基于耦合振動的高速磁浮軌道梁橫向剛度研究

王淼 宋振森 滕念管

1.上海交通大學船舶海洋與建筑工程學院，上海200240；2.上海市公共建筑和基礎設施數字化運維重點實驗室，上海200240

開發時速600以上的高速磁浮軌道交通系統可為中長距離旅客運輸提供安全、舒適、高速的交通方式。該系統中土建部分占總造價的60%～80%［1-2］。由于線路設計中多采用以橋代路的方案，磁浮列車與軌道梁在軌道不平順及風荷載作用下會產生橫向耦合振動，若軌道梁結構設計不合理則可能產生較大的振動或共振，導致功能件損傷、混凝土開裂，危及系統安全性。因此，有必要建立車橋橫向耦合振動模型，研究軌道梁截面參數對系統橫向動力性能的影響。

高速磁浮列車采用自動控制器對磁浮力進行反饋控制，將懸浮、導向磁浮間隙控制在（10±2）mm內，進而實現列車的懸浮與導向。文獻［3］建立了考慮控制系統的車-連續梁豎向耦合振動模型，指出軌道梁加速度是結構的主要控制因素之一。文獻［4］通過豎向耦合振動數值模擬，指出軌道梁撓度比對磁浮間隙有決定性影響。文獻［5］基于模型修正法進行了豎向耦合振動分析，研究表明軌道不平順對系統加速度響應有重要影響。文獻［6］在Simpack上建立了車輛的橫向振動模型，重點關注了車輛動力特性，表明高速磁浮橫向、豎向振動是弱耦合的。目前，關于磁浮振動的研究主要側重于豎向耦合振動，而對系統的橫向耦合振動則關注較少。

TB 10630—2019《磁浮鐵路技術標準（試行）》規定當軌道梁的豎向一階自振頻率大于1.1倍車速與跨度之比時，可不進行車橋耦合動力響應分析，但未對軌道梁的橫向動力性能做出要求。因此，若提高設計時速，須相應增加軌道梁的一階豎向自振頻率。當軌道梁長度一定時，自振頻率與剛度正相關、與單位長度質量負相關［7］。針對與時速600磁浮配套的軌道梁結構，較為經濟的設計思路是基于上海磁浮軌道梁截面形式，保持截面面積一定，通過對截面進行優化設計進而提高豎向自振頻率，即“面積不變、增加高度”的優化方式，但這種方式會導致軌道梁的橫向剛度降低，對系統橫向動力學性能產生不利影響。因此，本文針對這一問題，通過耦合振動分析，探究橫向剛度降低后系統的動力響應規律，明確軌道梁橫向剛度對高速磁浮橫向動力學性能的影響。

1 車橋耦合振動模型

1.1 模型概述

高速磁浮列車具有橫向、豎向振動弱耦合的特點［6］，其走行部設有防側滾穩定裝置，與空氣彈簧提供的抗側滾剛度共同作用來防止車體過大的側滾運動［8］。在列車走行部中，分別設有獨立的懸浮和導向電磁鐵提供車輛的懸浮、導向力。在二系懸掛中，由擺桿提供橫向剛度，由空氣彈簧提供豎向剛度。

磁浮列車-軌道梁耦合系統的激振因素主要有軌道不平順、側向風荷載、列車偏載等。本文主要分析軌道梁橫向剛度參數的影響，因此以橫向軌道不平順和風致橫向荷載為激振源進行研究。

將車體、懸浮架和導向電磁鐵視為剛體，并考慮水平方向的橫移、擺頭運動。5節編組的列車共有246個自由度，按qV1～qV246編號。為便于區分，奇數為橫移自由度，偶數為擺頭自由度。采用彈簧阻尼器模擬擺桿及橡膠彈簧的橫向回復力；基于比例-微分（Proportion Differentiation，PD）控制算法模擬電磁力，橫向磁浮間隙控制在10 mm，并將振動幅值控制在2 mm以下。橫向耦合振動計算簡圖見圖1。

圖1 橫向耦合振動計算簡圖

軌道梁（圖2）在移動的水平、豎向電磁力作用下產生振動，磁浮列車則在二者的作用下實現穩定的導向與懸浮。在列車運行中，軌道不平順對磁浮間隙造成擾動，為了穩定磁浮間隙，電磁鐵與軌道間的控制器產生了電磁力，并作用于列車與軌道梁，使二者產生振動，加劇了磁浮間隙波動，因此磁浮列車與軌道梁是一個耦合系統。豎向磁浮力提供列車的懸浮力，與列車自重平衡；水平橫向電磁力提供導向力，僅在磁浮間隙受到擾動時產生。軌道梁采用閉口截面形式，且支座提供較大的抗扭剛度，因此軌道梁扭轉振動幅值較小，軌道梁具有橫向、豎向振動弱耦合的性質。為充分反映橫向不平順的隨機性，綜合考慮模型準確性與計算效率，建立了5列編組列車與40跨簡支軌道梁的橫向耦合振動模型進行數值研究。

