基于高斯混合模型的列車隨機振動加速度響應最大值分布統計分析

蒲珍華 吳夢雪 唐德發 朱金 李永樂

摘 要：為可靠地評估列車運行的安全性與平穩性，基于多體動力學理論和概率統計方法，對隨機軌道不平順激勵作用下列車加速度響應最大值的分布規律進行分析。采用多體動力學軟件Simpack建立列車軌道耦合模型，通過三角級數法模擬得到軌道不平順作為隨機輸入激勵，基于Monte-Carlo方法計算得到列車在行駛過程中加速度響應的樣本序列。將列車加速度響應樣本序列的最大值作為隨機變量進行統計分析，通過構建基于高斯混合模型的列車振動加速度響應最大值的概率密度分布函數，并結合期望最大化算法對概率模型參數進行最大似然估計，從而對列車加速度響應最大值分布的統計規律以及響應樣本數量的選取開展研究。結果表明：采用高斯混合模型能有效地擬合列車加速度響應最大值的分布規律;此外，隨著車速的增加，列車加速度響應最大值分布的離散性增強。

關鍵詞：列車軌道耦合系統;隨機振動;加速度響應;高斯混合模型;期望最大化算法

Abstract： In order to reliably evaluate the safety and stability of running train during operation， the distribution of maximum acceleration response of the running train under random track irregularity excitation is analyzed， based on the theory of multi-body dynamics and the theory of probability statistics. To this end， the train-track coupling model is established using the multi-body dynamics software Simpack. As the internal source excitation of the train-track coupling model， the track irregularity is simulated through trigonometric series method. In addition， the Monte-Carlo method is used to obtain the sample sequence of the trains acceleration response under random track irregularity. Subsequently， the maximum value of each sample （time history of trains acceleration responses） is obtained and treated as a random variable for statistical analysis. By constructing the probability density distribution function of the maximum train vibration acceleration response based on the Gaussian mixture model， and combining with the expectation maximization algorithm， the maximum likelihood estimation of the probability model parameters is carried out.The statistical law of the maximum distribution of train acceleration response and the selection of the number of response samples are studied. The results show that the Gaussian mixture model can accurately model the distribution of the trains maximum acceleration response. Additionally， it is found that the variation of the trains maximum acceleration response increases with higher vehicle speed.

Keywords： train-track coupling system; random vibration; acceleration response; Gaussian mixture model; expectation maximization algorithm

軌道不平順是引起列車軌道或列車橋梁耦合系統振動的重要激勵源之一。在車輛參數確定的情況下，軌道不平順對列車運行的安全性與平穩性有很大的影響[1]。文獻[2]探討了列車荷載作用下不同軌道不平順樣本對橋梁結構動力響應的影響規律，結果表明，橋梁結構的動力響應隨軌道不平順樣本的不同而變化，且有較大的離散性和隨機性。目前，常采用單一或少數幾個軌道不平順樣本作為激勵源，將列車軌道或列車橋梁耦合系統動力響應時程的最大值（由單一軌道不平順樣本得到）或最大值的平均值（由多個軌道不平順樣本得到）作為系統安全性和平穩性的評價指標，但軌道不平順是一個空間隨機過程，一個樣本僅是統計意義上隨機過程的一次實現，因而由一個或少數幾個軌道不平順樣本得到的系統動力響應時程可能無法反映響應的概率統計特征。此外，在列車軌道或列車橋梁耦合系統隨機振動響應的概率統計研究中，響應樣本數量的選取是一個非常關鍵的問題，如若響應樣本數量選取過少，則無法反映各類動力響應總體的特征，也就無法建立合理的響應概率統計模型，但如果響應樣本數量選取過多，又需要十分龐大的計算量。曾慶元等[3]指出，在沒有實測振動響應樣本的情況下，如何確定計算樣本的數量才能得到更合適的隨機響應統計結果是值得探討的問題。

