基于伴隨仿真的偏振復用超構透鏡

劉永健，張 飛，謝 婷，蒲明博，趙澤宇，李 雄，馬曉亮,，沈同圣，羅先剛*

（1.中國科學院光電技術研究所微細加工光學技術國家重點實驗室，四川成都 610209；2.中國科學院大學光電學院，北京 100049；3. 中國人民解放軍軍事科學院 國防科技創新研究院，北京 100071）

1 引 言

偏振成像技術是成像技術與偏振分析技術的結合，廣泛應用于生物醫學檢測[1]、水下目標探測[2-3]和大氣污染檢測[4]等重要領域。偏振成像系統利用各種偏振調控單元，可以將入射光的各部分偏振分量進行分離，然后利用探測器進行信息的收集，獲得各偏振分量的光強信息，進而解析出入射光中的各部分偏振態信息。基于傳統光學元件的偏振成像系統面臨結構復雜、體積重量大等固有問題，不利于光學系統朝著微型化、輕量化、集成化方向發展。

超構表面是一種由亞波長結構構成的低維電磁調控器件[5-7]，其電磁特性通常由亞波長結構的幾何形狀與排列方式決定。其中，每個單元結構都可以看作是一個調控單元，通過對單元結構的精細設計，超構表面能夠在平面上靈活地操控光波的相位、振幅、偏振等參數，為實現光學器件和系統的平面化、集成化提供了新的技術途徑[8-11]。由于其優異的光學性能和強大的電磁調控能力，超構表面在光刻[12-13]、光學成像[14-16]、電磁偽裝[17-18]等領域均展現出巨大的應用潛力。近年來，懸鏈線光學發展迅速，已成為亞波長光學和亞波長電磁學的新研究方向[19-21]，或將成為工程光學2.0的重要部分[22]。通過對介質懸鏈線結構中傳輸相位和幾何相位的協同調控，能夠實現近完美的超廣角連續波前調控，由此實現了具有178°視場和衍射極限像質的平面單片式超構鏡頭[23]。

通過傳輸相位和幾何相位的復合調控，單個超構表面器件可實現對任意正交偏振態相位和振幅的任意獨立調控[11,24-26]，因此有能力突破傳統偏振成像系統級聯多個透鏡和偏振片的設計范式[11]。偏振復用超構表面已在光學全息顯示[27-28]、渦旋光束生成[29-30]、偏振成像[31]以及其它功能器件[32]方面展現出較大的應用潛力。然而，目前超構表面的優化設計主要采用參數掃描、人工擇優的傳統設計范式，即首先根據周期性邊界條件得到單元結構的電磁響應，然后再按照一定規律排列單元結構，最終完成超構表面器件的設計。這種設計方法面臨耗時長、性能難以最優化等問題。以超構透鏡為例，當其數值孔徑（Numerical Aperture, NA）較小時，由于相位梯度較小，其結構尺寸變化較為緩慢，因此可以近似為周期性邊界條件。然而，當其NA 較大時，較大的相位梯度會使得臨近的單元結構尺寸具有明顯差異，因此不能再近似為周期性邊界條件，導致器件性能與預期值存在較大差異[33]。為了提高成像分辨力，往往需要大NA 超構透鏡，上述問題亟需解決。

為了實現高效率超構表面，研究人員提出了多種優化方法對超構表面器件內部的結構尺寸進行修正，比如遺傳算法[34]、粒子群優化算法[35-36]等。然而這些算法單次迭代通常需要成百上千的種群數，存在計算量巨大、優化設計效率低等問題。伴隨優化是一種基于梯度上升的優化方法，僅需要一次正向仿真和一次伴隨仿真就能獲得評價函數相對于整個參數優化空間的梯度信息，因此其計算量與參數維度無關。伴隨優化可細分為拓撲優化和邊界優化[37]。通過拓撲優化得到的器件結構具有連續性、設計靈活性高等特點，已用于設計高效率偏折器件[38]。拓撲優化的變量通常是針對介電常數分布，其初始解需要具有連續性，然后經過數百次迭代將連續介電常數分布逐步演化為具有實際意義的二值化分布，無規則的連續結構對修正加工誤差提出了更高的要求。相反，邊界優化直接優化器件結構邊界（例如單元結構的長和寬），因此可以在已有二值化初始結構的基礎上通過少量迭代進一步提升效率，且規則化的結構更易于修正工藝誤差。目前，邊界優化方法已用于優化設計偏振無關超構透鏡[39-40]，為實現偏振成像超構透鏡的優化設計提供了思路。

