數學建模視角下人教版教材變化分析

楊海

摘要：數學建模是高中數學教育六個核心素養之一，有著重要的教育價值。教材作為師生學習的主要材料是如何體現數學建模內容的，值得深入研究。本文從數學建模的視角下對人教版新、舊教材從版塊設置、課題引入、題目背景、語言表述四個方面進行分析，以期提高一線教師對新教材數學建模內容的理解。

關鍵詞：數學建模;數學教材;變化分析

數學建模是運用數學思想方法和數學知識解決實際問題的過程，是聯系數學和現實世界的橋梁。[1]通過數學建模的學習，學生能感悟數學與現實的聯系，積累數學實踐經驗，認識數學模型的作用，增強創新意識和科學精神。[2]因此，加強數學建模內容的教學，是數學課程改革發展的一個內容。

在《普通高中數學課程標準（實驗）》（簡稱舊課標）中，要求高中數學課程要把數學探究、數學建模的思想以不同的形式滲透在各模塊和專題內容之中，且高中階段至少應為學生安排1次數學建模活動，但并沒有對具體課時和內容做安排。[3]但在《普通高中數學課程標準（2017年版）》（簡稱新課標）中，將數學建模與數學探究活動作為必修五個主題內容之一，指出數學建模活動與數學探究活動以課題研究的形式開展，在必修課程中要求學生完成其中的一個課題研究，并用案例15和案例19，詳細介紹了課題研究的過程。另外，新課標還對數學建模活動的評價提出了建議，要求研究報告或小論文應存入學生個人學習檔案，為大學招生提供參考和依據。[2]

從新課標的改變能看出對數學建模活動的重視，因此依據新課標編寫，由人民教育出版社于2019年出版的普通高中教科書A版（簡稱新教材），相對于依據舊課標編寫的普通高中課程標準實驗教科書A版（簡稱舊教材）在數學建模視角下也存在如下的變化。

1.增設數學建模版塊，體現完整建模過程

依據舊課標，舊教材是將數學建模以不同的形式穿插、滲透在各內容之中，沒有獨立的數學建模內容。而新教材在必修第一冊中162-166頁，增加了“建立函數模型解決實際問題”版塊，以泡茶時間與飲用口感問題為研究對象，從實例分析、建模過程、建模選題、建模要求、研究報告的形式等角度對數學建模活動進行了說明，以實例的形式體現了提出問題、收集數據、分析數據、建立模型、檢驗模型和求解問題的建模完整過程，為師生提供了一個模板，有利于師生學習、參考，并自主選題開展數學建模活動。

2.注重引入問題內容，彰顯建模應用價值

相比舊教材，新教材更加注重對課題引入問題背景的挖掘，使用了更多具有實際背景的問題引入教學內容。例如，在函數 內容的教學中，新教材以我國古代水利灌溉工具筒車為引入，要求學生用合適的函數模型刻畫盛水桶距離水面的相對高度與時間的關系。再例如，在簡單隨機抽樣內容的教學中，舊教材中設立了食品廠工作人員檢驗餅干衛生的探究問題，但是并沒有具體的數據和解決過程;而新教材中以家具廠為高一學生制作課桌椅為研究問題，具體講解了抽簽法和隨機數法，并展現了信息技術生成隨機數的操作。通過這些問題的解決來引入教學內容，一方面讓學生體會將實際問題抽象成數學模型的過程，另一方面突出了數學建模的價值，培養了學生的應用意識。除此之外，新教材還對舊教材中原有引入問題進行了更新。例如，在函數的概念內容教學中，舊教材原有的3個引入問題為炮彈高度、臭氧層空洞和恩格爾系數問題，而新教材保留了恩格爾系數問題，并增加了“復興號”、工人工資、空氣質量等問題作為課題引入，使得問題更緊跟時代，更貼近學生生活，更能讓學生體會數學的應用價值，同時也為數學教師在課堂中的德育滲透提供了良好素材。

3.增加題目應用背景，逐步積累建模經驗

相對于舊教材，新教材中練習題目數量有所增加，同時更注重題目的實際背景。以對數函數內容的教學為例，舊教材必修1第二章基本初等函數I中，將對數函數的教學內容分為“對數與對數運算”和“對數函數及其性質”兩部分，共有例題9道和習題17道，其中有3道例題和3道習題含有實際應用背景，其內容涉及地震震級的計算、利用碳14推算古墓年代、溶液酸堿度測量、鮭魚耗氧量和聲強級計算等問題。新教材必修第一冊第四章指數函數與對數函數中，將對數函數的教學內容分為“對數”和“對數函數”兩個小節，共有例題9道和習題23道，其中有3道例題和6道習題含有實際應用背景，內容除了舊教材中所涉及的地震能量計算、溶液酸堿度測量、鮭魚耗氧量和聲強級計算等問題，還在習題部分增設了“綜合運用”和“拓廣探索”版塊，增加了網絡比較流行的每天“進步”1%與“落后”1%的問題和社會較為關注的酒駕、房價問題，以及大學數學建模課程中常見的血液中藥物含量問題。新教材通過對例習題應用背景的精心設置，讓學生學會用數學的眼光看時間，逐步提高學生應用數學建模解決實際問題的能力，并在問題解決的過程中，積累數學建模的活動經驗。

4.表述強調數學模型，滲透模型觀點意識

對比新舊教材能夠發現，新教材中有一些語言的表述對數學模型更為強調。例如，在函數的概念內容引入部分，舊教材的表述是：“在初中我們已經學習過函數的概念，并且知道可以用函數描述變量之間的依賴關系。”而新教材的表述是：“在初中我們已經接觸過函數的概念，知道函數是刻畫變量之間對應關系的數學模型和工具。”兩句話雖然意思上差別不大，但是相比舊教材，新教材更為強調函數模型的觀點。再比如，正弦函數、余弦函數的性質教學中，新教材有提到“三角函數是刻畫‘周而復始’現象的數學模型”。可以看出在語言的表述上，新教材“數學建模”一次出現的次數會更多，其實也會在潛移默化之中增強學生的模型意識，讓學生從模型的觀點去理解知識。

綜上可以看出，在新課標的指導下，新教材在數學建模內容方面有所增加，更注意展現數學建模過程的完整性，同時更注重對學生數學建模意識的滲透和數學實踐經驗的積累。因此教師在教學過程中要結合課標，細致分析教材，理解教材編寫意圖的基礎上靈活使用教材，充分收集和利用已有材料，指導學生開展數學建模活動，并在其他知識的學習過程中逐步積累將現實問題抽象成數學模型，從而解決問題的能力，增強學生的應用意識和創新意識。

參考文獻

[1]何小亞.中學數學教學設計（第二版）[M].北京：科學出版社，2012：180.

[2]中華人們共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：5-6.

[3]中華人們共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003：8.