土石壩滲壓水位極值預(yù)測

何 露，王士軍, ，谷艷昌, ，龐 瓊, ，吳云星,

(1.南京水利科學(xué)研究院，江蘇 南京 210029；2.水利部大壩安全管理中心，江蘇 南京 210029)

我國現(xiàn)有水庫大壩98 002 座，其中90%以上為土石壩。據(jù)《全國水庫垮壩登記冊》資料顯示，自1954 年以來，我國土石壩潰決數(shù)量占所有壩型潰壩數(shù)量的98%以上。土石壩潰壩原因包括漫頂、滲透破壞、基礎(chǔ)抗剪強(qiáng)度不足等。其中，滲流破壞導(dǎo)致的事故占37.1%。壩體滲壓水位是評價土石壩滲流特性的重要物理量[1-5]，土石壩壩體滲壓水位極值預(yù)測，是監(jiān)控與判斷土石壩滲流安全的主要途徑之一。

國內(nèi)外對土石壩滲壓水位極值的預(yù)測開展了一系列研究，為早期識別大壩隱患，基于實(shí)測資料分析的預(yù)測方法準(zhǔn)確度不斷提高。目前用于該極值預(yù)測的方法主要有線性回歸法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和其他機(jī)器學(xué)習(xí)算法等[6]。此類方法共同的特點(diǎn)是，使用時需給出正確的自變量。當(dāng)滲流水位極值與上游水位相關(guān)性不明確時，此類方法的預(yù)測精度將難以保證。混沌理論的特點(diǎn)是可對時間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，本文引入混沌理論用于建立無自變量的預(yù)測模型，開展基于混沌理論和隨機(jī)過程的土石壩滲壓水位極值無自變量預(yù)測模型研究，為自變量不明確的測值序列提供預(yù)測方法。

1 土石壩滲壓水位的混沌性與隨機(jī)性

土石壩滲壓水位的變化具有以下特點(diǎn)：（1）土顆粒孔隙水壓力的消散或積聚都是漸進(jìn)的過程，壩內(nèi)滲壓水位的變化相較上、下游水位都有一定的滯后性；（2）筑壩土石料或地質(zhì)條件的非均一性及滲流機(jī)理的復(fù)雜性，滲壓水位與上、下游水位間關(guān)系為非線性；（3）壩體材料、上游泥沙淤積情況和邊界條件都有變異性，滲流場系統(tǒng)持續(xù)變化，可能具有混沌性。混沌性是指土石壩滲流系統(tǒng)具有內(nèi)在隨機(jī)性，原因是系統(tǒng)中各影響要素的相互作用，各要素間并不完全相互獨(dú)立。上、下游水位，泥沙淤積情況，筑壩材料，地質(zhì)情況可能導(dǎo)致不同的滲壓水位變化趨勢。混沌性對初始條件具有敏感依賴性，影響因素的細(xì)微變化，會導(dǎo)致系統(tǒng)結(jié)果以指數(shù)倍變化，這樣的變化方式是貌似無序性，實(shí)則有序性的體現(xiàn)。

基于實(shí)測資料，對土石壩滲壓水位極值進(jìn)行預(yù)測，首先要對水位序列的特征進(jìn)行判斷。當(dāng)要使用混沌理論對水位序列進(jìn)行預(yù)測時，需對序列的混沌特性進(jìn)行鑒別。當(dāng)要使用隨機(jī)過程評估預(yù)測模型誤差時，也需對誤差序列的隨機(jī)特性進(jìn)行檢驗(yàn)。

1.1 混沌性

如上文所述，混沌性是無序與有序相交融[6-7]，其無序性在于系統(tǒng)局部不穩(wěn)定性。不穩(wěn)定的局部系統(tǒng)軌道在空間中無數(shù)次交疊，形成了奇怪吸引子，幾何姿態(tài)奇特。奇怪吸引子的真實(shí)維數(shù)很難知曉，因此，為研究混沌時間序列，需對該序列的相空間進(jìn)行重構(gòu)。其有序性在于，混沌系統(tǒng)軌道的變化速度可以用特征值來衡量[8-10]，比如Lyapunov 指數(shù)等[11]。可利用系統(tǒng)的有序性，對滲壓水位的變化進(jìn)行預(yù)測。

