借助操作，讓“剩余”合理

夏寧華

【摘要】《有余數(shù)的除法》是二年級上學(xué)期學(xué)過的《表內(nèi)除法》的后續(xù)和擴(kuò)展，這兩部分內(nèi)容是相互聯(lián)系的，它們具有互補(bǔ)性，也是今后繼續(xù)學(xué)習(xí)多位數(shù)除法和小數(shù)除法的基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用。教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生在動手操作中感知“余數(shù)”的產(chǎn)生，在自我探究中把問題符號化、表征化，通過自己的努力發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，并切身感受到“余數(shù)比除數(shù)小”這一結(jié)論的合理性，從而自主構(gòu)建新的知識體系。

【關(guān)鍵詞】操作 有余數(shù) 合理

一、操作中感悟、認(rèn)識到“平均分有時會有剩余”

1.回顧舊知：把一些物體平均分用除法計算

師：請同學(xué)們先把10支鉛筆分給小朋友，每人分2支，可以分給幾人？在小組里擺一擺。

（1）說一說你是怎樣擺的。

（2）能把擺的過程用算式表示出來嗎？

10+2=5（人）。

師：這個算式是什么意思？

引導(dǎo)學(xué)生說出各個數(shù)字在除法算式里的名稱及讀法。

2.承上啟下：平均分后，有時會有剩余

師：如果把10支鉛筆分給小朋友，每人分3支、4支、5支，可以分給幾人呢？請同學(xué)們擺一擺，并小組交流：

（1）仔細(xì)觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）能把你的想法用算式表示出來嗎？

生1：10+3=3人余1支。

生2：10+4=2人余2支。

生3：10+5=2（人）。

筆者接著引導(dǎo)學(xué)生：“這里的數(shù)是有單位的，規(guī)范算式的寫法：10+3=3（人）……1（支），這種寫法既簡單又美觀。”

師：誰來說說這個算式表示的意思？

通過自己動手分鉛筆，學(xué)生們很容易理解這個算式表示的意思。從剛才的操作過程中，我們還抽象出一組算式，填寫在表格內(nèi)。

3.感悟認(rèn)識：初步認(rèn)識有余數(shù)除法的意義

師：同學(xué)們，今天我們分了2次鉛筆，在這2次分配過程中有什么相同的地方，又有什么不同的地方呢？先小組同學(xué)討論，再回答。

觀察表格中的這些算式，引導(dǎo)學(xué)生自己做總結(jié)：“平均分”會出現(xiàn)兩種情況，一種是“沒有剩余”，比如：10+2=5，10+5=2;另一種是“有剩余”，比如：10+3=3……1，10+4=2……2，不夠分的那部分就是余數(shù)，“余數(shù)”這個概念的揭示就水到渠成了。

反思：教學(xué)中，筆者首先通過“將10支鉛筆平均分，每人分2支、3支、4支、5支，可以怎么分”的操作，讓學(xué)生在分東西的過程中形成：無論是按每幾個一份去分，還是平均分成幾份，都會出現(xiàn)“正好分完”和“有剩余”兩種情況。接著在這樣的圖像表征中逐步建立“余數(shù)”“有余數(shù)除法”的概念，引入有余數(shù)的除法，同時揭示“有余數(shù)的除法”算式，以及“余數(shù)”的概念。然后是有余數(shù)的除法橫式和沒有余數(shù)（表內(nèi)）除法的橫式的對比，通過結(jié)合操作過程讓學(xué)生在對比中，理解有余數(shù)的除法的橫式中各部分的名稱，以及每個數(shù)表示的含義。通過這樣的對比，不僅可以喚起學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，加深學(xué)生對有余數(shù)除法的理解，還可以使學(xué)生感受到知識之間的聯(lián)系，實現(xiàn)對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的擴(kuò)展，為建構(gòu)合理的知識結(jié)構(gòu)提供有力的支撐。

二、操作中比較、歸納出“余數(shù)都比除數(shù)小”

1.列式填表：不同情況的平均分會怎樣

師：剛剛我們是把10支鉛筆平均分的，現(xiàn)在我們再試一試其他情況。我們知道，4根小棒擺1個正方形，8根小棒可以擺2個，像這樣用12、13、14、15、16根小棒擺正方形，結(jié)果會怎樣？

