圓柱形葉片單圓弧型線的繪形及分析*

陳 月，宋小娟，楊鈞凱，王 桃

（西華大學能源與動力工程學院，四川 成都610039）

圓柱形葉片是低比轉速離心泵葉輪的基本葉片形式。葉片的水力性能是由葉片的幾何形態決定的，而葉片的幾何形態又可以葉片軸面投影圖和平面投影圖兩個圖樣表達。為提高圓柱形葉片的效率等性能指標，眾多學者在改進圓柱形葉片的繪形方法方面展開了長期的研究，并取得了許多有價值的成果。文獻[1]描述了葉輪流道的平面投影和軸面投影的繪圖原則；文獻[2]給出了準確的此類葉片的三維建模方法。圓柱形葉片表面的傳統平面投影圖有：單圓弧、多圓弧、等變角螺線、非等變角螺線、漸開線等等[3-9]。單圓弧曲線葉片具有結構簡單、造型方便且沿曲線曲率半徑無變化等優點，是一種在設計實踐中最早使用且使用至今的葉片型線。為方便設計人員準確、快捷地繪形這種有優勢的葉片投影，課題組將介紹兩種單圓弧曲線的繪形新方法，并給出其包角的計算式。

1 圓柱形葉片投影概述

在設計實踐中，應根據前期已計算確定的葉輪幾何參數首先繪制葉片的軸面投影圖，如圖1所示。其中，b2、R2、R0應等于理論計算值。同時，應在軸面圖上確定葉片進口邊，還必須精確計算進口邊和后蓋板流線交點處的葉片安放角，以及這一角度在與葉輪軸心線垂直的平面上的投影角β1，并確定葉片進口邊與前、后蓋板流線相交處的半徑R1A、R1B。葉片出口安放角在上述平面上的投影可認為近似不變，等于前期計算的β2。

圖1 葉片軸面投影圖Fig.1 Meridional section of blade

圓柱形葉片有一不同于扭曲葉片的重要特點：葉片工作面與前蓋板內表面相交所得交線是一空間曲線；葉片工作面與后蓋板內表面相交所得交線也是一空間曲線。上述兩條空間曲線在與葉輪軸心線垂直平面上的投影是兩條平面曲線，葉片工作面本身在這一平面的投影是第三條平面曲線，這三條平面曲線是重合的，而扭曲葉片則不具有這一特點。由于葉片工作面與后蓋板內表面相交曲線有最大包角，在平面上，繪形葉片工作面投影實質上是繪形葉片工作面與后蓋板內表面的相交曲線的平面投影。

這一平面投影曲線顯然應滿足如圖2所示的邊界條件：平面曲線應位于平面上半徑分別為R2、R1B的兩個同心圓之間，曲線在出口與進口處的兩切線與圓周的兩切線的夾角分別為β2、β1。

圖2 葉片平面投影圖Fig.2 Plane view of blade

2 單圓弧投影繪形新方法

下面給出滿足上述邊界條件的單圓弧曲線兩種繪形新方法。

2.1 方法一概述

如圖3所示，R1、R2、β1、β2已知。

圖3 單圓弧曲線繪形Fig.3 Single circular arc drawing

1）繪小圓半徑OK，與大圓半徑OB夾角為β1+β2；

2）延長BK交小圓于另一點A；

3）過B點作BG與大圓半徑OB夾角，為β2；

4）作BA中垂線，交BG于G，則有GA=GB；

5）以G為圓心，GA（GB）為半徑，作弧過A和B，此弧即為所求。

下面證明這樣繪形的曲線滿足給定的邊界條件，因而是一條可行曲線。

如圖4所示，在曲線出口處，有以G為圓心、GB為半徑的一圓弧，在B點作BM與這一圓弧相切，那么BM⊥GB。

圖4 投影曲線的出口結構Fig.4 The exit structure of the projection curve

由于BN與大圓相切，從而BN⊥OB，那么∠NBM就是葉片出口安放角，且∠NBM=π/2－∠OBM，又因∠GBO=π/2－∠OBM，所以∠NBM=∠OBM-β2，即葉片出口角等于給定值。

如圖5所示，在曲線進口處，作AM垂直于GA，AN垂直于OA，則AN是與小圓相切的圓周方向，AM是曲線進口處切線方向，∠NAM是葉片進口安放角。由于∠NAM和∠OAG都與∠GAN互余，因而∠NAM=∠OAG。

圖5 投影曲線進口結構Fig.5 Inlet structure of projection curve

下面只需要證明∠OAG=β2。在圖3中，由于G點是AB中垂線上的一點，由此GA=GB，進一步還有∠GAB=∠GBA，且：

上式中，α是等腰三角形OKA的底角。則∠GAB=∠GBA=α-β1。

又∠OAG+∠GAB=∠OAK，即∠OAG+α-β1=α，故∠OAG=β1，從而∠NAM=∠OAG=β1。

由此可見，所繪圓弧兩端點分別在大、小圓上，且曲線在與兩圓交點處的切線方向是要求的方向，因而這是一條滿足邊界條件的、可行的投影曲線。

2.2 方法二概述

在圖3中，R1、R2、β1、β2已知。

1）繪小圓半徑OK，與大圓半徑OB夾角為β1+β2；2）延長BK交小圓于另一點A；

3）過B作BG與大圓半徑OB夾角為β2；4）過A作AG與小圓半徑OA夾角為β1；5）設BG、AG交于G點，則有GA=GB；6）以G點為圓心，GA（GB）為半徑作弧過A、B兩點，這段弧就是葉片的表面投影，如圖3所示。

下面只需要證明GA=GB，即可證明該曲線為可繪制曲線，且曲線為葉片表面的平面投影。

在圖3中，設等腰三角形OAK底角大小為α。易得：

另一方面，∠GAB=α-∠GAO=α-β1，從而三角形GAB是等腰三角形，即GA=GB。

綜上，以G為圓心、以GA（GB）為半徑可以繪形一圓弧與大、小圓相交。由方法一，兩交點處曲線的切線與圓周切線的夾角正是給定的葉片安放角。因此，根據本方法，不僅繪形曲線是可行的，且所繪曲線滿足給定的邊界條件。

3 葉片包角的計算

葉片包角是葉片的一個重要幾何指標，這一角度值關系到葉片間流道的擴散度和葉片摩擦面積，因而與葉片水力效率關聯密切。下面將導出以葉片進出口邊界條件表示的這一角度計算式。

在圖3的三角形OBK中，由余弦定理，有：

在同一三角形中，由正弦定理，有：上式即：

令等腰三角形OAK的底角∠OKA=α，由于α是三角形OBK的一個外角，因而有：

等腰三角形的頂角∠KOA顯然為：

由此得到葉片包角∠BOA的最終計算式：

4 總結

單圓弧是使用最早也最普遍的圓柱形葉片型線。文中給出了這種型線兩種獨立的繪形新方法，并以數學分析方法證明了這樣形成的平面曲線滿足給定的邊界條件，因而方法是可行的。同時，導出了這種曲線以其邊界條件表達的包角表達式。