目前，針對列車軌道（或橋梁）耦合振動的隨機性問題和系統響應的概率統計特征問題，許多學者已開展了一定研究。夏禾等[4]取20個軌道不平順樣本計算了列車通過單跨箱梁時橋梁和列車響應的最大值、平均值、標準差及變異系數，結果表明，20次計算值的離散性很大。余志武等[5]考慮車輛荷載及一系、二系豎向彈簧剛度與阻尼的隨機性，對列車橋梁豎向耦合振動響應開展了研究，計算得到了車橋振動響應的均值、標準差和時變概率密度演化分布。此外，談遂等[6]基于某重載鐵路橋梁的現場試驗數據，對不同軸重列車過橋時橋梁動力響應的隨機性進行了分析，并結合3倍標準差原理對橋梁動力響應最大值進行了估計。李永樂[7]針對風列車橋梁耦合系統的振動特性，指出采用基于單樣本分析得到的響應最大值來評價列車和橋梁的振動水平不合適，并提出將橋梁的靜風位移、靜車位移和考慮峰值因子的動位移均方差疊加作為橋梁位移響應的評價指標，將考慮峰值因子的加速度均方根作為橋梁加速度響應的評價指標。Xin等[8]對列車橋梁耦合系統的不確定性和敏感度開展了研究，揭示了橋梁參數和軌道不平順的隨機性對列車橋梁耦合系統響應的變異性有較明顯的影響，而不同因素之間的交叉影響作用也不容忽視。朱志輝等[9]基于Monte-Carlo方法，將車速和軌道不平順作為隨機變量，隨機選取100個車速和軌道不平順的組合樣本，得到了鋼橋最不利疲勞部位的等效應力范圍和年疲勞損傷系數的概率分布。

目前對車橋系統或車軌系統振動隨機性的處理主要有蒙特卡洛（Monte-Carlo）法、虛擬激勵法、概率密度演化法、隨機模擬法等[10]。其中，蒙特卡洛法具有簡單直觀、有較大樣本容量、適用性較強等優點，且常被用于檢驗其他分析方法的有效性[11-12]。為可靠地評估列車運行的安全性與平穩性，筆者采用多體動力學軟件Simpack建立列車軌道耦合模型，將通過引入三角級數法模擬得到的軌道不平順作為隨機輸入激勵，基于Monte-Carlo方法計算得到了列車在行駛過程中加速度振動響應的樣本序列，并結合高斯混合（Gaussian Mixture Model， GMM）模型，采用期望最大化（Expectation Maximization， EM）算法對概率模型參數進行最大似然估計，從而對列車加速度振動響應最大值分布的統計規律以及響應樣本數量的選取進行研究。

1 列車軌道耦合振動仿真計算

1.1 列車多體動力學模型

以中國某高速列車動車車輛為原型，運用多體動力學分析軟件Simpack建立相應的列車多體動力學精細化模型。模型中忽略車體、轉向架、輪對、軸箱轉臂等部件的彈性變形將其視為剛體，

列車的一、二系彈簧和減振器采用彈簧阻尼元件進行模擬，并考慮其作用點之間的空間距離以及剛度和阻尼的非線性特性，其中，非線性彈簧、減振器主要有一系垂向減振器、橫向減振器、抗蛇行減振器和橫向止擋等。模型中采用s1002輪對，鋼軌選用T60 kg/m型鋼軌。采用準彈性接觸模型計算輪軌接觸力，輪軌法向力采用Herz理論計算，蠕滑力則采用FASTSIM算法求得。根據相關文獻，判斷一個復雜的多體動力學模型是否建立正確，主要依據靜平衡計算名義力時系統的最大殘余加速度是否小于0.01 m/s2。對列車軌道耦合系統多體動力學進行靜平衡名義力計算時，最大殘余加速度為8.389 84×10-6 m/s2，小于0.01 m/s2，因此，列車軌道耦合系統多體動力學模型建立正確。列車的多體動力學模型如圖1所示，列車模型主要參數如表1所示。

1.2 軌道不平順數值模擬

軌道不平順是列車軌道耦合系統振動重要的激勵源，是引起車輛產生振動的主要原因之一。軌道不平順主要可劃分為水平不平順、軌距不平順、垂向不平順、方向不平順4類。軌道不平順具有隨機性，可視為由不同幅值、波長和相位角的波疊加而成，通常用功率譜密度函數來表示。在求解動力響應的過程中，需要將軌道不平順功率譜轉換為時域樣本或空間樣本[13]。

