基于新維無偏灰色馬爾可夫模型的小麥產(chǎn)量預(yù)測

李曄 白雪

摘要：針對小麥產(chǎn)量具有較大波動性的特點，結(jié)合灰色預(yù)測模型和馬爾可夫理論，同時利用新信息優(yōu)先的思想，以河南省2010—2019年小麥產(chǎn)量作為原始數(shù)據(jù)建立無偏灰色GM（1，1）模型、無偏灰色馬爾可夫模型和新維無偏灰色馬爾可夫模型，并對比3種模型的預(yù)測精度。結(jié)果表明，新維無偏灰色馬爾可夫模型能提高預(yù)測精度，適合中長期預(yù)測，并預(yù)測出河南省未來5年的小麥產(chǎn)量數(shù)據(jù)。

關(guān)鍵詞：河南省;小麥;新維無偏灰色馬爾可夫模型;產(chǎn)量預(yù)測

中圖分類號： F326.11? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號：1002-1302（2021）15-0181-05

收稿日期：2020-10-26

基金項目：河南省高等學(xué)校重點科研項目（編號：20A630015）;河南省軟科學(xué)研究計劃（編號：182400410375）;河南省高等學(xué)校人文社會科學(xué)研究一般項目（編號：2020-ZDJH-140）。

作者簡介：李 曄（1972—），女，河南南陽人，碩士，教授，主要從事灰色系統(tǒng)和物流管理研究。E-mail：zzliye@163.com。

糧食問題是關(guān)系國計民生的重大戰(zhàn)略問題，解決好糧食問題是人類生存和發(fā)展的社會基礎(chǔ)[1-2]。隨著全球新冠肺炎疫情不斷的發(fā)展蔓延，糧食安全的意義更為突出。2020年5月份的全國兩會期間，習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)“農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)地位任何時候都不能忽視和削弱，手中有糧、心中不慌在任何時候都是真理”。河南省是我國的糧食主產(chǎn)省，小麥生產(chǎn)作為河南省糧食生產(chǎn)的主導(dǎo)產(chǎn)業(yè)，其產(chǎn)量高低不僅關(guān)系到河南省的經(jīng)濟(jì)發(fā)展，還關(guān)系到我國糧食供需平衡和生產(chǎn)安全。因此，科學(xué)準(zhǔn)確地預(yù)測河南省的小麥產(chǎn)量，對保障我國糧食安全具有十分重要的價值和意義。

目前國外預(yù)測糧食產(chǎn)量的方法主要有氣象產(chǎn)量預(yù)測法[3]、遙感技術(shù)[4]和統(tǒng)計動力學(xué)模擬法[5]這3種。它們的預(yù)測提前期一般為2個月左右，預(yù)測誤差為產(chǎn)量的5%～10%，精度較低。國內(nèi)預(yù)測糧食產(chǎn)量的方法主要分為2類。一類是傳統(tǒng)的線性建模預(yù)測法，主要包括投入產(chǎn)出模型預(yù)測法，線性回歸預(yù)測法和指數(shù)平滑法等。陳錫康等利用投入占用產(chǎn)出技術(shù)預(yù)測了我國未來幾年的糧食產(chǎn)量[6];劉東等基于向前選擇法的多元線性回歸模型來預(yù)測糧食產(chǎn)量的發(fā)展趨勢[7];何延治等利用時間序列分析中的 ARIMA（p，d，q）模型預(yù)測了吉林省糧食產(chǎn)量[8];吳越等分別使用Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑法和ARIMA模型預(yù)測2019—2023年長三角地區(qū)的糧食產(chǎn)量，預(yù)測效果理想[9]。另一類是非線性模型預(yù)測法，主要包含灰色預(yù)測、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、馬爾可夫模型和粗糙集理論等。樊超等利用灰度極限學(xué)習(xí)機(jī)模型預(yù)測我國糧食產(chǎn)量，為準(zhǔn)確預(yù)測短期糧食產(chǎn)量提供了一種新的技術(shù)手段[10];李炳軍等利用灰色區(qū)間預(yù)測和 GM（1，N） 模型分別預(yù)測了我國主要糧食的需求量和產(chǎn)量[11];楊陽利用尾端殘差修正的 GM（1，1） 模型預(yù)測了我國人均糧食產(chǎn)量，預(yù)測精度提高[12];郭亞菲等利用粒子群優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型預(yù)測糧食產(chǎn)量，為糧食產(chǎn)量預(yù)測提供了新的途徑[13];尹宗成基于粗糙集理論預(yù)測了我國的糧食產(chǎn)量[14];張文政等通過比較線性回歸、支持向量機(jī)和隨機(jī)森林這3種方法的預(yù)測精度[15]，最后選用精度較高的支持向量機(jī)預(yù)測了遼寧省的糧食產(chǎn)量。

