解鎖反問題新領域
——記北京理工大學&深圳北理莫斯科大學教授張曄

范德強

自20世紀60年代以來，地球物理、醫學成像、模式識別等眾多科學領域，都提出了“由結果反求原因”的反演問題（以下簡稱“反問題”）。由于此類問題有著廣泛而重要的應用前景，而且其理論又極具新穎性與挑戰性，所以它已發展為數學學科中的一個重要分支。

將不可直接測量的物體通過數學模型進行可測量轉化，是反問題研究的主要思路。例如：腦癌的CT檢測在不開顱的情況下，可以通過外部的檢測確定顱內的病變；月球是圓的、太陽的性質等結論得出時，人類并沒有跑到這些天體上去進行直接測量，而是通過接收天體發出的各類信號，去研究它的相關特性，這些都是反問題研究的典型案例。

反問題研究雖然解決了許多復雜問題，但大部分反問題都是病態（不適定）的，因而在解決問題的過程中會面臨兩個困難：一是如果帶誤差的數據不屬于數學模型的值域，則經典意義下的近似解不存在；二是小的觀察誤差會導致經典意義下的近似解與真解的嚴重偏離。為了處理此類問題，正則化方法應運而生。

2011年以來，張曄一直從事不適定性反問題的正則化理論研究和具體物理學中反問題的算法設計。他介紹：隨著反問題研究廣度和深度的不斷擴展，在數學之外的其他地方，如生物醫學、天文學等領域很多問題均可以理解為廣義上的反問題。尤其在人工智能發展的浪潮下，反問題理論更成為當前研究熱點——大數據分析和機器學習，最有可能的理論框架。而這些問題的解決亟待新理論的提出和新方法的應用。

張曄

2019年結束在海外12年的求學和科研生涯，張曄作為北京理工大學數學與統計學院和深圳北理莫斯科大學雙聘教授回到國內，與國內的反問題研究團隊進行深入合作。如今，他的目標是發展反問題相關的新方向和新領域，為擴大我國在該問題研究上的國際影響力作一些貢獻。

結緣反問題

張曄本科畢業于浙江大學信息與計算科學系，但他學的并不是計算機而是數學專業。導師程曉良教授，是黃鴻慈院士的學生，作為我國最早進行有限元方法的研究者之一，黃院士為我國獨立發展這一方法作出了重要貢獻。作為黃院士的學生，程曉良教授的研究自然與有限元相關，并且本科時他指導張曄做的課題也是有限元相關的網格加密算法研究。雖說張曄早期的研究與反問題沒有太大關系，但總的來說卻都與算法相關。因此后來將科研方向轉到反問題研究后，張曄并未感覺到不適應。

與反問題研究結緣，與張曄在俄羅斯的求學經歷有關。在浙江大學畢業后，張曄獲得了到莫斯科國立羅蒙諾索夫大學攻讀碩博士的機會。由于對物理感興趣，也是因為莫斯科大學物理系培養了8名諾貝爾獎獲得者，在國外求學伊始他就轉到了物理專業。俄羅斯的物理更偏向于理論研究，尤其偏向于用數學工具來描述物理現象，所以數學與物理相結合讓他不僅學到了很多跟物理相關的數學知識，也學到了一些跟數學相關的物理知識。

正因為有這樣的學術訓練，博士階段張曄順利進入莫斯科大學數學物理反問題研究組進行學習，并從此與反問題結緣。

莫斯科大學反問題研究組的創建者是吉洪諾夫，他是20世紀蘇聯著名的數學家和地球物理學家，也是反問題正則化理論的創始人，以他的名字命名的“吉洪諾夫正則化”成為反問題、控制優化、機器學習里最常用的方法。而張曄的導師、現任研究組帶頭人A.G.Yagola教授則是吉洪諾夫的學生。傳承老師吉洪諾夫的衣缽，A.G.Yagola教授也為反問題研究作出了重要貢獻，通過研究反問題他幫助俄羅斯發現了許多行星，也因此獲得列寧勛章等多項蘇聯、俄羅斯的國家級獎項，是國際知名的應用數學家。

亦師亦友的Yagola教授對學生采取“放養”的方式，在整個碩博士期間，他并未給張曄指定過具體的研究方向，只在大方向上為他把關。只要問題有一定的探索性，張曄本人又覺得有意義，導師都會支持他做下去。作為傳統的俄羅斯數學家，Yagola教授認為博士期間要以打基礎為主，為發表文章，選一個不可持續、沒有數學品位的課題做，他并不提倡。所以張曄博士剛畢業時并沒有多少文章發表但對整體理論框架的訓練卻非常完整。