本文提出一種基于邊界優化的大NA、高效率偏振成像超構透鏡的優化設計方法，并由此針對正交線偏振光設計了雙焦點超構透鏡，即分別將x和y偏振光聚焦到同一焦平面的不同位置，因此便可實現偏振成像[31]。

2 邊界優化方法原理及結構設計

2.1 邊界優化方法原理

為了實現超構透鏡聚焦效率的最大化，可以將焦斑電場強度最大化作為優化目標，將單元結構寬度作為優化參數。邊界優化評價函數F可以定義為：

圖1(a)和1(b)分別展示了正向仿真和伴隨仿真示意圖。在正向仿真過程中，將平面波作為入射源，并從基底入射；在伴隨仿真過程中，將?F/?E=E*作為入射源，并從結構上方入射。其中，伴隨仿真的入射源可以直觀地理解為將期望輸出場的共軛場進行反向傳輸。由于期望的輸出場是完美的匯聚球面波，因此伴隨仿真的入射場則是從焦點處發散的球面波[39]。

圖1 邊界優化原理及流程示意圖。(a)正向仿真；（b）伴隨仿真；(c)優化算法流程圖Fig.1 Schematic diagram of boundary optimization principle and process.(a)Forward simulation.(b)Adjoint simulation.(c)Flow chart of the optimization algorithm

圖1(c)為伴隨優化步驟的流程圖。為實現對x偏振光和y偏振光的獨立調控，需對兩種偏振光分別進行正向仿真和伴隨仿真，從而得到x偏振光和y偏振光分別對應的梯度信息。由于x偏振光對應的傳輸相位延遲對亞波長結構沿x方向的寬度更敏感，而y偏振光對應的傳輸相位延遲則對y方向的寬度更敏感，因此為了提高收斂速度，總變化梯度G可以設定為：

式中，Gx和Gy分別表示x偏振光和y偏振光入射的變化梯度，?x和?y分別為兩種偏振光對應的效率。通過公式(3)得到的梯度，可以使得每次更新迭代的梯度更傾向于效率較低者，從而保證器件對于x偏振光和y偏振光的性能基本一致。然后，利用計算得到的總梯度對納米柱寬度進行更新，繼續進行迭代計算，直到評價函數滿足優化目標或者迭代次數達到設定值。另外，為了防止單次迭代形變過大，需要限定每次迭代形變量的平均值和最大值。

2.2 偏振成像超構透鏡聚焦原理及結構設計

對于成像系統而言，聚焦透鏡是其核心部件。入射光經過超構透鏡調制后，會以匯聚球面波的形式出射。為了利用單個超構表面器件實現正交線偏振光的同時成像，需要利用亞波長結構對x和y偏振光產生不同的相位延遲，使x和y偏振光分別聚焦到同一焦平面的不同位置。超構透鏡上每一點所需要的調制相位φ與該點所在坐標位置有如下關系：

其中，λ=1550 nm 為入 射波 長，f表 示焦 距，(x,y)表示位置坐標，(x0,y0)表示焦點在焦平面上的位置坐標。通過對x和y偏振光設置不同的(x0,y0)，就可以將光斑聚焦到不同位置。

所設計的超構表面單元結構如圖2(a)所示，其基底材料為氧化鋁(Al2O3)，納米柱材料為晶硅(Si)。單元結構周期p為500 nm，納米柱高度h為1400 nm，L和W分別為納米柱沿x和y方向的寬度。本文利用八階傳輸相位實現了對x偏振光和y偏振光的獨立調控，即需要通過參數掃描、人工擇優遴選同時滿足對x偏振光和y偏振光均能實現0到2π 相位覆蓋的64個單元結構，如圖2(b)所示。仿真結果表明，優化的64個單元結構可較好地滿足0到2π 相位覆蓋要求，其中平均透射振幅為0.9356。然后，基于64個單元結構的傳輸相位和公式(4)便可得到超構透鏡的初始結構。

圖2 (a)單元結構示意圖；(b)64 個單元結構的傳輸相位響應Fig.2 (a)Schematic diagram of a unit cell;(b) propagation phase responsesof 64 unit cells

