面向數學類專業的基礎課，數學領域以及非數學領域的許多新思想，新應用都源于這堅實的數學基礎，數學分析的重要性不言而喻。在20世紀60年代后，我國開始自己編寫了一些數學分析的教材，這些教材基本上是蘇聯教材的簡化、修改。經過多年的教材改革，目前國內出版了許多優秀的數學分析教材。其中華東師大數學系主編的《數學分析》是各高校使用比較多的分析教材。

在美國微積分是最大的一門課，美國共有5785所大學，總計約1600萬學生，這些學生當中約有50萬人在大學第一學年要學習微積分，其中40萬人來自四年制的大學。數學、自然科學、工程、醫學、生物學等學科的學生都要學習微積分。本文擬通過國外使用最廣泛的數學分析或微積分教材進行分析，概括國外數學分析或微積分教材的特點，并與我國教材作對比研究，探討國外數學分析教材中值得我們學習和借鑒的地方。國內很多高校都要自己主編的《數學分析》教材，由于篇幅限制，本文主要選取華東師大數學系主編的《數學分析》教材以及復旦大學數學系主編的《數學分析》教材為主要參照對比教材。國外教材主要選擇幾個經典分析教材或微積分教材作為參照對比教材。如Canuto與Tabacco教授編寫的英文版《數學分析》，Stewart編寫的《微積分》以及俄羅斯數學家卓里奇編著的《數學分析》都可以當作微積分教材的圭臬。本文通過各個《數學分析》教材的對比分析，給出教材的特點，方便教師教學或學生自學在選取教材時做出合理的選擇。

為方便敘述以及教材的直觀對比，我們通過表1給出中外《數學分析》教材章節內容的安排。此外表2給出中外《數學分析》教材的一些指標，包含教材的頁碼數，插圖數，例題數以及習題數。表2的教材的指標僅供參考，讀者不必因為Stewart編寫的《微積分》教材厚就以此為學習教材（由于中文表述與英文表述方式不同，教材的頁碼數并不能說明教材優劣之分），各個教材有各自的特點，各個教材的使用方法也不同。

二、中外《數學分析》教材編排比較

（一）與初等數學知識銜接的處理

表1是選取的五本《數學分析》的各章節內容安排。從表1可以看出，各教材的第1章基本上都考慮了初等數學知識的銜接，介紹了函數的基本概念以及實數的一些簡單的基本性質。例如介紹了函數的定義，函數的單調性、奇偶性、周期性，復合函數與反函數的概念以及幾個特殊的函數。華東師大編的《數學分析》（上、下冊）在第一章還介紹了有界函數與無界函數的概念，集合的確界原理，另外在本章第4節增加了由三角函數的兩角和（差）公式推導和差化積公式與積化和差和差化積公式以保證大學數學與中學數學內容的銜接。復旦大學編寫的《數學分析》（上、下冊）在第一章就講解了隱函數的概念。數學分析I用了兩章來處理與初等數學知識的銜接。數學分析（I）第一章介紹了集合的基本概念以及常見的幾個集合，數學的基本邏輯概念與邏輯關系，數量詞的問題，實數的序關系問題，區間的概念，分數與二項式系數的概念。數學分析I第二章則主要介紹了映射與函數的概念，包括單射、滿射，逆函數，函數的單調性、奇偶性以及初等函數的概念。微積分的第0章之前有一個針對初等數學知識的診斷測試。微積分的第0章對微積分進行了簡單的綜述并列舉了面積、切線、級數的和等微積分的問題。第1章才與其他教材類似進行函數的概念介紹，不過微積分的第1章的特色在于數學模型與建模思想的介紹。數學分析（第一卷）的第一章介紹了一些通用的數學概念與記號，本章的特色在于介紹了集合的勢與基數以及公理化集合論。第二章除了介紹實數集的公理系統和一些一般性質，還用了比較多的篇幅講解實數的完備性。