要分析滲壓水位這一混沌時間序列，相空間重構(gòu)是基礎(chǔ)。重構(gòu)相空間所需的參數(shù)是時延 τ和嵌入維m，其確定方法主要分為兩類：一類將 τ和m看作互不影響的物理量，分別選取，此類方法有自相關(guān)法、假近鄰法等；另一類認(rèn)為 τ和m不應(yīng)相互獨(dú)立，而是相互關(guān)聯(lián)，此類方法有嵌入窗法、C-C 法等。本文使用C-C 法進(jìn)行相空間重構(gòu)。

為衡量滲流系統(tǒng)的動力學(xué)特性，要對系統(tǒng)的特征量進(jìn)行研究。Lyapunov 指數(shù)是混沌系統(tǒng)的特征量之一[11-12]，準(zhǔn)確求得Lyapunov 指數(shù)是研究系統(tǒng)性質(zhì)和對系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測的關(guān)鍵。Lyapunov 指數(shù)是描述系統(tǒng)軌道分離或靠近的物理量。當(dāng)時間序列有限且包含噪聲，只需求最大Lyapunov 指數(shù)時，優(yōu)選小數(shù)據(jù)量法。Grebegi 證明只要最大的Lyapunov 指數(shù)大于零，就可以肯定混沌的存在。根據(jù)該指數(shù)，可對混沌序列進(jìn)行預(yù)測[13]。預(yù)測要建立合適的相空間，因預(yù)測時間T和延遲時間 τ屬于同量級，與滲流序列時間長度相比，T和τ都很小，所以有空間近鄰等距假設(shè)。對于時間序列{x(ti)}(i=1,2,···,m)，在預(yù)測步長T≤τ時，X(tm+T)的s維分量中，只有x(tm+T)是未知的，則預(yù)測式為

式中：s為向量維度，只有一個未知量x(tm+T)，即為預(yù)測值。

1.2 隨機(jī)性

土石壩滲壓水位預(yù)測模型誤差序列的隨機(jī)性，是有序性系統(tǒng)中的不規(guī)則變化，此類誤差的特點(diǎn)是將來誤差值不受過去誤差值的影響[13-14]，無內(nèi)在系統(tǒng)性。此特征與隨機(jī)過程中馬爾可夫過程的核心特征相吻合[15-16]，所以本文選用馬爾可夫過程對該模型的隨機(jī)性進(jìn)行模擬和預(yù)測。馬爾可夫過程中，時間與狀態(tài)皆為離散集的稱為馬氏鏈。使用馬氏鏈前需鑒別序列馬氏性。

一步轉(zhuǎn)移的齊次馬氏鏈應(yīng)用最為廣泛，指標(biāo)序列各狀態(tài)間轉(zhuǎn)移概率是必需參數(shù)，其具體數(shù)值通常根據(jù)實(shí)測資料估計(jì)得出。設(shè)可討論的馬爾可夫指標(biāo)值序列X1,X2,···,Xn，有m種可能狀態(tài)，記為E={1,2,···,m}，fij表示從狀態(tài)a經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)b的頻數(shù)，一步的步長可以是1,2,···,m個時間單位。由fij組成的矩陣稱為轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣。轉(zhuǎn)移頻率由轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣計(jì)算得出，即將i行j列元素除以該行各元素之和。

對隨機(jī)序列進(jìn)行馬氏性檢驗(yàn)，是利用馬氏鏈模型分析和解決問題的必要前提。對離散序列的馬氏鏈，可用統(tǒng)計(jì)量 χ2來檢驗(yàn)其馬氏性。統(tǒng)計(jì)量 χ2服從自由度為(m?1)2的χ2分布。給定顯著性水平α，查卡方檢驗(yàn)臨界值表，即可檢驗(yàn)序列馬氏性。

設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為E，Pij(n)是n步轉(zhuǎn){移概率}，若對一切i,j∈E，存在不依賴于i的常數(shù) πj，使得，則稱此馬氏鏈具有遍歷性，式中為此鏈的平穩(wěn)分布。

存在定理：E含義同上，如果存在正整數(shù)n0，使對一切i,j∈E都有Pij(n0)非負(fù)，則此馬氏鏈?zhǔn)潜闅v的，且求得的{}是唯一解。可利用平穩(wěn)分布評價預(yù)測模型的誤差序列。

2 滲壓水位極值的無自變量預(yù)測模型

基于上述論述，建立基于混沌理論和隨機(jī)過程的土石壩滲壓水位極值無自變量預(yù)測模型的方法如下：

（1）利用C-C 法求得時延和嵌入維，重構(gòu)測值序列的相空間。

（2）計(jì)算測值序列空間的最大Lyapunov 指數(shù)，若該指數(shù)為正值，則可判斷測值序列為混沌序列，可基于混沌理論進(jìn)行預(yù)測。

