把握四“度” 搭建“云梯”

倪志敏

摘 要：正比例和反比例，屬于“數與代數”領域。本單元教學，筆者認為可以把握好四“度”——高度、角度、牢固度、靈活度，為學生搭建尋求變化數量之間規律的“云梯”。

關鍵詞：正比例和反比例;函數關系;四“度” ?“云梯”

正比例和反比例的關系，本質上是函數關系。函數以運動、變化的觀點反映事物數量之間的相互聯系和內在規律。但是正比例和反比例教學，歷來被數學老師們概括為有三難——概念抽象、思維復雜、關系隱晦。在疫情防控期間，學生已通過觀看“名師空中課堂”教學視頻學習了這部分知識。因此，復學前，筆者以一道題對“正比例和反比例”單元進行了前測摸底。

題目呈現：圓的周長一定，圓的直徑和圓周率成比例嗎？如果成比例，成什么比例？如果不成比例，為什么？

測后經統計，全班53名同學一致認為圓的直徑和圓周率成反比例。因為圓的直徑×圓周率=圓的周長（一定）。

如何讓“正比例和反比例”單元教學，在復學后的數學課堂能夠平穩著地，筆者認為可以把握好四“度”，為學生搭建尋求變化數量之間規律的“云梯”。

一、由薄到厚，定好“云梯”的高度

考慮到學生在疫情防控期間學習效果的差異性，因此復學后的“正比例和反比例”單元教學應既不等同于新課，也不等同于復習。如果說以往的復習重在“融會貫通”，而復學后的本單元教學則首要重在“查漏補缺”，厘清概念，注重概念的“生長點”與“延伸點”，讓知識生發“由薄到厚”。通過前測題，筆者認為學生對于正比例和反比例概念的“生長點”——“相關聯”理解不到位。成正比例或反比例的兩個量必定是相關聯的，所以認識正、反比例關系之前，應該先認識相關聯的量。

【案例片段】

出示：下題中的兩種量是否是相關聯的量？為什么？

（1）購買同一種鉛筆的數量和總價。

（2）一輛自行車在公路上行駛，行駛的時間和路程如下表：

（3）用60元購買筆記本，購買筆記本的單價和數量。

（4）讀一本書，已讀頁數和剩下頁數。

（5）圓的直徑和圓周率。

“一種量變化，另一種量也隨之變化”這種“關聯性”體現在5道題的比較辨析中，讓學生深刻理解題5中，圓周率是固定不變的，它不會隨著直徑的變化而變化。因此，圓的直徑和圓周率不是兩種相關聯的量。既然不是兩種相關聯的量，那么這兩種量既不成正比例，也不成反比例。

二、由末到本，設定“云梯”的角度

為什么要學習正比例和反比例？這應該是我們在教學前首先要厘清的問題。小學生在學習本單元知識之前，接觸的基本上是常量數學的內容，是靜態的數學知識。而正比例和反比例研究的是變量與變量之間的關系，兩種相關聯的量雖然都在變化，但又保持著某種不變。學生感受到這種“變”與“不變”的對立統一性，就受到了辯證思想的影響。所以，“變中找不變（規律）”就是正比例和反比例意義教學中的核心。

【案例片段】

教師繼續讓學生觀察，在題1至題4中，一種量變化，另一種量也隨之變化。那么題2中，最后一個空，填多少是根本沒有辦法確定的。因為正比例和反比例中，兩種相關聯的量在變化中是相互影響、相互制約的。題2中，路程比時間得到速度，如果速度不確定，路程和時間的變化也不確定，所以最后一個空無法填。因此，這兩種量既不成正比例，也不成反比例。

師：那么剩下的4題中，哪兩種量成正比例？哪兩種量成反比例？為什么？

生1：題1中，=單價（一定）。單價是總價和數量的比值，比值一定，總價和數量就成正比例。

生2：題3中，單價×數量=總價（一定）。總價是單價和數量的乘積，乘積一定，單價和數量就成反比例。

師：題4中，已讀頁數+未讀頁數=總頁數（一定），那么已讀頁數和未讀頁數成什么比例？為什么？

抽象正比例和反比例概念，除了需要情境的支撐，更需要我們返璞歸真，由末到本，舍棄其非本質屬性的部分而抽取其本質屬性。教師要讓學生認識到數學學習中，我們要學會尋找變化中的不變。兩種量成正比例或反比例關系，它們必定按某種確定的關系進行相應變化，而這種關系只能是商一定或積一定。否則，就既不成正比例，也不成反比例。

三、由單到雙，強化“云梯”的牢固度

疫情防控期間，“空中課堂”的課雖上得生動有趣，但隔著屏幕，缺少師生之間面對面的交流互動。復學后，考慮到正比例和反比例畢竟學過，而且在現實生活和生產勞動中經常能夠遇到，所以在教學之前，筆者讓學生以小組為單位，去找一找生活中有哪些成正比例或反比例的量。回歸日常生活，通過尋找成正比例和反比例的量，進一步體驗正、反比例關系的本質特征。這是數學概念教學經常需要的“具體化”環節。這一環節通過小組合作的形式要求課前完成，既是“空中課堂”學習效果的反饋，也是一次小組內的“集思廣益”。

筆者先匯總學生收集的成正比例和反比例的量，寫下相關的數量關系式，然后看其中一個數量關系式：單價×數量=總價。

學生反饋：如果總價一定，單價和數量成反比例。如果確定單價，那么數量和總價就成正比例。如果確定數量，總價和單價成正比例。

接著，教師讓學生在組內互相說一說，在時間×速度=路程，工作效率×工作時間=工作總量，長×寬=長方形面積，圓柱的底面積×圓柱的高=圓柱的體積……這些數量關系中，其中一個量一定，另外兩個量成什么比例關系？

最后，通過討論交流，學生發現如果總量一定，兩個部分量之間滿足反比例關系;如果決定總量的任何一個部分量一定，那么總量和另一個部分量就滿足正比例的關系規律。

四、由仿到變，改變“云梯”的靈活度

因時間有限，線上課程速度較快，留給學生思考的時間太少，課堂上學生只能聽，來不及練。而練習的題型也只能以教材中的習題為主，就題講題。生活中，木工師傅連接梯子時，往往會在梯子的頂端部位上各上一對“荷葉”，就能讓梯子收縮自如。那么，“云梯”的靈活度也需要安裝“荷葉”——相應的變式練習。“變”要把概念的本質屬性以不同的方式呈現，引發學生從不同的角度去明晰概念的本質屬性和非本質屬性之間的區別。

出示：長方形的面積和寬成正比例嗎？為什么？

師追問：要使長方形的面積和寬成正比例，怎樣修改表格中的數據？為什么這樣改？

在正比例和反比例教學中，理解“單值對應”也是一個難點。例題和“試一試”中的題型都是依據表格中的兩種量相對應的數值的比值或乘積是否一定，進而判斷兩種量是否成正比例和反比例。變式練習中的兩題，在正、反比例概念的“生長點”的理解運用上避免了機械地重復辨析，讓學生逆向思考：乘積或比值一定時，何謂“單值對應”。

總之，疫情復學后的“正比例和反比例”單元教學，筆者認為可以為學生搭建“云梯”，注意把握好四“度”，以尋求變化數量之間的規律。

參考文獻

[1]沈重予，王林.小學數學內容分析與教學指導1[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2015：117+125.