線性建模預(yù)測法雖然建模簡單，容易實現(xiàn)，可以清楚地了解各個變量之間的關(guān)系，但是需要收集大量數(shù)據(jù)才能提高預(yù)測的精度，而且僅適用于短期糧食產(chǎn)量預(yù)測。非線性模型預(yù)測法彌補(bǔ)了傳統(tǒng)預(yù)測方法的許多缺陷，然而由于小麥生產(chǎn)受氣候、環(huán)境和政策等多種因素影響，導(dǎo)致其產(chǎn)量數(shù)據(jù)具有較大的波動性。以上預(yù)測方法均不適合對隨機(jī)波動性較大的小麥產(chǎn)量進(jìn)行中長期預(yù)測。

為了彌補(bǔ)這一缺陷，提高河南省小麥產(chǎn)量的預(yù)測精度，解決中長期預(yù)測的波動問題，本研究采用新維無偏灰色馬爾可夫模型[16-17]進(jìn)行分析預(yù)測。在無偏GM（1，1）模型的基礎(chǔ)上利用馬爾可夫鏈修正預(yù)測值殘差，同時引入新信息優(yōu)先的思想，不斷更新原始數(shù)據(jù)，應(yīng)用于河南省小麥產(chǎn)量預(yù)測，不僅保留了短期預(yù)測的高精度，而且提高了中長期的預(yù)測精確度。

1 模型構(gòu)建

1.1 無偏GM（1，1）模型的構(gòu)建

吉培榮等對傳統(tǒng)GM（1，1）模型的性質(zhì)做了相關(guān)研究，證明傳統(tǒng)GM（1，1）模型是有偏差的指數(shù)模型，基于此提出無偏GM（1，1）模型[18]。具體建模過程如下：

設(shè)原始序列為

X（0）=[x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）]。（1）

其中，x（0）（k）≥0，k=1，2，…，n。

（1）對X（0）做一次累加生成得

X（1）=[x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）]。（2）

其中，

x（1）（k）=∑ki=1x（0）（i），k=1，2，…，n。（3）

（2）確定數(shù)據(jù)矩陣B，Y。

B=-12[x（0）（1）+x（1）（2）]1

-12[x（1）（2）+x（1）（3）]1

-12[x（1）（n-1）+x（1）（n）]1，

Y=x（0）（2）x（0）（3） x（0）（n）。（4）

（3）使用最小二乘法，計算參數(shù)估計量a，u。

a^=[a，u]T=（BTB）-1BTY。（5）

（4）計算無偏灰色GM（1，1）模型的參數(shù)b，A。

b^=ln2-a2+a A^=2u2+a。（6）

（5）建立原始數(shù)據(jù)序列模型。

x^（0）（1）=x（0）（1），x^（0）（k+1）=Aebk，k=1，2，…，n。（7）

其中，x^（0）（k+1）在k=1，2，…，n-1時為原始序列的擬合值，在k≥n時為原始序列的預(yù)測值。

1.2 無偏灰色馬爾可夫模型的構(gòu)建

馬爾可夫模型通過狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率對系統(tǒng)將來的發(fā)展趨勢做出預(yù)測，可對隨機(jī)波動序列進(jìn)行長期預(yù)測[19]。無偏灰色馬爾可夫模型是將無偏 GM（1，1） 模型和馬爾可夫模型相結(jié)合建立的[20]。具體步驟如下：

（1）建立無偏GM（1，1）模型，

得到無偏灰色預(yù)測值：X^（0）（1）=X（0）（1），X^（0）（k+1）=Aebk，k=1，2，…，n。

（2）計算預(yù)測值與實際值之間的相對誤差。

Q=x（0）（it）-x^（0）（it）x（0）（it）×100%。（8）

（3）狀態(tài)劃分。

根據(jù)預(yù)測值與實際值之間相對誤差的大小將樣本數(shù)據(jù)劃分為若干狀態(tài)，任一狀態(tài)可記為 Ei∈[1i，2i]，i=1，2，…，s，其中s為劃分的狀態(tài)數(shù)目，灰元1i和2i分別表示第i種狀態(tài)的上下界。s和1i、2i視具體情況而定。

