葉片泵葉片相關幾何要素的分析與計算*

楊 瑩，黃宇欣，鄒科杰，王 桃

（西華大學能源與動力工程學院，四川 成都610039）

扭曲葉片和圓柱形葉片是離心泵及混流泵等葉片泵的基本葉片形式。這兩類葉片都具有形態復雜的二維或三維的表面，葉片的各種厚度和角度關系多樣[1-3]。在葉片設計繪形的過程中，有時必須對葉片各種線性尺寸及角量進行換算，包括計算流面上的葉片安放角在某些特定平面上的投影角度，確定葉片表面與蓋板表面的夾角[4-5]。盡管在一些相關的文獻中，公布了某些應用型的計算公式[6-8]，但并未給出公式的導出過程，甚至對公式中的幾何項說明也不夠充分。在不理解公式來源的條件下，難以對公式產生深刻的認識和印象，也難以準確自如地應用它們。為彌補過去文獻中的這一不足，課題組以數學分析為依據，較詳盡地闡明了上述兩種重要公式各項的幾何意義及它們的相關關系，層次分明地導出公式的最終形式，由此幫助讀者對公式反映的幾何關系有更深刻的認識。

1 公式ctgγ=ctgλcosβ的推證

該公式用于計算葉片表面與流面（蓋板表面）之間的夾角。

如圖1所示，AD為葉片M與流面N的交線，軸面AEF與AD交于點A。由于軸面AEF與任一流面都正交，也一定與流面N正交，從而可在流面N內過點A作AG與軸面垂直，故AG是圓周方向。因此，∠GAD是流面N內圓周方向AG和葉片M與流面N的交線AD的夾角，即點A處葉片安放角β。

圖1 葉片表面與流面夾角關系Fig.1 Relationship between blade surface and the flow surface

葉片M與流面N相交，得到交線AD。

流面N與軸面AEF相交，得到交線AF。

葉片M與軸面AEF相交，得到交線AE。

以上三條交線交于點A。

在AD上任意一點D作一平面垂直于AD，且交AD于D，交AE于E，交AF于F，可見DEF共面（垂直于AD的平面），線段EF位于三角形DEF所在平面內。

下面證明EF與流面N垂直：AD垂直于平面DEF，當然也垂直于平面內的線段EF，線段EF在三角形DEF所在平面上，也在軸面上，AG垂直于軸面，當然也垂直于軸面中的EF。這樣，EF垂直于流面N中的AG和AD，AG和AD是相交線段，故EF垂直于流面N。所以在平面DEF中，∠DFE=π/2，ctgλ=AF/EF，∠λ定義為在軸面內看到的軸面與流面交線AF和軸面與葉片表面交線AE（軸面截線）的夾角。AD垂直于平面DEF，自然垂直于平面中的DF，cosβ=cos(π/2-α)=sinα=DF/AF。

在直角三角形DEF中，ctgγ=DF/EF，從而有結果：

∠γ定義為葉片表面與流面（蓋板表面）的夾角。

分析式（1）可以得出：1）如果β=90°，即葉片表面與軸面重合，則cosβ=0，于是ctgγ=0，γ=90°，這時，不論軸面上λ等于多少，葉片都與流面（蓋板表面）垂直。2）如果λ=90°，雖然β≠90°，圖中γ也一定為0，即只要軸面上λ=90°，葉片都與流面（蓋板表面）垂直。3）如果β≠90°（一般都不相等），軸面上λ≠90°，葉片與流面（蓋板表面）一定不垂直。

2 公式tanβ平=tanβcosδ的推證

該公式用于計算流面上一個葉片安放角β與它在和葉輪軸心線垂直的一個平面上的投影角β平的關系。

如圖2所示，葉輪軸心線垂直于N面，既然N面與葉輪軸心線垂直，它與流面M的交線是一個圓周AD，故∠EAD是流面M內葉片表面AEF與流面M的交線AE和圓周方向AD夾角，即葉片安放角β。

圖2 葉片安放角與其在軸垂面的投影的關系Fig.2 Relationship between blade angle and its projection on a plane

圓周AD與任意一個軸面都正交，也與軸面DEF正交，故∠ADE=90°，tanβ=ED/AD。

軸面DEF包含了葉輪軸心線，在軸面內作EF’平行于軸心線，交N面于F’。由于葉輪軸心線與N面垂直，EF’也必然與N面垂直，且與N面內AF’、AD都垂直，于是三角形AF’E和軸面內三角形DF’E都是直角三角形，∠EF’A=90°，∠EF’D=90°。EF’、AF’都不在葉片內，AF’是葉片AEF和流面M的交線AE在軸垂面N上的投影，∠F’AD是葉片安放角β在N面的投影，即角β平，且有tanβ平=DF’/AD，cosδ=DF’/ED。

由圖2可知，∠δ是在軸面內看到的，是軸面DEF與軸垂面N的交線和軸面DEF與流面M的交線的夾角。從而得到：

在文獻[4]中，通過不同的推導途徑，作者導出了tanβ平=tanβsinλ。這里角λ的含義已在上節作了說明，由于λ與δ互余，從而sinλ=cosδ，因而兩個β平的表達式實質是一樣的。

在本課題涉及的一些經典文獻中，往往將圖2中F、F’兩點重合繪制為一點，AF和AF’重合繪制為一條線段。應當指出，這種簡化并不恰當，因為葉片表面與N面一般不垂直。

3 結束語

在葉片泵葉輪的設計中，要經常性地換算葉片的局部相關線性尺寸及角度。葉片表面與前后蓋板的夾角以及流面上葉片安放角在與葉輪軸心線垂直的平面上的投影角度，是兩個重要的幾何量，它們的相關關系復雜，計算有一定的難度。盡管過去的一些文獻公布了應用型的計算公式，但并未給出公式的導出過程和應用條件，導致設計人員難以對兩個公式產生深刻的印象，妨礙他們從根本上理性認識公式的幾何內涵。為克服這一不足，課題組通過詳盡的數學分析，給出了兩個公式系統的推證過程，為葉輪設計人員提供了有意義的參考。