圖2 軌道梁

1.2 耦合振動方程組

基于多剛體動力學，磁浮車輛的振動微分方程組可表示為矩陣形式，即

式中：MV為梁質量矩陣；qV為廣義自由度列向量，是求解對象；CV為阻尼矩陣；KV為剛度矩陣；FV為廣義力列向量，是磁浮力fmi的函數。

將軌道梁視為Euler-Bernoulli梁，基于模態疊加法考慮軌道梁前6階模態，其振動微分方程為

式中：k為軌道梁編號，取1～40；j為模態編號，取1～6；Mj為廣義質量；Cj為廣義阻尼；Kj為廣義剛度；Tk為廣義自由度，是求解對象；Fk(t)為廣義力。

Fk(t)的表達式為

式中：fmi為第i個磁浮力，在每個電磁鐵的三等分處布置1個集中荷載，共布置156個集中荷載模擬均布電磁力；v為車速；t為時間；tki為第i個磁浮力開始進入第k跨梁的時間；L為軌道梁跨度；H（·）為單位階躍函數。

假設控制器的時滯滿足穩定性要求，則PD控制算法的電磁力表達式為

式中：kp、kd分別為比例系數和微分系數；ei(t)為第i個磁浮力所在位置的磁浮間隙。

ei(t)為電磁鐵位移[qj(t)+li qk(t)]、軌道梁位移di(t)和軌道不平順yri(t)的代數和，即

式中：li為第i個電磁力對其所在電磁鐵質心的力臂；qj(t)、qk(t)分別為該電磁鐵的平移、擺頭自由度。

軌道梁位移di(t)可表示為

由于高速磁浮開通里程較少，未見相關的幾何不平順譜文獻，故參考我國高速鐵路不平順譜中的軌距不平順和方向不平順譜，采用三角級數法［10］進行時域反演，得到橫向軌道不平順，見圖3。

圖3 橫向軌道不平順

將（4）式分別代入式（1）和式（2）消去fmi，則式（1）、式（2）、式（5）構成基于PD控制算法的列車-柔性軌道梁微分-代數方程組，指標為1，其中式（5）為代數方程。引入狀態變量后可寫為如下形式

式中：z(t)為狀態變量；zi(t)為向量元素。

本文采用軟件Mathematica內置的隱式-微分代數求解器（Implicit Differential-Algebraic Solver，IDA）［10］進行數值求解，得到系統的耦合振動響應。

2 軌道梁橫向剛度參數分析

車速與跨度之比（v/L）廣義上視為列車通過頻率，參考上海磁浮軌道梁截面形式，采用“面積不變，增加高度”的優化思路時，跨度L、截面面積A及密度ρ均為常數，速度提高至600 km/h時，令列車通過頻率等于軌道梁固有頻率，則

式中：Es為軌道梁的特征彈性模量；Is為繞豎軸的特征轉動慣量。

令ρA=5 500 kg/m，L=25 m，根據式（8）可得特征剛度EsIs=4.0×1010N·m2。引入剛度比λ，則有

式中：El為軌道梁彈性模量；Il為繞豎軸轉動慣量。

軌道梁計算參數見表1。

表1 軌道梁計算參數

列車在水平橫向主要受軌道不平順、側向風荷載等激勵產生振動。其中，軌道不平順是由于施工誤差、路基沉降、溫度變形等原因造成，在磁浮列車運行中軌道不平順會持續對磁浮間隙造成擾動。風荷載為作用于車輛上的偶然荷載，當風力等級較高時會對系統產生不可忽視的擾動。因此，根據實際工程情況建立耦合振動仿真模型，分析兩種工況下軌道梁橫向剛度參數對磁浮系統橫向振動響應的影響：工況1，單獨軌道不平順作用；工況2，風速為20 m/s風致橫向荷載及不平順共同作用。

2.1 工況1

選取具有較大振動響應的第10跨梁進行分析，其在不同剛度條件下的跨中位移時程曲線見圖4。可知，軌道梁在列車上橋后受磁浮力激勵開始振動，并在下橋后振動逐漸衰減。隨著λ減小，振動幅值增加，頻率降低，振動衰減時間增加。

圖4 工況1第10跨梁位移時程曲線

工況1最大磁浮間隙與剛度比的關系見圖5。可知，將曲線從右至左劃分為3個階段：當λ＞0.42時，磁浮間隙對剛度比變化基本不敏感，車體前后端部的磁浮間隙略大于中部磁浮間隙，差值約為0.5 mm；當0.10＜λ＜0.42時，頭車和尾車中部、尾車端部磁浮間隙隨剛度比降低略有增加，列車各位置的磁浮間隙保持在1.7～1.8 mm；當λ＜0.1時，軌道梁剛度過小，列車經過對軌道梁產生了較大的擾動，導致尾部磁浮間隙急劇增加。