（4）構(gòu)造狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

設(shè)N（n）ij為由狀態(tài)Ei經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移到Ej的頻數(shù)，Ni為狀態(tài)Ei出現(xiàn)的頻數(shù)，則由狀態(tài)Ei經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移到Ej的概率為

p（n）ij=N（n）ijNi，i，j=1，2，…s。（9）

從而得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為

p（n）=p（n）11p（n）12…p（n）1s

p（n）21p（n）22…p（n）2s

p（n）s1p（n）s2…p（n）ss。（10）

（5）計算預(yù)測值。

結(jié)合狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，確定系統(tǒng)將來最可能所處的狀態(tài)，進(jìn)一步得出預(yù)測值的變動區(qū)間[1i，2i]，取此區(qū)間的中值作為修正值y，具體公式為

y=x^（0）（k）×1±12（1i+2i）。（11）

1.3 新維無偏灰色馬爾可夫模型的構(gòu)建

隨著時間的不斷推移，灰色系統(tǒng)中會有一些隨機(jī)擾動因素不斷加入，從而影響系統(tǒng)發(fā)展;預(yù)測的時間越遠(yuǎn)，模型的精度越低。為了提高模型的預(yù)測精度，引入新維無偏灰色馬爾可夫模型[21]，對原始數(shù)據(jù)序列做等維信息處理，即將最新得到的預(yù)測值加入到已知序列，同時刪去序列中的第1個數(shù)據(jù)，然后對新得到的數(shù)據(jù)序列再次進(jìn)行無偏灰色馬爾可夫預(yù)測，這樣反復(fù)對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行實時修正，直到完成預(yù)測目標(biāo)。由于新維無偏灰色馬爾可夫模型不斷增加新信息并同時刪除舊信息，得到的新序列可以更好地反映系統(tǒng)的當(dāng)前特征，進(jìn)而提高中長期的預(yù)測精度[22-23]。

2 基于新維無偏灰色馬爾可夫模型的河南省小麥產(chǎn)量預(yù)測

河南省小麥產(chǎn)量受環(huán)境、天氣和政策等多方面因素的影響，具有較大的波動性，有效預(yù)測河南省小麥產(chǎn)量的變化趨勢，提升預(yù)測精度，是增加其產(chǎn)量的關(guān)鍵。無偏GM（1，1）模型適用于預(yù)測隨機(jī)波動性不大的時間序列變化趨勢，如果用來預(yù)測波動性較大的小麥產(chǎn)量數(shù)據(jù)會使其預(yù)測精度變差[24]。馬爾可夫模型適用于具有非平穩(wěn)隨機(jī)特點的序列預(yù)測，因此，結(jié)合無偏GM（1，1）模型與馬爾可夫模型，使2個模型優(yōu)勢互補(bǔ)，能夠預(yù)測序列的發(fā)展趨勢且提高預(yù)測精度，在小麥產(chǎn)量預(yù)測方面有較強(qiáng)的理論意義和實用價值。

選取2010—2019年的河南省小麥產(chǎn)量數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)（表1），數(shù)據(jù)源于《河南省統(tǒng)計年鑒》。

2.1 無偏GM（1，1）模型預(yù)測

根據(jù)無偏GM（1，1）模型的建模原理，結(jié)合表1中2010—2019年河南省小麥產(chǎn)量數(shù)據(jù)，使用灰色建模軟件第7版和Matlab 2016b可以得到相應(yīng)的時間響應(yīng)函數(shù)：

X^（0）（1）=X（0）（1）=3 131.00，X^（0）（k+1）=Aebk=3 096.69e0.02k，k=1，2，…，n。（12）

預(yù)測結(jié)果見表2，該模型的平均相對誤差為1.57%。

2.2 馬爾可夫鏈修正灰色預(yù)測值

無偏灰色GM（1，1）預(yù)測模型反映出小麥產(chǎn)量數(shù)據(jù)的指數(shù)變化規(guī)律，并根據(jù)該規(guī)律外推可得出預(yù)測值。受氣候、環(huán)境、政策等多方面因素影響，單一模型不能刻畫小麥產(chǎn)量的變化趨勢，因此，引入馬爾可夫模型修正殘差，充分發(fā)揮其在預(yù)測離散隨機(jī)波動大的事件上的優(yōu)勢，彌補(bǔ)灰色預(yù)測模型的不足。

2.2.1 狀態(tài)劃分

根據(jù)河南省小麥產(chǎn)量的實際值和無偏GM（1，1）模型得出預(yù)測值之間的相對誤差，

將小麥產(chǎn)量的數(shù)據(jù)序列劃分為4個區(qū)間：E1（-0.86，0.32）、E2（0.32，1.50）、E3（1.50，2.68）、E4（2.68，3.86）。河南省小麥產(chǎn)量預(yù)測年份的所處狀態(tài)見表3。

由于河南省小麥產(chǎn)量2011—2019年的所處狀態(tài)已知，令對應(yīng)區(qū)間的中點作為擬合值。如2011年小麥產(chǎn)量處于狀態(tài)1，則2011年小麥產(chǎn)量的擬合值為：

