全概率公式對后繼試驗(yàn)的限制

王佳祺

摘 要：指出了全概率公式對后繼試驗(yàn)的限制，通過一道例題的兩種解法加以具體說明，分別運(yùn)用公式算法和文氏圖法進(jìn)行深入剖析，從而詳細(xì)地闡述了全概率公式存在這種限制的原因，方便解題時(shí)有效避免誤區(qū)，對教學(xué)和實(shí)踐有一定意義.

關(guān)鍵詞：全概率公式;條件概率;文氏圖

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）03-0020-02

全概率公式是概率論中常用且重要的公式，對樣本點(diǎn)的判斷及對概率的計(jì)算一直是概率論中的難點(diǎn)，全概率公式通過簡單易知的概率計(jì)算復(fù)雜的概率，化繁為簡，大大降低了判斷與計(jì)算的難度.然而在使用時(shí)應(yīng)當(dāng)注意，全概率公式不僅要求確定先行試驗(yàn)的完備事件組，對后繼試驗(yàn)也存在限制，下面將以一道例題的兩種解法為引，對全概率公式的這種限制進(jìn)行詳細(xì)的說明.

一、全概率公式及相關(guān)定理

定義1 設(shè)有樣本空間Ω及其隨機(jī)試驗(yàn)E，空間內(nèi)有隨機(jī)事件A1，A2，…，An，如若滿足下列條件：

（1）Ai∩Aj=（i≠j）;

（2）A1∪A2∪…∪An=Ω.

則A1，A2，…，An對樣本空間進(jìn)行了分割，并稱為樣本空間的完備事件組.

定義2 設(shè)樣本空間Ω內(nèi)有隨機(jī)試驗(yàn)E，A，B是其中兩個(gè)隨機(jī)事件，P（A）>0，則稱P（B|A）=P（AB）P（A）為A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，稱為條件概率.

為方便論述，稱事件A條件下的事件B即（B|A）為條件事件.

定理1 全概率公式.設(shè)有樣本空間Ω的完備事件組A1，A2，…，An，其中P（Ai）>0（i=1，2，…，n），B為任意事件，則

P（B）=∑ni=1P（Ai）P（B|Ai）①

我們稱事件Ai所對應(yīng)的試驗(yàn)為先行試驗(yàn)，事件B所對應(yīng)的試驗(yàn)為后繼試驗(yàn)，全概率公式就是通過先行試驗(yàn)的概率計(jì)算后繼試驗(yàn)的概率，證明這里不再論述.二、全概率公式對后繼試驗(yàn)的限制

下面請看這樣一道例題以及它的兩種解法：

例 有三個(gè)一模一樣的抽屜，每個(gè)抽屜中分別裝有球的個(gè)數(shù)為10個(gè)、20個(gè)、25個(gè)，每個(gè)抽屜中有紅球和白球，球只有顏色不同，其中紅球個(gè)數(shù)分別為4個(gè)、10個(gè)、15個(gè).先隨機(jī)選取一個(gè)抽屜，再從抽屜中依次摸兩個(gè)球.求在第一次摸到紅球的條件下，第二次還是摸到紅球的概率.

解法1 記Ai={選中第i個(gè)抽屜}，i=1，2，3，C={第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球}.

P（Ai）=13

P（C|A1）=39，P（C|A2）=919，P（C|A3）=1424

由全概率公式得

P（C）=P（A1）P（C|A1）+P（A2）P（C|A2）

+P（A3）P（C|A3）

=13×39+13×919+13×1424

=317684

②

解法2

記Ai={選中第i個(gè)抽屜}，i=1，2，3，Bj={第j次摸到紅球}，j=1，2.

P（Ai）=13

P（B1|A1）=410，

P（B1|A2）=1020，

P（B1|A3）=1525

由全概率公式得

P（B1）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B1|A2）

+P（A3）P（B1|A3）

=13×410+13×1020+13×1525

=12

P（B1B2|A1）=4×310×9=215，

P（B1B2|A2）=10×920×19=938，

P（B1B2|A3）=15×1425×24=720

由全概率公式得

P（B1B2）=P（A1）P（B1B2|A1）+P（A2）P（B1B2|A2）+ P（A3）P（B1B2|A3）

=13×215+13×938+13×720=8213420

由條件概率公式得

P（B2|B1）=P（B1B2）P（B1）=821342012=8211710.

其中解法1是同濟(jì)版概率論習(xí)題全解中用到的方法.兩種方法同樣是運(yùn)用條件概率和全概率公式解題，然而卻得到不同的結(jié)果，這是為什么呢？其實(shí)解法1是存在問題的，它隱含了一個(gè)公式：P（C|Ai）=P（（B2|B1）|Ai）=P（B2|AiB1），這并非定理，只是人們從理解上約定俗成的公式，而解法1在計(jì)算時(shí)用到了這一公式.雖然②形式上它是符合全概率公式的，可是我們換種方式就可以發(fā)現(xiàn)這種問題了.

由于P（C）=P（B2|B1），事件C與事件（B2|B1）是等價(jià)的，故P（C|Ai）=P（B2|AiB1）=P（AiB1B2）P（AiB1），于是②公式左側(cè)為P（C）=P（B2|B1）=P（B1B2）P（B1），公式右側(cè)為

∑3i=1P（Ai）P（C|Ai）=∑3i=1P（AiB1B2）P（AiB1）×P（Ai）=∑3i=1P（Ai|B1B2）P（B1B2）P（Ai|B1）P（B1）×P（Ai）公式左側(cè)和右側(cè)只有在∑3i=1P（Ai|B1B2）P（Ai|B1）×P（Ai）=1時(shí)成立，一般情況下都不成立.

我們也可以通過文氏圖觀察這個(gè)問題：

圖1

整個(gè)矩形是樣本空間Ω，Ω={選中第i個(gè)抽屜并摸兩個(gè)球}，它被事件A1、A2、A3平分成三部分，由圖1可知，所求概率P（C）=P（A1B1B2）+P（A2B1B2）+P（A3B1B2）P（A1B1）+P（A2B1）+P（A3B1）=P（B1B2）P（B1），而公式②右端∑3i=1P（Ai）P（C|Ai）=∑3i=1P（AiB1B2）P（AiB1）×P（Ai）在圖中可知是沒有意義的.

綜上，全概率公式中后繼試驗(yàn)所對應(yīng)的事件B不能是條件事件，或者說在P（B）為條件概率時(shí)全概率公式不成立，須直接應(yīng)用條件概率公式解題，全概率公式只可間接應(yīng)用于非條件事件.

當(dāng)定義后繼試驗(yàn)的事件B為某一條件下的事件時(shí)，不可使用全概率公式，這一點(diǎn)我們用例題中的方法對全概率公式兩端計(jì)算即可得知，這里不再贅述.最本質(zhì)的原因在于：若P（B）=P（B2|B1），我們計(jì)算時(shí)通常認(rèn)為P（B|A）=P（B2|AB1），而條件事件的運(yùn)算并沒有被定義，這個(gè)公式用于計(jì)算時(shí)就會發(fā)生錯(cuò)誤，造成全概率公式兩端不相等.所以，我們在解題時(shí)應(yīng)當(dāng)注意只把條件事件用于條件概率，避免形式正確而實(shí)質(zhì)錯(cuò)誤的情況.

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：人民郵電出版社，2017（20）.

[2]李全忠，劉長文，王希超.全概率公式的不足與改進(jìn)[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（2）：173-176.

[3]楊筱菡，王勇智.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題全解與學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].北京：人民郵電出版社，2018：26.

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