（二）教材內容的編排比較

（1）對于實數的完備性處理。《數學分析》（上冊）（華東師大版）放在第七章講解，不過華東師大版的《數學分析》在第2章就已經先證明了例題“任何數列都存在單調子列”，并得出了“致密性定理”，如此閉區間上連續函數的全部性質都可以在第4章得到證明，這樣盡管實數的完備性放在第7章講解也不太會影響第4章的閉區間上連續函數性質的證明。數學分析（上冊）（華東師大版）這樣編排的好處在于把抽象的實數的完備性的難度與抽象性進行適當的化解，當學生已經有了一些分析的知識，特別是對于基礎中等偏下的學生可能這樣更容易接受完備性。《數學分析》（上冊）（復旦大學版）則將確界原理、實數的完備定理以及閉區間上的連續函數性質的證明放在第3章講解。從內容體系上看，內容比較緊湊，在第2章將完連續函數的概念與閉區間上的連續函數性質，就需要證明閉區間上的連續函數性質，因此《數學分析》（上冊）（復旦大學版）將確界原理、實數的完備定理放在第3章講解也是挺合適的。《數學分析》（I、Ⅱ）并沒有花專門的章節來講解實數的完備性，不過在《數學分析》（I）第4章證明零點定理的時候穿插了閉區間套定理的介紹，并將零點定理通過閉區間套定理來證明。像《數學分析》（I）將實數完備性打散在各個章節介紹并使用的優點是可以將抽象和復雜問題簡化教學，缺點是不便于知識點提煉。微積分嚴謹性比其余四本《數學分析教材》稍遜一些，比較接近國內《高等數學》教材，并沒有講解實數完備性的系列定理。數學分析（第一卷）在第2章就講解了實數完備性定理，后續章節接著在講解極限與函數閉區間上的連續函數性質。數學分析（第一卷）基本上是按照數學知識邏輯的先后順序安排各章節內容。

（2）對于級數安排的處理。《數學分析》（華東師大版）是將數項級數放在下冊第12章講解，后續13章至15章接著講解函數列與函數項級數，冪級數以及傅里葉級數。《數學分析》（復旦大學版）則在第9-11章分別講解數項級數，反常積分以及函數項級數，這樣做的目的是一些反常積分的性質與定理的證明可以通過數項級數的斂散性來證明。《數學分析》（I）第5章第4節將完數列的進一步的一些性質后接著第5章第5節介紹正項級數的概念以及一些諸如比較判別法等一些常見性質。當然系統介紹級數的內容又在《數學分析》（Ⅱ）的第1-3章講解數項級數，函數項級數以及傅里葉級數的內容。微積分則在第11章講解無限數列和級數，是在反常積分之后講解。數學分析（第一卷）在第3章講完數列的極限，緊接著在第3章第4節將數項級數的性質以及判別法，而后在數學分析（第二卷）的第16章講解函數項級數。數學分析（第一卷）這樣安排數項級數主要是因為數項級數與數列聯系比較緊密。

（3）對于定積分與不定積分的先后安排順序的處理。對于不同教材，定積分與不定積分的先后安排順序不一樣。當然從系統微積分史來看，當然定積分先于不定積分出現。拋開微積分史，定積分與不定積分的先后安排各有各的特點。微積分在第5章中則將定積分先于不定積分安排講解。表1中的其余教材都是先講解不定積分再講解定積分，這樣安排的優點是可以降低定積分概念的陌生感與抽象感，再由牛頓一萊布尼茨公式可以降低定積分計算。

（4）對于重積分、曲線積分以及曲面積分的安排。《數學分析》（華東師大版）先安排含參量積分，接著第20章與第21章分別講授曲線積分與重積分（包括三重積分），其中第21章第3節講授格林公式。第22章講解曲面積分包括高斯公式與斯托克斯公式。《數學分析》（復旦大學版）在第19章第一節統一介紹二重積分、三重積分，第一型曲線、曲面積分的定義，接著第20章介紹二重積分與三重積分的計算，第21章介紹曲線積分與曲面積分的計算，而在第22章介紹各種積分之間的聯系（包括格林公式、高斯公式和斯托克斯公式）。《數學分析》（Ⅱ）是先講解重積分接著講解曲線與曲面積分，《數學分析》（Ⅱ）在第8章講授了二重積分、三重積分以及向量值函數的積分以及多重反常積分，接著在第9章講曲線積分與曲面積分以及通量積分，并在第9章的第5節講授格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。《微積分》是在第15章講授二重積分與三重積分，并在第16章講授線積分、面積分以及向量場積分，并在這一章講授格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。《數學分析》（第二卷）則在第11章講解重積分，在第12章講授中的曲面和微分形式，有了曲面的概念基礎后，在第13章講授曲線積分與曲面積分。

（5）對于向量函數與向量函數微積分的處理。《數學分析》（華東師大版）在下冊第23章以選講的形式講授向量函數微分學。《數學分析》（復旦大學版則在下冊以附錄的形式呈現向量值函數的導數。《數學分析》（Ⅱ）在第6章講授向量值函數的微分學。微積分在第13章講授向量函數，而在第16章講授向量微積分以及場論的初步知識。數學分析（第二卷）在第14章講授向量分析的微分運算與場論的積分公式。

