九連環中的數學原理

捌元

今天，寧寧放學回到家時，發現客廳的茶幾上放著一個奇怪的玩具。為什么說是奇怪的玩具呢？因為這個玩具由九個相互連接的圓環組成，套裝在一個中空的長形柄中。圓環與圓環之間，圓環與環柄之間彼此相套，交錯相連。

正當寧寧拿著這個奇怪的玩具翻來覆去地把玩時，門口傳來了爺爺中氣十足的吟詩的聲音：“兩環互相貫為一，得其關捩解之為二，又合而為一。今有此器，謂之九連環。”寧寧一看見爺爺，就連忙湊上前去問道：“爺爺，您怎么來了？這玩具是您帶來的？”爺爺笑呵呵地拿過寧寧手中的玩具，一邊把玩一邊說：“這可不是普通的小玩具，它是中國杰出的益智玩具——九連環。”

你會玩九連環嗎？

“九連環？那這個玩具應該怎么玩呢？”寧寧撓撓頭，疑惑地問道。

“很簡單，只要把九個圓環從這個長柄上解下來就可以了。”爺爺邊說邊給寧寧演示九連環的拆解方法，“第一個環，在任何情況都能夠自由上下。如果某一個環在上面的環柄上，而它前面所有的環都在下面的環桿上，那么這個環的后一個就可以放到上面，也可以放到下面。也就是說，如果我們想把第九個環卸下，那么就要把第八個環留在上面的環柄上，而把前面七個環放到下面，進而把拆解‘九連環轉變為拆解‘七連環。”

爺爺繼續慢條斯理地總結道：“因此，要想裝上或者拆下第n個環（第一個環除外），必須滿足兩個條件，一是第（n-1）個環在環柄上，二是第（n-1）個環前面的所有環全部不在環柄上。”

爺爺的話和一連串的展示動作讓寧寧的思緒和眼睛都亂了，寧寧連忙打斷了爺爺：“爺爺，這個九連環的拆解太復雜了。”爺爺摸了摸寧寧的頭，笑著說：“其實并不難，你只要記住口訣就行。上倆下一個，再動后一個;上一個下倆，再動后一個。”

聽了爺爺的話，寧寧思考了一會兒，說道：“我好像明白了。”說罷，寧寧便拿過九連環，坐在沙發上認真地拆解起來。

可沒一會兒，寧寧就拿著拆解了一半的九連環過來向爺爺訴苦：“爺爺，九連環的拆解好麻煩啊。我要是想完全拆解下來，需要多少步啊？”爺爺摸著臉上的胡子，故作神秘地說：“其實這個九連環的拆解步數涉及到一個數學原理，把這個數學原理弄懂了，你就能算出解開九連環所需的步數。”

聽了爺爺的話，寧寧頓時來了興趣，忙問：“爺爺，是什么樣的數學原理？”

來，一起揭曉原理

爺爺拿來紙和筆，對寧寧說：“你先在紙上畫一個表格，然后我們一起將解開每個環所需的步數記錄下來。”

接下來，爺爺就帶著寧寧開啟了九連環的探索之旅。

爺爺說：“首先，我們假設環的數量為n，解開n連環所需的總步數是Sn，解下第n個環的步數為an。當環柄上只有一個環時，Sn=an=1。”

寧寧一邊在表格填上數字，一邊思考：“環柄上有兩個環的時候，可以直接將第二個環卸下，再卸第一個環。因此，當n=2時，an=1，Sn=2。”爺爺向寧寧豎起了大拇指，稱贊道：“不錯，接下來你可以自己探索了。”

寧寧一邊動手拆解九連環，一邊嘟囔著：“有三個環的時候，如果要卸下第三個環，就需要先卸下第一個環，再把第三個環直接卸下。然后為了解下第二個環，需要把第一個環套上，再同時解下兩個環。因此，當n=3時，an=2，Sn=5。”

“不錯不錯。以此類推，我們可以知道要卸下第n個環，就需要先卸下前（n-2）個環，其總步數就為Sn-2。這時，我們再需要一步就可以把第n個環解下，所以卸下第n個環需要an=Sn-2+1步，而為了解下第（n-1）個環，還需要把前面的（n-2）個環套上，套上前（n-2）個環就需要Sn-2步（因為裝上和卸下的步驟正好相反，所以步數相同）。最后卸下前面（n-1）個環需要Sn-1步，所以卸下n個環共需要Sn=2Sn-2+ Sn-1+1步。因此，解開九連環所需要的步數就是一道數列題——已知S1=1，S2=2，an=Sn-2+1，Sn=2Sn-2+ Sn-1+1，求Sn（n≥3）。”爺爺接著寧寧的話分析道。

通過計算，寧寧求出拆解一個九連環需要341步。“這么看來，拆解九連環并不難。只是在拆解的過程中，需要不斷地將環套上套下，玩家就得傾注耐心，記住步驟。”寧寧感嘆道。

爺爺忙不迭地補充道： “這就是拆解九連環的關鍵。九連環雖然拆解步驟簡單，但是它出現后卻可以在民間廣為流傳，盛行不衰，這其中，數學的魅力功不可沒呀。”