MFA在相變性質研究中的偽解問題

陳 勝，盧俊邑

（電子科技大學物理學院 四川 成都 611731）

1 引言

隨著鐵電材料維度的降低，像納米島等低維結構材料表現出了一些非常奇妙的性質，從而引起了理論和實驗研究的廣泛興趣，如關聯有效場理論，格林函數理論，重整化群、蒙特卡羅模擬方法等。在納米島的相變機制下，我們研究可以采用考慮了橫場分量的橫場Ising模型，由于考慮了橫場隧穿頻率，其在一定程度上能夠較好地與實驗結果進行對照分析。

本文基于橫場Ising模型，利用格林函數方法[1]的通常退耦合近似（MFA）研究正方晶格納米島的相變性質，并討論了在初始自旋取向隨機的特定情況下，相圖和極化圖非常規結果（如重入現象）以及產生機理。

2 模型和公式

我們考慮由兩層正方晶格納米島的平面組成的三維正方結構納米島，每層平面的每個位置的原子分別占據一個Ising自旋，共計有9個自旋1/2的極性原子，見圖1。

圖1 正方晶格納米島的2D圖（單層）與3D圖（右）

由于此系統中，只有3種處于不同環境中的原子和3種不同格點之間交換相互作用常數Jij(＞0)，基于橫場Ising模型的正方晶格鐵電納米島的哈密頓量被表示為[2]：

費米型格林函數的傅里葉分量滿足運動學方程：

H是體系的哈密頓量，關聯函數通過譜定理＜ai+σaiσ＞與費米型格林函數建立聯系：

其中，β= 1/kBT，kB為玻爾茲曼常數，T是溫度運動我方們程可[3-以4]：從TIM的哈密頓量推導出費米型格林函數的

為了能近似求解運動方程鏈，我們對上述方程組5～6采用通常解耦合近似處理：于是式5格林函數可以表示為：

于是贗自旋的x和z分量可以寫成：

顯然，在溫度到達居里溫度TC時，極化強度z分量等于0，可得到：

這就是通常平均場近似（MFA）的結果。由于處在相同環境中的原子極化強度相同，且只有處于3種不同環境中原子，于是我們總極化強度P可以用＜Si＞，＜Sa＞（或b、c、d），＜Se＞（或f、g、h）表示：

為了方便起見，引進無量綱溫度JTktB/= 進行約化（約化后的居里溫度?）。

3 數值結果與討論

3.1 相圖

注意到在無橫場時，即Ω/J=0.0時，在JS/J=1.0時，相變曲線（圖2）為單調遞增，表示出常規形狀。增大橫場到Ω/J=1.0時，發現相圖曲線在JR/J=2.0處又開始生出一條點虛曲線，整個相變圖形變成閉合曲線，并突出隆起。由于增大橫場會降低納米島自發極化，使得鐵電性減弱（極化強度降低，居里溫度降低），因此Ω/J=1.0時的曲線必須在Ω/J=0.0曲線的下方，所以兩組解（實線代表利用MFA解中值大的解tCH，虛線表示值小的解tCL）似乎都滿足要求，這和T.Kaneyoshi[2]利用關聯有效場理論得出的相圖形狀基本一致。橫場與受溫度決定的自發極矩相互競爭，在溫度較低時，納米島處于基態。對于鐵電材料，自旋完全同向，自發極矩很強，足以抗衡橫場，此時自發極矩決定了納米島的自旋取向，但是隨著溫度的升高，由于分子熱運動，無序性增強，自發極矩減弱，橫場的存在使得納米島自旋取向發生改變，這就是阻挫效應。在JR/J=2.0～2.67范圍內，具有兩個轉變溫度，看似實現了納米島鐵電相與順電相之間的相互轉變，即重入現象。

圖2 Ω/J和JS/J分別改變時的tc~JR/J相圖，小方框里為極化圖。

進一步探究表面交換相互作用對相圖重入現象的影響，發現隨著JS/J的減小，仍然能夠發生重入現象，但是相圖的隆起程度變弱，tCH減小到2.518，但是tCL曲線（點虛線和短橫虛線）并未發生明顯改變，tCL曲線在JR/J=2.0到JR/J=2.518部分發生了重疊，JS/J=1.0的相變曲線完全包裹了JS/J=0.0的相圖。JR/J=2.0～2.518范圍內任取JR/J值，由于層間交換相互作用JR/J和橫場Ω/J都是相同的，表面交換相互作用JS/J的不同會使得納米島鐵電性不一致，必定使得居里溫度不同。這里tCH符合該物理要求，但是tCL不符合該條件。通過研究JR/J=2.2，JS/J=1.0，Ω/J=1.0的情形下極化圖P～t，我們可以發現在極化曲線為嚴格單調遞減的，不產生任何奇怪的形狀，即根本不存在兩次相變。通過計算得知，此時居里溫度tc=1.19。這和相變圖中tCH結果完全一致。所以，我們有理由相信tCL是偽解，實際的相變曲線僅為一單調遞增曲線，如實線所表示。