3 基于人工擇優初始結構的優化設計

通過上述方法，設計了一個焦距為5μm、口徑為30μm 的柱面超構透鏡。其中，x和y偏振光對應的焦點坐標分別為(5μm,0 μm)和(?5μm,0μm)，等效NA 約為0.94。由于焦點不在超構透鏡中心軸上，因此等效NA 定義如下：

式中，n為超構透鏡與焦點之間介質的折射率，r0為焦點到超構透鏡中心軸的距離，R為超構透鏡半徑，f為焦距。

本文利用時域有限差分（FDTD）計算超構透鏡的電場分布和效率。圖3(a)～3(b)展示了優化前后超構透鏡沿x方向的60個納米柱的長度和寬度變化情況。其中L0和W0分別表示初始結構沿x方向和y方向的寬度，L1和W1則表示優化后的寬度。為了更加直觀地展示優化前后結構變化情況，圖3(c)給出了局部幾個納米柱的變化情況，其中紅色和深綠色分別代表優化前后的結構，而淺綠色為兩組結構重疊的部分。可以看到，優化后的結構參數與優化前明顯不同，并且優化的邊長不是對稱變化的。這是由于為了給超構表面單元結構設計提供更高的自由度，所以對納米柱的4條邊長給予獨立的形變。通過這樣的調控方式，還可以使納米柱中心發生平移，因此能夠實現更高的效率。

圖3 優化前后納米柱沿(a) x 方向和(b) y 方向的寬度變化；(c)部分納米柱優化前后對比圖Fig.3 Width changes of nanofins along the(a) x-direction and (b) y-direction before and after optimization.(c)Comparison of part of nanofins before and after optimization

圖4展示了兩種偏振態的入射光在xz平面的光強分布圖，其中圖4(a)和4(b)分別為優化前x和y偏振光入射下的光強分布，圖4(c)和4(d)分別為優化后x和y偏振光入射下的光強分布，圖4(e)和4(f)分別為優化前x和y偏振光入射下焦點處的歸一化強度圖，圖4(g)和4(h)分別為優化后x和y偏振光入射下焦點處歸一化強度圖。從這些結果中可以看到，優化后的焦斑旁瓣明顯被抑制，電場強度最大值也得到顯著提高。為了更好地對優化前后的效果進行對比，給出了優化前后的相位分布圖，如圖5所示。可以看出，由于周期性邊界條件的破壞使得優化前的相位分布比較雜亂，優化后兩種偏振光入射下的相位分布均變得更加平滑和均勻，波前畸變得到了很好的校正。

圖4 優化前(a) x 偏振光和(b) y 偏振光入射下的xz 平面光強分布；優化后(c)x 偏振光和(d) y 偏振光入射下的xz 平面光強分布；(e)～(h)沿著(a)～(d)中虛線繪制的歸一化強度分布Fig.4 Intensity distributions in the xz plane before optimization under the illumination of (a) x-polarized light and (b) y-polarized light.Intensity distributions in the xz plane after optimization under the illumination of(c) x-polarized light and(d) y-polarized light.(e)～(h) Normalized intensity profiles along the dashed linesare shown in (a)～(d)

圖5 x 偏振光入射時，(a)優化前和(b)優化后的相位分布；y 偏振光入射時，(c)優化前和(d)優化后的相位分布Fig.5 The phase distributions(a)before and(b)after optimization for the incident of x-polarized light.The phase distributions(c) beforeand (d)after optimization for the incident of y-polarized light

在仿真中設置迭代次數為100次，隨著迭代次數的增加，絕對效率與衍射效率都有了明顯提高，如圖6(a)和6(b)所示。x偏振光對應的絕對效率由～51.66%增加到了～68.69%，相比于優化前提高了～32.97%；y偏振光對應的絕對效率由～48.22%增加到～64.65%，相比于優化前提高了～34.07%。x偏振光對應的衍射效率由～67.76%增加到～80.36%，相比于優化前提高了～18.60%；y偏振光對應的衍射效率由～72.95%增加到～88.25%，相比于優化前提高了～20.97%。其中，絕對效率（衍射效率）定義為3倍半高全寬范圍內的能量與入射總能量（焦平面總能量）之比，然后歸一化理想相位分布對應的理論值。所提高的百分比定義為優化前后的效率之差與優化前的效率之比。