圖5 工況1最大磁浮間隙與剛度比的關系

工況1軌道梁最大橫向位移與剛度比的關系見圖6。可知，由于不平順的隨機橫向性，各跨梁的最大位移幅值具有離散性，整體上最大橫向位移與剛度比成明顯的負相關關系。當λ＞0.42時，最大位移小于0.1 mm，且不隨剛度比產生明顯變化，軌道梁具有優良的動力學性能；當λ＜0.42時，剛度越小，最大橫向位移越有呈指數形式增加的趨勢。

圖6 工況1軌道梁最大位移與剛度比的關系

工況1軌道梁最大加速度與剛度比的關系見圖7。可知：當λ＞0.33時，隨著剛度比的減小，軌道梁頻率降低，跨中最大加速度整體略有降低；當λ＜0.33時，隨著剛度比的減小，跨中最大加速度整體呈增加趨勢，但均小于0.15 m/s2。

圖7 工況1軌道梁最大加速度與剛度比的關系

軌道梁應具有足夠的剛度，保證磁浮間隙、跨中位移、跨中加速度處于合理區間，確保系統的整體安全性。因此，剛度比以0.42為系統安全性分界點，即ElIl＞0.42EsIs時，磁浮間隙、軌道梁振動均對剛度變化不敏感。

2.2 工況2

工況2第10跨梁橫向位移時程曲線見圖8。可知，工況2中軌道梁跨中振動響應幅值比工況1顯著增加。對比圖4發現，λ=0.04時，跨中最大位移由0.35 mm上升至3.30 mm，表明軌道梁跨中振動響應對剛度比的敏感性顯著加強，風致橫向荷載明顯放大了橫向剛度降低所造成的不利影響，成為磁浮系統在水平橫向的主要激振因素。

圖8 工況2第10跨梁橫向位移時程曲線

工況2最大磁浮間隙與剛度比的關系見圖9。可知，λ＞0.42時，隨剛度比變化，各磁浮間隙近似保持為平行直線，表明在此區間內，磁浮間隙對剛度比不敏感；λ＜0.42時，隨著剛度比的減小，各磁浮間隙產生了較大的波動，λ＜0.25時迅速增加，在λ=0.008時達到20 mm。在實際工程中磁浮間隙為10 mm時電磁鐵與導向面已接觸，系統喪失穩定性。由于風致橫向荷載的作用，磁浮間隙最大值比工況1顯著提高，且車輛端部的電磁鐵超過了2 mm，但中部電磁鐵在剛度比大于0.5時仍處于容許范圍。原因是橫向荷載作用下，由于軌道梁振動增加，耦合振動會導致列車做擺頭運動，因而每節車前后端部的磁浮間隙波動幅值大于車體中部的磁浮間隙，且尾車尾部磁浮間隙波動幅值最大。

圖9 工況2最大磁浮間隙與剛度比的關系

工況2軌道梁最大橫向位移與剛度比的關系見圖10。對比圖6可知，工況2中各跨梁的振動響應離散程度降低，跨中最大橫向位移與剛度比成強負相關關系，剛度比降低時跨中最大位移呈指數形式增加。當λ＞0.42時跨中最大橫向位移均小于0.35 mm，其動力學性能滿足要求。

圖10 工況2軌道梁最大橫向位移與剛度比的關系

工況2軌道梁最大加速度與剛度比的關系見圖11。對比圖7可知，各跨梁最大加速度幅值的離散性顯著降低，隨剛度變化的規律更為明顯。0.33＜λ＜0.84時，跨中加速度在0.04～0.16 m/s2波動，并在λ=0.50時取得極大值；λ＜0.33時，隨著剛度降低，加速度幅值波動上升。

圖11 工況2軌道梁最大加速度與剛度比的關系

綜上所述，λ＞0.42時，2種工況下磁浮間隙、跨中位移、跨中加速度對剛度比不敏感，表明軌道梁橫向剛度在此區間內橫向動力學性能滿足要求。

3 結論

1）剛度比大于0.42時，軌道梁、磁浮間隙的動力響應對剛度變化不敏感，系統橫向動力學性能滿足要求。

2）風致橫向荷載會明顯增大軌道梁的振動，并導致車體產生擺頭運動，使端部磁浮間隙波動幅值增加，且列車尾部為導向電磁鐵的最不利位置。

3）相較于軌道不平順，風致橫向荷載作用對系統橫向振動的影響更為顯著，應作為控制因素考慮。