三、中外《數學分析》教材特點

（一）華東師大版《數學分析》

全書邏輯嚴密，章節內容安排符合中等水平學生等大部分學生的認知規律，通俗易懂。《數學分析》第五版保持前四版的風格，內容選取適當，深入淺出，易教易學，可讀性強的特點。隨著數字時代的到來，第五版相對前四版補充了豐富的數字資源，比如附上了各章的綜合自測題。本書的最大特點是具有豐富例題與習題，各節習題設置了基本習題和提高習題，每章最后還設置了總練習題和各章的自測題。此外本書附上了微積分學簡史（第五版以數字資源出現，第四版以附錄呈現）。課本最后附錄中除了給出積分表，還給出了實數理論（這也彌補了實數完備性安排在第七章的靠后性，同時附錄中的實數理論是第七章實數完備性的有益補充）。本書對于后續課程會出現或者證明比較煩瑣的內容作為選講內容出現（例如定積分的近似計算，可積性理論補敘）。

（二）復旦大學版《數學分析》

本書第四版與前三版相比，概念的表述與定理的論證更清晰，讀起來通順流暢。本書與華東師大版的《數學分析》一樣有電子資源比如數學分析簡史。本書按照篇章安排章節內容，例如第一篇極限論分為兩部分：第一部分極限初論（第一章變量和函數，第二章極限和連續），第二部分極限續論（第三章關于實數的基本定理及閉區間上連續函數性質的證明）。本書有些概念使用更高觀點來敘述，例如關于黎曼可積的問題時引入零測集敘述。

（三）Canuto編寫的《數學分析》

《數學分析》（I、Ⅱ）是由Canuto與Tabacco教授在意大利高等教育體系的結構和教學大綱下編寫的英文版《數學分析》教材。該教材符合歐洲課程規范，深受歐洲數學專業學生和數學研究者的喜愛。估計歐洲的中學生水平接受《數學分析》還有一些困難，《數學分析》（I）前兩章比較細致地講授初等數學知識。全書介紹了一些工程、物理、計算機科學背景，同時從表2可知全書比較多例題與練習題（練習題都有比較詳細的解答）。《數學分析》（I、Ⅱ）都有專門的章節講解微分方程。全書的定義、定理以及性質的敘述嚴謹，論證嚴密。

（四）Stewart編寫的《微積分》

《微積分》已經是第七版修訂，深受歐美高校的理工科教師與學生的青睞。全書比較厚實，具有豐富的例題、習題以及插圖，敘述由淺入深，通俗易懂。準確來講本書比較接近國內高校的《高等數學》教材，很多觀點的敘述可能要高于國內的《高等數學》教教材，敘述的嚴謹性可能不如其余參考文獻的《數學分析》教材。本書的特點主要有以下幾點：①全書與初等數學緊密連接，書本前面開始有初等數學診斷測試，后續各章節還會回顧與講述初等數學知識點;②各知識點、概念、函數講述詳細，并盡可能配有豐富的插圖;③全書采用彩色印刷（可能考慮比較多概念與重要公式和插圖）;④各章節配有豐富的習題和附加題，附錄中只為奇數題號的習題給出解答;⑤全書具有數學建模思想，并給出許多工程、物理、生物等實際問題的數學模型并相關論述。

（五）卓里奇著的《數學分析》（第一卷、第二卷）

《數學分析》（第一卷、第二卷）是俄羅斯數學家卓里奇著的數學專業教材，中文版本由李植翻譯的。本教材已增補至第7版，作者加強了分析學、代數學和幾何學等現代數學課程之間的聯系。全書觀點較高（部分章節由實分析、復分析，拓撲學的觀點進行敘述），內容豐富新穎，所選習題也具有特色。全書分兩卷出版，第一卷主要包括一元函數微分學和積分學以及多元函數微分學。在微分學中特別關注了微分在變量變化特征的局部描述中作為線性標尺的作用，在敘述積分學時，盡量用直觀的材料描述黎曼積分。第二卷的頭兩章概括了與連續函數理論和微分學有關的結果，其敘述采用一般的不變形式，以便自然地與多元函數微分學相銜接。在介紹曲線積分與曲面積分時使用了微分形式語言，基于初等材料引入全部基本的幾何概念和解析結構，然后由他們構成一系列抽象定義。第15章總結了流形上的微分形式積分理論（國內少許數學分析教材對流形上的微積分進行介紹），也是對第11章至14章的理論敘述的系統性補充。

通過上面中外教材的分析，教師可以根據學生的情況選擇教材，學生也可以自身的需求選擇適合自己的教材。教師可結合教材培養學生的分析問題能力、解決實際問題能力，從而達到培養創新人才和應用型人才的目的，將數學建模思想以及外國教材的優點融入課堂教學，進而達到提高課堂教學質量。