因此即使博士畢業，因發表論文少，找工作遇到了一些困難，張曄還是很感謝在俄羅斯求學的那段時光。“因為Yagola教授提供的寬松氛圍，我沒有為一定要找一個非常熱門的方向去做而焦慮過，只是一門心思想把基礎打好，后來我發現扎實的基礎對我所做的研究真的很重要，因為有了牢固的根基，遇到一些機會時你才能馬上抓住它。”

如今，張曄與Yagola教授仍保持著聯系。不同的是，博士畢業后，Yagola教授反而會對具體做哪個科研方向向張曄提出一些建議，Yagola教授常會問他：“有沒有興趣做這個？我們一起做。”

在俄羅斯求學期間，或許是在那里留學的華人少，因此張曄周圍接觸到的基本都是俄羅斯人，給他留下深刻印象的是他的一位同門師兄。這位師兄不僅推導數學公式很快，而且還不會出錯，被大家視為天才般的存在。

作為學校信息類學科競賽負責人榮獲數學建模優秀指導老師榮譽

他曾跟張曄說：“做一件事，一定要知道自己在干什么，要培養獨立完成任務的能力，也要對自己所做事情的正確性負責。”他所做的工作之所以不會出錯，是因為在完成后，他都會反復做檢查。

這位師兄對張曄影響很大，以他為榜樣，張曄以同樣的標準要求自己，科研素質獲得了提升。離開俄羅斯后，他又在多個國家輾轉，并與很多國外同行建立了密切的合作關系和深厚的友誼。之所以能獲得同行的認可，他身上獨立、認真的特質或許就是吸引他人的一個原因。

感受多元文化

2014年在莫斯科國立羅蒙諾索夫大學博士畢業后，張曄轉赴離諾貝爾的故鄉最近的大學——瑞典厄勒布魯大學做博士后研究，之后獲得長聘研究員的教職。2017在德國洪堡基金的資助下，他獲得到德國開姆尼茨工業大學做博士后研究的機會,在以反問題正則化理論研究聞名于世的開姆尼茲反問題研究組工作，合作導師是該研究組帶頭人B.Hofmann教授。與此同時，張曄在瑞典卡爾斯塔德大學、厄勒布魯大學的工作也并未停止。

豐富的海外求學和科研經歷，讓他的視野更加開闊，思想也潛移默化受到多元文化的影響。“很多人都說俄羅斯人比較怪，因為他們不追求熱點，更熱衷于做自己認為有用的東西。一輩子專注研究一個問題，哪怕到最后都沒被人發現所做研究的價值，他們也照樣愿意做。正因為有這些人，所以世界上很多原創性的理論都起源于俄羅斯。這也是我當時選擇去那里的原因，對他們這種價值觀，我是認可的。德國則是一個傳統的科技強國，可能一開始會覺得德國人比較死板，但跟他們接觸起來，其實人都非常好，他們對學術的態度很嚴謹，而且你一旦有事找到他們，他們都非常樂意提供幫助。”張曄說。

而在瑞典的工作，則讓他的研究與應用建立了聯系。由于瑞典是一個小國，科研要在國際上站穩腳跟，遍地開花做研究顯然不符合它的國情，所以必須把財力、精力投入少數幾個重點方向的研究上。而且張曄發現，與理論研究比起來，這個國家似乎更重視應用性的研究。

這一點從張曄獲得的項目資助上就能看出來，在瑞典工作期間，他只主持過1項中瑞合作數學類項目，卻參與了5項應用類科研項目，其中有4項是與液相色譜法相關的瑞典自然基金項目和瑞典工業部項目，1項是關于生物制藥的瑞典重點項目，張曄在其中負責了“數學建模和軟件開發”子課題。

張曄介紹，阿斯利康是全球領先的制藥公司，5個項目中有一半的項目跟這家藥企有聯系。具體到研究上就是如何把藥物快速、精準地分離出來。“如果只是比較粗糙的分離，可能做實驗就行，但如果需要高精度的分離，用數學模型更能把握住精準度，可以使提取的藥物達到99%以上的純度。”