基于中國高速鐵路總體技術條件，建議對列車進行平穩性分析時使用德國高速線路軌道譜[14]，且高速鐵路試驗段軌道譜的高低不平順在30 m波長以上的平順性基本與德國高速低干擾譜接近[15]。因此，選用德國高速低干擾譜，采用三角級數法對軌道不平順序列進行模擬。在假設軌道不平順為平穩遍歷的高斯白噪聲的前提下，軌道不平順可看作是不同三角級數的疊加，可通過式（1）得到。

式中：f（x）為模擬得到的軌道不平順序列;S（ωk）為功率譜密度函數，垂向不平順單位為m2/rad/m，水平不平順單位為1/rad/m;ωk為軌道不平順的空間頻率，rad/m;φk為第k個頻率的相位，是獨立均布于0～2π的隨機數。

用三角級數法模擬得到的軌道不平順功率譜密度（Power spectral density，PSD）與目標譜的吻合情況如圖2所示，由圖2可知，模擬的功率譜與目標譜吻合較好。

1.3 列車加速度響應樣本

以隨機軌道不平順作為輸入激勵，得到列車以200 km/h速度行駛時的加速度響應時程曲線，如圖3所示。列車加速度測點位置根據《鐵道車輛動力學性能評定和實驗鑒定規范》（GB 5599—1985）規定設定于轉向架中心上方橫向1 m的車體地板上。

2 高斯混合模型

高斯混合模型廣泛應用于統計分析領域[16]，其作為一種統計模型，多用于構建概率密度函數，能較好地刻畫參數空間中數據的分布及其特征，既具有非參數化方法的靈活性，又保持了參數化方法的精確性。高斯混合模型采用有限個特定概率分布密度函數的加權組合來擬合復雜的概率分布模型，通過選擇混合分量的類型和個數，可逼近任何連續的概率分布密度函數。高斯混合模型（GMM）由高斯（正態）分布的加權組合得到，其概率密度函數為

式中：參數μzk、σzk分別為第k個高斯成分的均值和方差;πk是隨機變量x取至第k個高斯成分的權重系數，表示觀察樣本屬于第k個高斯分量所代表的聚類的相對率，應滿足公式0≤πk≤1，∑Mk=1πk=1，k=1，2，3，…，M[17]。

高斯混合模型可以逼近任何連續的概率分布函數，選擇合適的權重系數是得出模型類型數量與模型參數的關鍵。高斯混合模型是一種“軟分類聚類”，是基于假設數據集是由一個潛在的混合概率分布產生的，其中每個高斯分量都表示一個不同的聚類。首先通過估計樣本數據集的混合概率密度，然后計算樣本源中單個樣本之于各個高斯分量的后驗概率，最后將單個樣本分配到后驗概率最大的高斯分量所在的聚類組，從而得到樣本數據集所服從的高斯混合分布[18]。

2.1 參數估計

3）收斂條件

不斷迭代E步與M步，至似然函數的變化量小于誤差值esp或迭代次數k≤K時，迭代結束，否則返回E步。隨著迭代次數的增加，迭代誤差越來越小，似然函數不斷收斂?？山邮艿牡`差esp=2×10-16，最大迭代次數K=500。似然函數為

綜上所述，EM是一種迭代算法，也是一種聚類算法，它可以通過迭代求出高斯混合模型的參數，并將樣本源中的單個樣本通過迭代收斂性進行聚類。高斯混合模型聚類通常采用貝葉斯信息準則（BIC）選擇模型，模型的BIC值越大，該模型就越符合實際。

2.2 擬合度檢驗

假設列車振動加速度響應的最大值服從高斯混合分布，采用期望最大化算法對該概率模型參數進行最大似然估計，再進行擬合度檢驗。

為了對比得到的高斯混合模型概率密度函數與由列車加速度響應最大值的樣本序列得到的頻率直方圖的擬合效果，采用擬合優度（Adjusted R2）與均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE）兩項指標來對概率密度分布曲線的擬合優劣程度進行評價。擬合優度用于評價概率密度分布曲線與直方圖之間的相似程度，該值越接近于1，表示擬合程度越好;均方根誤差用于評價概率密度分布曲線與直方圖之間的偏離程度，該值越接近于0，表示偏離程度越小，擬合程度越好。