3.2 極化圖

根據圖2，我們知道納米島的“相變重入”現象主要在由于層間交換相互作用和橫場。選擇適當的JR/J和Ω/J，就有可能使得方程組9存在多解，也就可能存在著偽解。為了進一步探究MFA中偽解的產生原因，我們進一步T→0K時，正方晶格納米島的極化強度與橫場的關系圖P～Ω/J（見圖3），和極化強度和層間交換相互作用的關系圖P～JR/J（見圖4）。

圖3 JS/J＜＜1時，T→0K的極化強度P隨橫場Ω/J的依賴關系圖

圖4 JS/J＜＜1且T→0K時的極化強度P與JR/J的依賴關系圖

在圖3中，為了和T.Kaneyoshi利用EFT得到的結論進行比較[2]，我們研究了在JR/J=1.0，JS/J=0.0，t=0.02時的極化圖P～Ω/J。當初始自旋取向為|0↑↓＞時，用虛曲線MPEL（利用平均場近似的極化強度與橫場關系中小的解形成的曲線）描述極化強度與橫場的依賴關系，可以發現MPEL的為一“左鉤”形形狀。MPEL曲線在Ω/J=0.0到0.5區間內單調遞增，然后在Ω/J=0.5時達到峰值點 后逐漸單調遞減至0，這和T.Kaneyoshi利用EFT獲得的曲線趨勢大致是一致的。在MPEL曲線的前段為鐵電性逐漸增強的過程，在外場Ω/J=0.5時鐵電性達到最大，之后鐵電性又逐漸變弱，在Ω/J=1.5處轉變為順電相。在此過程經歷了兩次相變，開始曲線上升的過程為鐵電性逐漸增強的過程，可以看成是順電相轉變為鐵電相的趨勢，MPEL曲線峰值到0的過程可以看成鐵電相到順電相的轉變。但是在物理層面，若溫度T趨于0K時，且無橫場時，鐵電體處于基態，各自旋必須完全同向，即Pα=0.5（α=i,a,e），P=0.5，但是此時的P=0.056，自旋取向為|↑↑↓＞，不符合物理規律。

我們通過選取初始自旋取向為|↑↑↑＞，在圖3用實線MPEH（利用平均場近似的極化強度與橫場關系中大的解形成的曲線）描述極化強度與橫場的依賴關系。發現曲線為一階梯形狀，階梯點恰好為整體曲線又回歸了單調遞減，此時觀察不到重入現象發生。在階梯點之后，MPEH曲線與MPEL曲線完全重合。也就是說當Ω/J＞0.5時，方程組9僅有唯一解。根據無橫場時，零溫下極化強度P=0.5，判斷可知MPEL曲線才是正解所表示的曲線。

這說明了初始自旋取向選取的不同，利用MFA可能導致在橫場Ω/J較小時多解情況的發生，即產生偽解，這意味著我們利用MFA在研究納米島相變機制時，一定要符合鐵電材料的物理特征，找到符合條件的一組解。

類似地：在Ω/J=1.0，JS/J=0.0時，我們在圖4中利用MFA研究了T→0K時的極化強度與層間交換相互作用常數依賴關系P～JR/J，我們和P～Ω/J采用同樣的自旋取向|0↑↓＞和|↑↑↑＞，也可以得到兩組解，曲線分別記為MPRL（平均場近似下的極化強度隨JR/J變化關系值較小的解）和MPRH（平均場近似下的極化強度隨JR/J變化關系值較大的解）。我們可以發現MPRL和MPEL形狀是完全相同的，MPRH和MPEH形狀相同，只是“鉤”的方向相反和階梯方向相反。MPRL和MPRH在JR/J=0.0～2.0范圍內完全重合，在JR/J=2.0處分成上下兩支曲線，上支MPRH迅速上升，而后趨于平緩至無窮處為一定值P=0.5，下支MPRL以相反的趨勢趨于一定值P=0.056處。根據JR/J是增大鐵電材料自發強度，然后JR/J趨于無窮大時，極化強度P=0.5，判斷得出MPRH才是正解。同時可以得到這樣的結論，利用MFA時，在JR/J較大時，可能會產生偽解。

4 結論

本文基于橫場Ising模型，在格林函數的框架下，采用通常退耦合近似得到了贗自旋極化強度的x和z分量方程組。發現了在初始自旋取向隨機時，相圖和極化圖可能表現為非常規曲線。這是由于在橫場系數較小和層間交換作用常數較大的情形下，方程組存在多解問題。只有在合理的物理角度進行取舍，才能得到能夠真正定性描述符合相變機制的解。