張曄坦言，與瑞典分離科學領域的知名團隊合作，雖然他們屬于不同的領域，但卻碰撞出了不少令人欣喜的火花。“過去解決相關問題，他們只能通過不停地做實驗，后來發現用反問題的思路，通過數學模擬就可以計算得很精確，他們感到非常神奇。而我也通過合作和參與這些應用項目，更加了解了自己所做研究的意義和價值。”張曄說，“雖然數學能做的東西還是有限，只能解決一部分問題，不能代替所有的實驗，但數學的代價很小，我的工作就是希望把能解決問題的范圍盡可能擴大，不用過分依靠實驗，不用耗費財力、物力就能給出結論。”

海外的經歷，重塑了張曄的學術態度、思維方式，而專注于數學物理反問題的數學建模、正則化理論和科學計算研究，把握國外相關研究的最新動向，吸取同行的寶貴經驗，張曄的研究也取得了一系列可圈可點的成績。他在應用數學和統計學的國際頂級雜志發表高水平論文20余篇。他提出并研究了廣義漸近正則化理論，從一個新視角研究了加速正則化算法，發表的其中一篇文章被評為高被引論文，成為國際知名雜志Applicable Analysis自2011年以來最受歡迎的文章之一（排名第三），相關結果引發了包括SIAM會士Kunisch教授和反問題雜志主編Scherzer教授等知名數學家的后續工作。結合均勻化理論和正則化理論，張曄還給出了多尺度反問題的高效反演算法，成果被AMS會士、SIAM會士Efendiev教授所引用。此外，他編寫的軟件AIDA還成為生物制藥分離科學目前三個最通用的軟件之一。

在海外拼搏12年，張曄始終關注著國內的發展，看到國內各行各業迅猛、強勁的發展勢頭，他非常希望能參與進來，為國家發展出一份力，為推動反問題研究在中國的前行盡一份責。懷抱這些理想，張曄踏上了歸國的行程。

解生物制藥難題

回國之前，Yagola教授給張曄發信息，讓他考慮一下深圳北理莫斯科大學，他非常希望張曄能到這里任教，并為中俄友誼做一些事情。張曄聽從導師的建議，一回國就到了深圳，并成為深圳北理莫斯科大學和北京理工大學數學與統計學院的雙聘教授、博士生導師。

在國內，張曄感受到國家對基礎科學研究的支持力度，除獲得國家級人才項目的支持外，他也拿到了校級、深圳市、廣東省的項目支持。目前他正在申請國家自然科學基金項目和深圳市重點項目。他重新將自己的研究重點放在不適定性反問題的正則化理論研究上，并同時關注其在自然科學的應用探索，力求在反問題正則化理論及與之相關的應用領域取得一流的原創性科研成果。

依托北京理工大學數學和統計學的一級學科博士點，數學博士后科研流動站及北京市重點實驗室“復雜信息數學表征分析與應用實驗室”和與中國航天科工集團有限公司共建的“非線性科學與應用數學”聯合實驗室等一系列科學研究與人才培養平臺及大型的并行計算設備，與瑞典卡爾斯塔德大學的Fornstedt教授和厄勒布魯大學的Gulliksson教授、德國開姆尼茨工業大學的Hofmann教授、新加坡國立大學的姚志剛副教授和浙江大學的程曉良教授繼續開展合作，在瑞典所做研究的基礎上，繼續開展液相色譜法反問題的數學建模與新正則化方法的研究，是張曄近期的工作計劃。

張曄介紹，將混合物中不同的成分進行分離和提純在很多領域都有重要的應用，如化學、制藥、生物醫學、食品工業、農學、商法檢等。液相色譜法是一種分離混合成分的技術，它能高效地解決很多傳統方法（如蒸餾法和提煉法）無法解決的分離問題。該方法常應用于需要對產品進行高度提純的任務中。近年來，隨著生物制藥的發展，下一代藥物在很大程度上基于生物分子，如肽、核苷酸、mRNA和治療性蛋白質等，而不是當前暢銷品中使用的小分子物質，如洛賽克、埃索美拉唑和希愛力等。

但由于可能存在多個不同的結合位點、大分子之間形成聚集體的折疊問題、緩慢的解離動力學現象，以及更復雜的異質性熱力學現象，使生物分子的分析和分離變得異常復雜。歐洲和美國的科研機構及大型制藥公司（如阿斯利康、Attana等）已大力地展開對生物制藥相關方向的研究。相對而言，中國在這些技術本身和儀器制造等核心產業的研發尚存在較大發展空間。因此，發展一套適用于生物制藥的液相色譜法迫在眉睫。