2.3 樣本量

樣本量是指從總體中抽取的樣本元素的總個數，樣本量的大小是選擇檢驗統計量的一個重要要素。由抽樣分布理論可知，在大樣本條件下，如果總體為正態分布，則樣本統計量服從正態分布;如果總體為非正態分布，則樣本統計量漸近地服從正態分布[20]。

在確定樣本量時，取α為0.05，則置信度為95%，經查表，Zα/2為1.96;假定的估計誤差為0.05，則最小樣本量為n=384。在滿足樣本最小容量的情況下，增加樣本量有助于增加檢驗統計的精度，提高可靠性。

3 列車加速度響應最大值的概率模型

基于Monte-Carlo方法，分別取400、500、600、700、800、900和1 000個隨機生成的軌道不平順樣本，計算得到列車的加速度響應時程樣本，并將列車豎向和橫向加速度響應的最大值作為隨機變量，采用EM算法進行聚類分析，比較聚類為1～4類的BIC值，并選擇BIC值最大的一組參數，得出某個確定樣本容量下列車加速度響應最大值所服從的高斯混合模型。接著，對比不同樣本容量下列車加速度響應最大值的高斯混合模型與其相應頻率分布直方圖的擬合優度及均方根誤差，從中選取合適的高斯混合模型概率密度函數（對應的樣本容量記為Nrep）作為代表該車速下列車加速度響應最大值的概率密度模型，此時的樣本容量Nrep作為代表該車速下列車加速度響應最大值概率統計特征的最優樣本數量。

3.1 列車豎向加速度

當列車以200 km/h車速行駛時，以1 000個列車豎向加速度響應樣本為例，表2為列車豎向加速度最大值不同聚類個數的BIC值。由表2可得，當聚類個數N=2時，BIC值最大。表3為N=2時模型的參數估計值。將表3中的參數帶入到式（2）中，即可得到列車豎向加速度最大值所服從的高斯混合模型概率密度函數，如式（10）所示。圖4為得到的高斯混合模型概率密度函數與相應樣本數量下列車豎向加速度響應最大值的頻率分布直方圖的對比，從圖4可知，其擬合效果較好。

分別取400、500、600、700、800、900和1 000個隨機生成的軌道不平順樣本，計算得到車速為200 km/h時不同樣本容量下的列車豎向加速度響應最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優度及均方根誤差，如表4和圖5所示。由表4和圖5可知，當樣本數量為400～700時，列車豎向加速度響應最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優度隨著樣本數量的增加逐漸變大，在樣本數量達到700后趨于穩定;而均方根誤差隨著樣本數量的增加逐漸減小，在樣本數量達到700后，波動較小，趨于穩定。因而，車速為200 km/h時，代表列車豎向加速度響應最大值概率統計特征的最優樣本數量Nrep=700。圖6為不同樣本數量下的列車豎向加速度最大值所服從的高斯混合模型的概率密度曲線。

當車速分別為100、150、200 km/h時，不同樣本數量下列車豎向加速度響應最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優度及均方根誤差如圖7所示。從圖7中可以看出，在樣本數量達到700后，3種不同車速下的列車豎向加速度響應最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優度和均方根誤差均波動較小，趨于穩定。因而當車速分別為100、150、200 km/h時，代表列車豎向加速度響應最大值概率統計特征的最優樣本數量Nrep均可取為700。

3.2 列車橫向加速度

當列車以200 km/h車速行駛時，仍以1 000個列車橫向加速度響應樣本為例，表5為列車橫向加速度最大值不同聚類個數的BIC值，由表5可得，當聚類個數N=3時，BIC值最大。表6為N=3時模型的參數估計值。將表6中的參數帶入式（2）中即可得到列車橫向加速度最大值所服從的高斯混合模型的概率密度函數，如式（11）所示。圖8為得到的高斯混合模型的概率密度函數與相應樣本數量下列車橫向加速度響應最大值的頻率分布直方圖的對比，由圖8可知其擬合效果較好。