師：如果用17根小棒去擺，會得到怎樣一道算式呢？出現(xiàn)了這樣兩種情況：

2.比較歸納：余數(shù)都比除數(shù)小

師：你覺得哪道算式正確？為什么？在小組內(nèi)交流一下。

通過交流，大家形成了統(tǒng)一的見解，“17+4=4（個）……1（根）”這道算式是正確的，他們認(rèn)為：

生1：如果余5根，我們就可以再擺1個正方形了，所以余數(shù)不可能是5。

生2：17+4，最大可以商4，四四十六，所以應(yīng)該是17+4=4（個）……1（根）。

生3：我們可以觀察前面已經(jīng)得到的算式，會發(fā)現(xiàn)余數(shù)只有1、2、3這三種情況，也就是余數(shù)都會比除數(shù)小。

師：為什么“余數(shù)都比除數(shù)小”呢？

生：除數(shù)是4，如果余下的數(shù)又滿4根，表示剩下的小棒中還夠擺一個正方形，那就沒有分完，要繼續(xù)擺下去，直到不夠擺為止，那么余下的數(shù)只可能比4小。所以在有余數(shù)的除法里，余數(shù)都比除數(shù)小。

反思：在教學(xué)中，我們要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)知識入手，在具體的生活情境中去理解數(shù)學(xué)知識，利用具體、直觀、形象的活動材料，變知識傳授為學(xué)生動手探究，讓學(xué)生經(jīng)歷把生活問題“數(shù)學(xué)化”的過程，在操作、觀察、猜測和歸納等活動中，不斷豐富學(xué)生的表象，不斷增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識，在相互交流、比較、吸引的基礎(chǔ)上逐步抽象出數(shù)學(xué)知識，形成學(xué)生的認(rèn)知。在操作中得出一組算式，是順理成章的。重要的是接下來的觀察、比較活動，“余數(shù)為什么都比除數(shù)小？”這個結(jié)論不是教師強(qiáng)加給學(xué)生的，而是學(xué)生在自己的操作中觀察、思考、交流，有效地把握生成資源得出的結(jié)論，因此這個結(jié)論是“合理”的。在活潑、有序和高效的課堂中，讓學(xué)生在師生、生生互動中進(jìn)一步辨清概念、理清思路，由原有的“一”個問題，再看到了引發(fā)的“眾”多問題，找到它們的相同之處，在自然而然中掌握了新知，突破了難點。

總評：對“余數(shù)的認(rèn)識”“有余數(shù)除法算式的認(rèn)識”以及“余數(shù)都比除數(shù)小”這一難點的理解，都是利用直觀操作完成的，從直觀的操作到符號的表征，讓學(xué)生從多方面、多角度去理解所學(xué)的知識，并在過程中順利實現(xiàn)“操作過程、語言表達(dá)和符號表征”之間的聯(lián)結(jié)，從而達(dá)到學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的真正理解。因此，我們在教學(xué)中應(yīng)豐富感性材料，讓學(xué)生在具體的情境中去體驗、去感悟，形成概括性的認(rèn)識。在學(xué)生初步建立概念的過程中，往往需要大量的事實來做支持。本節(jié)課中筆者通過大量的操作活動，學(xué)生感悟、體驗出“平均分”時，如果沒有正好全部分完，就可以用“有余數(shù)的除法”來表示，“什么是余數(shù)、什么樣的算式是有余數(shù)的除法算式”合理生成。接著繼續(xù)在學(xué)生喜愛的操作活動中，比較、歸納出“余數(shù)都比除數(shù)小”這一結(jié)論。雖然在擺的過程和學(xué)生的交流中，課堂秩序有點難以把控，但我們只要合理分工、有序操作，學(xué)生的自主創(chuàng)造、自由發(fā)展就會有很大的提升。活動中，學(xué)生們經(jīng)歷了由具體現(xiàn)象歸納出數(shù)學(xué)概念的過程，又經(jīng)歷了利用具體實例說明數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，使學(xué)生既獲得了數(shù)學(xué)知識，又增長了學(xué)習(xí)智慧。

為學(xué)生提供更多的操作、探索的平臺，使學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題時，能用自己的親身實踐去感受、去體驗，從而歸納出數(shù)學(xué)的奧秘，這是每一位數(shù)學(xué)教師都應(yīng)積極努力去做的一件事。