圍繞這個科學問題，從最原始的物理機理出發，張曄將基于實驗室的傳統一維數學模型推廣到適用于藥廠環境的高維模型，并基于間斷有限元方法和奇異攝動理論中的漸進方法，開發出相應的高效數值求解算法。

而生物分子間的相關作用所對應的數學問題是高度非線性的不適定反問題。為此，他們將以此類反問題為背景，研究非線性反問題的機器學習方法和隨機反演算法，以期克服一般反問題所面臨的共性難題：不適定性和逃離局部最小解。

以液相色譜法為研究技術，以生物分子間的相互作用關系為研究目的，以高維偏微分方程為數學模型，以非線性反問題的新正則化方法為研究手段，張曄及團隊將發展一套刻畫大分子間相互作用的高效數值算法，給出適用于大部分生物分子液相色譜法的“一體化”軟件平臺，從而為生物分子液相色譜法提供理論支撐，解決生物制藥中高精度分離的難題，為中國未來的生物制藥業發展奠定堅實的基礎。

教書育人是本職

擁有在俄羅斯莫斯科大學、瑞典厄勒布魯大學和卡爾斯塔德大學及德國開姆尼茨工業大學的求學和教學經歷，張曄認識到人才培養是大學教師最重要和本職的工作。

立足北京理工大學和深圳北理莫斯科大學的特色教學資源，結合國際上先進且卓有成效的經驗和教學方法，張曄致力于為廣大學生提供基礎和科研并存、廣度和深度兼有的優秀課程。落實到具體中，他將精選優秀外文教材，讓學生了解該學科的基礎和廣度；同時通過總結最新文獻、同行交流及學術會議的報告，將學科領域的國際研究現狀和發展趨勢盡力向學生呈現。

張曄帶領學生積極參加各種數學類競賽，輔導的學生曾獲得全國數學建模競賽一等獎、美國數學建模競賽特等提名獎等獎項，實現了學校數學類競賽獲獎情況零的突破，同時張曄本人也多次獲得廣東省數學建模優秀指導教師獎。

在研究生培養上，他也做了一些計劃，將以培養和調動學生科研的主動性為首要目標，積極鼓勵學生參與國際交流，在接受扎實的數學基本功訓練的同時擁有對國際前沿的良好視野，具備開展高質量的科研課題研究的能力，發表高水平論文。目前，他正和莫斯科大學的一位教授合作編寫一部中文計算數學教材，他希望借由此次合作為促進中俄“一帶一路”科技教育文化交流作貢獻，為中俄戰略合作與區域經濟社會發展培養高質量的特色人才。

組織參加數學建模競賽

由于精通中英俄三語，領導推薦張曄擔任深圳北理莫斯科大學計算數學與控制系的副系主任，一心想著做科研的張曄卻婉拒了這一任命。但為了中俄教育合作和學校的發展，他選擇暫時代理副系主任一職，直到學校找到合適的人選。做代理副系主任以來，張曄非常重視系里的學科建設，帶領團隊成功為學校拿到了數學與應用數學專業的學士學位授予資格。

除了將自己的科研做好，把學生培養好，作為深圳北理莫斯科大學反問題研究團隊的負責人和計算數學與控制聯合研究中心的中方執行主任，將團隊和中心建設好更是張曄的責任。

雖然回國沒多久，但團隊組建卻很順利，一批優秀的國際化專家和研究生陸續加入進來，他們中有研究正則化理論的、有研究偏微分方程理論的，還有研究數值計算和機器學習理論基礎的，與國內外其他科研團隊合作與交流，以建成國內乃至國際上有一定影響力的以反問題正則化理論和應用為特色的科研團隊為目標，團隊正不斷走向壯大。

而計算數學與控制聯合研究中心雖在創立和運行過程中遇到了一些困難，但在各方大力支持和努力下，聯合研究中心已經開始進入常規運行，未來將對人工智能、信息安全技術、復雜的數學建模，以及超級計算中心等相關領域的前沿問題開展深入研究。

張曄相信，依托莫斯科國立大學計算數學和控制系、北京理工大學和深圳北理莫斯科大學相關院系合作三方的優勢資源，在世界眾多頂尖數學家的共同努力下，聯合研究中心必會在數學研究上結出累累碩果，在著力培養數學領域的高水平人才上，為世界作出卓越貢獻。