分別取400、500、600、700、800、900和1 000個隨機生成的軌道不平順樣本，計算得到車速為200 km/h時不同樣本容量下列車橫向加速度響應最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優度及均方根誤差，如表7和圖9所示。由表7和圖9可知，列車橫向加速度響應最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優度和均方根誤差在樣本數量達到800后波動較小，趨于穩定。因而，車速為200 km/h時，代表列車橫向加速度響應最大值概率統計特征的最優樣本數量Nrep=800。圖10為不同樣本數量下列車橫向加速度最大值所服從的高斯混合模型的概率密度曲線。

當車速分別為100、150、200 km/h時，不同樣本數量下列車橫向加速度響應最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優度及均方根誤差如圖11所示。從圖11中可以看出，在樣本數量達到800后，3種不同車速下列車橫向加速度響應最大值的高斯混合模型概率密度分布與其頻率分布直方圖的擬合優度和均方根誤差均波動較小，趨于穩定。因而當車速分別為100、150、200 km/h時，代表列車橫向加速度響應最大值概率統計特征的最優樣本數量Nrep均可取為800。

4 不同車速下列車加速度響應最大值的統計規律

列車分別以車速100、150、200 km/h行駛1 000 m，基于Monte-Carlo方法，取1 000個隨機生成的軌道不平順樣本計算得到列車的加速度響應時程樣本。通過統計列車的豎向加速度最大值及橫向加速度最大值，得到列車不同車速下的加速度最大值箱型圖，如圖12所示。由圖12可知，列車的豎向加速度最大值和橫向加速度最大值均隨著車速的增加逐漸變得離散;列車的豎向加速度最大值和橫向加速度最大值的均值隨著車速的增加而增加。此外，列車豎向加速度最大值的均值都大于中位數，而列車橫向加速度最大值的均值在車速為100、150 km/h時大于中位數，在車速為200 km/h時的均值小于中位數。

通過對列車的豎向加速度最大值樣本及橫向加速度最大值樣本進行分析，進一步得到不同車速下列車加速度最大值的概率密度分布圖，如圖13所示。從圖13中可知，列車豎向加速度最大值和橫向加速度最大值的概率密度曲線均沿著橫坐標向右移動。另外，與車速為100、150 km/h相比，車速為200 km/h時列車豎向加速度與橫向加速度最大值的概率密度曲線的分布范圍均更大;而車速為100 km/h時列車豎向加速度與橫向加速度最大值的概率密度曲線最為高聳。這表明隨著車速的增加，列車加速度響應最大值分布的離散性增強。

由于列車振動會使乘車人員產生不適感或疲勞，因而引入平穩性指標來度量乘客乘車時的舒適程度。參考高速鐵路客車動力學性能評定資料，中國車體振動加速度的平穩性標準界限值可取為：豎向振動加速度av≤1.3 m/s2，橫向振動加速度ah≤1.0 m/s2。

在運行距離為1 000 m的情況下，選擇列車運行車速為100、150、200 km/h的工況，得到列車加速度最大值隨機變量的累積分布函數（Cumulative distribution function， CDF）曲線，如圖14～圖16所示。從圖中可以發現，列車在運行車速為100、150、200 km/h時的豎向加速度與橫向加速度均滿足平穩性要求。

5 結論

1）采用高斯混合模型能夠有效地擬合列車加速度響應最大值的分布規律。

2）當車速分別為100、150、200 km/h時，列車豎向加速度響應的樣本數量達到700時可較好地代表列車豎向加速度響應最大值的概率統計特征;而列車橫向加速度響應的樣本數量達到800時能較好地代表列車橫向加速度響應最大值的概率統計特征。

3）列車的豎向加速度最大值和橫向加速度最大值均在車速為100 km/h時分布最為集中;整體來講，隨著車速的增加，列車加速度響應最大值分布的離散性增強。

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（編輯 王秀玲）