（3）利用求得的最大Lyapunov 指數(shù)，根據(jù)預(yù)測式(1)進(jìn)行預(yù)測。

（5）按上述分級指標(biāo)，對資料序列中的各指標(biāo)劃分狀態(tài)，然后對狀態(tài)、步長、轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到馬氏鏈轉(zhuǎn)移概率矩陣。

（6）對序列進(jìn)行馬氏性檢驗(yàn)，基于序列的一步轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣、一步轉(zhuǎn)移頻率矩陣計(jì)算統(tǒng)計(jì)量χ2值，計(jì)算式為

（7）分析該馬氏鏈的遍歷性、平穩(wěn)分布，評價預(yù)測模型。

3 算 例

選取某土石壩下游坡測點(diǎn)B的測值序列為算例，開展基于滲壓水位實(shí)測資料的極值預(yù)測分析，測點(diǎn)B位置見圖1。測值數(shù)據(jù)序列起止時間分別為2003 年10 月、2009 年10 月。選出時間序列中測值的每月極大值，組成72 個極大值的時間序列。將該時間序列分為2003 年10 月至2008 年4 月、2008 年5 月至2009 年10 月兩段，前一段測值序列用于建立預(yù)測模型，后一段用于檢驗(yàn)預(yù)測模型。

圖1 測點(diǎn)位置（單位：m）Fig.1 Location map of measuring points (unit:m)

3.1 預(yù)測模型比較分析

3.1.1 線性回歸預(yù)測模型 土石壩滲壓水位極值的最主要影響因素是上游水位，且上游水位對滲壓水位測值的影響有滯后性，所以選擇與滲壓水位相對應(yīng)的當(dāng)日上游水位和前一周平均上游水位作為自變量x1,x2，滲壓水位測值作為因變量y，建立線性回歸方程如式(3)，回歸系數(shù)為0.26，表明該模型擬合效果欠佳，預(yù)測效果較差。原因可能是線性回歸模型無法模擬因變量與自變量間的非線性關(guān)系，或是因變量與自變量相關(guān)性不明顯。

3.1.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型 選擇與上文相同的自變量和因變量，利用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立滲壓水位序列的非線性預(yù)測模型。回歸系數(shù)為0.57，BP 網(wǎng)絡(luò)擬合值與實(shí)測值的對比見圖2。由圖2 可見，該網(wǎng)絡(luò)預(yù)測效果欠佳。較低的回歸系數(shù)表明自變量對因變量的影響較小，因變量與自變量間的相關(guān)性不明顯，這是該模型預(yù)測精度低的可能原因。因此，下面建立無自變量的預(yù)測模型，以證實(shí)該可能原因。

圖2 BP 網(wǎng)絡(luò)預(yù)測值與實(shí)測值的對比Fig.2 Comparison between predicted value and measured value of BP network

3.1.3 基于混沌理論的預(yù)測模型 利用混沌理論建立滲壓水位序列的預(yù)測模型，首先用C-C 法計(jì)算重構(gòu)相空間的時延τ和嵌入維m。圖3 中選取S(t)的第1 個局部極小點(diǎn)即為τ，τ為4。C(t)的全局最小點(diǎn)即為嵌入窗，根據(jù)嵌入窗與嵌入維的關(guān)系計(jì)算可得，嵌入維m為2。

圖3 C-C 法重構(gòu)相空間參數(shù)確定Fig.3 Parameter determination of phase space reconstruction by C-C method

根據(jù)時延、嵌入維構(gòu)造滲壓水位序列的相空間，該重構(gòu)相空間即為預(yù)測空間。計(jì)算該時間序列的最大Lyapunov 指數(shù)，值為0.934 8。最大Lyapunov 指數(shù)大于0，可以肯定該時間序列為混沌時間序列。利用式(1)對2008 年5 月至2009 年10 月的滲壓水位進(jìn)行預(yù)測（預(yù)測時間小于時延），滲壓水位預(yù)測結(jié)果見圖4。混沌模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的絕對誤差對比見表1。

圖4 混沌模型預(yù)測值與實(shí)測值的對比Fig.4 Comparison between predicted value and measured value of chaos model