圖6 優化過程中超構透鏡的(a)絕對效率和(b)衍射效率Fig.6 (a)Absolute efficiency and (b)diffraction efficiency of the optimized metalens during optimization

4 基于均勻陣列初始結構的優化設計

上述超構表面器件的設計需要人工優化單元結構，然后再用邊界優化方法對結構進行優化，但優化單元結構（尤其是用于偏振復用的單元結構）非常耗時，且需要大量的經驗。事實上，利用邊界優化方法對均勻陣列的初始結構進行優化也可以使超構表面器件達到較高的衍射效率。對此本文也進行了仿真驗證，使用均勻正方形納米柱作為初始結構進行了5組仿真驗證，其寬度分別為210、240、270、300 和330 nm。通過多次迭代，都達到了很好的效果，其絕對效率與衍射效率如圖7所示。其中圖7(a)和7(b)分別為x和y偏振光入射時的絕對效率，圖7(c)和7(d)分別為x和y偏振光入射時的衍射效率。在迭代次數為20～40次時，兩種偏振光對應的絕對效率與衍射效率基本收斂。并且可以看到，兩種偏振光對應的衍射效率為85% 左右，絕對效率為73%左右。與先尋找單元結構的設計方法相比，該設計過程省去了人工優化單元結構的繁瑣步驟，并且可以獲得更好的效果。這是因為在基于人工擇優初始結構的優化設計中，需要先給出一組滿足特定條件的初始結構（通常通過參數掃描、人工擇優得到），導致它停留在一個有限的局部設計參數空間，從而限制了邊界優化對提高效率的實質性作用[41]。而基于均勻陣列初始結構的優化設計可能會減少這種情況的影響，從而獲得更好的優化效果。

圖7 (a) x 偏振光和(b) y 偏振光入射下，不同初始結構的超構透鏡的絕對效率；(c) x 偏振光和(d) y 偏振光入射下，不同初始結構的超構透鏡的衍射效率Fig.7 Absolute efficiency of five metalenses with different initial structures during optimization under illumination of (a) xpolarized light and (b) y-polarized light.Diffraction efficiency of five metalenses with different initial structures during optimization under illumination of (c) x-polarized light and (d) y-polarized light

為了更好地說明基于均勻陣列初始結構優化設計的優越性，進一步使用該方法設計了一個二維聚焦超構透鏡。考慮到計算量的問題，超構透鏡尺寸設計為20μm×20μm，焦距為5μm。x和y偏振光對應的焦點坐標分別為(2.5μm,0μm)和(?2.5μm,0μm)，等效NA 約為0.89。隨后，將邊長為270 nm 正方形納米柱陣列作為超構透鏡初始結構，迭代次數仍設為100次。仿真結果如圖8所示，其中，圖8(a)和8(b)分別為絕對效率和衍射效率，圖8(c)和8(d)分別為x和y偏振光入射下焦平面上的光強分布。從仿真結果可以看出，迭代20次左右之后基本收斂，最終超構透鏡的衍射效率為92%左右，絕對效率為82%左右。

圖8 優化過程中超構透鏡的(a)絕對效率和(b)衍射效率；(c) x 偏振光和(d) y 偏振光入射下焦平面光強分布Fig.8 (a)Absolute efficiency and(b)diffraction efficiency of the optimized metalens during optimization.Intensity distributionsin the focal plane under illumination of (c) x-polarized light and (d) y-polarized light

5 結 論

本文提出了一種基于伴隨仿真和邊界優化的多功能超構透鏡的設計方法，并由此設計了可以實現x和y正交偏振光獨立調控的大數值孔徑、高效率的偏振成像超構透鏡。該透鏡可以將x和y偏振光分別聚焦到不同位置，其等效數值孔徑約為0.94。在基于人工擇優初始結構優化設計中，x和y偏振光的衍射效率分別為80.36%和88.25%左右，相比于優化前提高了20%左右。基于均勻陣列初始結構優化設計的二維聚焦超構透鏡的等效數值孔徑約為0.89，x和y偏振光對應的衍射效率為92%左右。綜上所述，本文設計的大數值孔徑、高效率超構表面器件在偏振成像、光通信等領域具有較大的應用潛力，同時為設計多波長、多功能集成以及其它復雜條件下的高效率超構表面器件提供了新的思路。