由圖4 可見，基于混沌理論的預(yù)測模型的規(guī)律更接近實(shí)測值規(guī)律，顯著優(yōu)于前文兩模型。由表1 絕對誤差的對比可知，混沌模型的最大絕對誤差為2.24 m，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和多元回歸模型的最大絕對誤差分別為3.52 m、3.21 m，最大誤差顯著降低。數(shù)據(jù)對比證實(shí)了因變量與自變量間的相關(guān)性不明顯是模型預(yù)測精度的原因之一。解決這種原因?qū)е碌念A(yù)測精度欠佳，本文提出的無自變量預(yù)測模型有其優(yōu)越性。

3.2 誤差評價

分析基于混沌理論的預(yù)測模型的誤差序列，將實(shí)測值與混沌模型預(yù)測值作差，所得18 個差值如表1所示。

3.2.1 狀態(tài)分類 18 個相對誤差的均值為1.50%，均方差為4.80%，按照前文所述方法，α2，α3分別取0.3、0.6，區(qū)間及狀態(tài)的對應(yīng)關(guān)系見表2。

3.2.2 馬氏性檢驗(yàn) 按表2 所建立的分級指標(biāo)，資料序列中各月相對誤差所對應(yīng)的狀態(tài)如表1 中最后一欄所示。根據(jù)表1 提供的資料，可對18 個月的相對誤差序列作馬氏性檢驗(yàn)。可算得步長為1 的一步轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣和頻率矩陣如下：

表1 模型誤差序列及其狀態(tài)Tab.1 Errors of sequence and their states

表2 相對誤差分級Tab.2 Relative error classification table

根據(jù)fij、pij值計(jì)算可得：統(tǒng)計(jì)量 χ2的值為9.88。給定顯著性水平α=0.05，查卡方檢驗(yàn)臨界值表可得分位點(diǎn)，故相對誤差序列滿足馬氏性。

3.2.3 平穩(wěn)分布與各狀態(tài)重現(xiàn)期 以2008 年5 月至2009 年10 月的相對誤差序列中，相依性較強(qiáng)的步長為1 的馬氏鏈為例分析可知，此鏈的狀態(tài)互通，且是非周期的，其全部3 個狀態(tài)構(gòu)成一個閉集，狀態(tài)空間無真子閉集，故此鏈為不可約正常反鏈，是遍歷的。因此，此鏈存在唯一的平穩(wěn)分布。依照步長為1 的轉(zhuǎn)移概率矩陣，可得到平穩(wěn)分布與各狀態(tài)的重現(xiàn)期。

狀態(tài)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的重現(xiàn)期分別是98.7、66.0 和123.9 d。由此可見，狀態(tài)Ⅱ出現(xiàn)的機(jī)會最多，狀態(tài)Ⅲ出現(xiàn)的可能性最小，狀態(tài)Ⅰ出現(xiàn)的機(jī)會較大。結(jié)合3 種狀態(tài)的分類標(biāo)準(zhǔn)可說明，混沌理論預(yù)測模型的相對誤差主要出現(xiàn)在[0.06%，4.37%]，次之出現(xiàn)在[?6.66%，0.06%]，較少出現(xiàn)在[4.37%，13.39%]。據(jù)此可評價：混沌理論預(yù)測模型的精度較好。

4 結(jié)語

（1）當(dāng)滲壓水位極值序列與上游水位序列相關(guān)性弱時，線性回歸模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型這兩種常規(guī)預(yù)測方法的擬合及預(yù)測效果欠佳，提出一種僅考慮測值序列、不考慮自變量的滲壓水位極值預(yù)測方法，提高了預(yù)測精度。

（2）本文建立的基于混沌理論的無自變量預(yù)測模型，因僅有極值序列而無法使用復(fù)相關(guān)系數(shù)、回歸系數(shù)等常規(guī)評價手段對模型進(jìn)行評價。為解決該問題，提出基于隨機(jī)過程評價預(yù)測模型的誤差序列，評價結(jié)果合理，為無自變量的預(yù)測模型提供一種新的評價方法。

（3）實(shí)踐表明，基于混沌理論的預(yù)測方法，及基于隨機(jī)過程的相應(yīng)評價方法相結(jié)合，可形成精度較高、實(shí)用性強(qiáng)的無自變量預(yù)測方法，彌補(bǔ)常規(guī)預(yù)測方法的弱預(yù)測能力區(qū)域，為自變量不明確的土石壩滲流極值序列提供了一種可靠的建模方法。