X2011=3 159.24-3 159.24×0.5×（-0.86%+0.32%）=3 150.71。（13）

同理，可以擬合2012—2019年河南省小麥產(chǎn)量，擬合值見表2。

2.2.2 構(gòu)造狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

由狀態(tài)劃分表及各年對應(yīng)的狀態(tài)，可得1步和2步轉(zhuǎn)移概率矩陣：

p1=121200

0001

0000

130023

p2=1414012

130023

0000

71816049。（14）

2.2.3 確定預(yù)測值

因為2019年小麥產(chǎn)量處于狀態(tài)4，根據(jù)1步轉(zhuǎn)移概率矩陣計算2020年小麥產(chǎn)量數(shù)據(jù)：

X2020=3 782.30-3 782.30×0.5×（2.68%+3.82%）=3 905.98。（15）

同理可根據(jù)2步、3步、4步、5步轉(zhuǎn)移概率矩陣計算2021—2024年小麥產(chǎn)量數(shù)據(jù)，分別為3 984.88 萬、4 065.39萬、4 147.52萬、4 231.32萬t。

擬合和預(yù)測結(jié)果見表2，該模型的平均相對誤差為0.31%。

由于傳統(tǒng)無偏灰色GM（1，1）模型沒有考慮河南省歷年小麥產(chǎn)量對未來預(yù)測年份小麥產(chǎn)量的影響，初始預(yù)測值較為準(zhǔn)確，2011—2014年的預(yù)測誤差均小于1%。但隨著年份的不斷增加，小麥年產(chǎn)量之間的相互影響作用以及歷年小麥產(chǎn)量數(shù)據(jù)對未來小麥產(chǎn)量影響逐步降低，導(dǎo)致模型的預(yù)測精度變差。從圖1可以明顯看出，2015—2017年的小麥產(chǎn)量的預(yù)測誤差明顯增加;無偏灰色馬爾可夫模型綜合考慮了序列的波動性以及歷年產(chǎn)量對未來年份小麥產(chǎn)量的影響，結(jié)合這2種模型的優(yōu)勢，提高了河南省小麥產(chǎn)量的預(yù)測精度。2011—2019年的預(yù)測誤差均降低到小于0.8%，但仍有個別年份預(yù)測誤差偏大，如2017年模型的預(yù)測誤差達(dá)到0.72%，模型仍需要進(jìn)一步改進(jìn)。

2.3 新維灰色馬爾科夫模型預(yù)測

影響河南省小麥產(chǎn)量的各方面因素在不停地變化，不斷有新的隨機(jī)擾動因素加入系統(tǒng)，而且舊數(shù)據(jù)在預(yù)測序列中的有效作用逐步降低，對小麥產(chǎn)量產(chǎn)生重要影響。因此，需對建模原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行實時修正。

利用無偏灰色馬爾可夫模型得到的2020年小麥產(chǎn)量預(yù)測值添加到原數(shù)據(jù)序列，同時剔除第1個數(shù)據(jù)，即2010年小麥產(chǎn)量數(shù)據(jù)，以2011—2020年小麥產(chǎn)量數(shù)據(jù)作為新的數(shù)據(jù)序列，然后構(gòu)建無偏灰色GM（1，1）模型

X^（0）（1）=X（0）（1）=3 144.90，X^（0）（k+1）=Aebk=3 179.05e0.02k，k=1，2，…，n

最后通過馬爾可夫模型修正，得到2021年河南省小麥產(chǎn)量預(yù)測值。

由于進(jìn)行1次等維新息處理后，平均相對誤差為0.29%，仍比較大，所以繼續(xù)對建模序列做等維處理。將該值作為2021年小麥產(chǎn)量數(shù)據(jù)重復(fù)使用上述的步驟，得到2022年小麥產(chǎn)量數(shù)據(jù)，同理可得2023、2024年小麥產(chǎn)量數(shù)據(jù)，其平均相對誤差分別為0.25%、0.22%、0.22%，預(yù)測結(jié)果見表4。

2.4 模型比較

河南省小麥產(chǎn)量是非平穩(wěn)的時間序列，通過結(jié)合無偏GM（1，1）模型和馬爾可夫模型，并等維處理建模原始數(shù)據(jù)序列，得到新維無偏灰色馬爾可夫模型，該模型充分發(fā)揮了2個模型的優(yōu)勢，能較好地預(yù)測非平穩(wěn)時間序列。

通過表5預(yù)測模型的精度對比可以看出，通過馬爾可夫修正對河南省小麥產(chǎn)量預(yù)測的平均相對誤差減小，新維無偏灰色馬爾可夫模型的平均相對誤差低至0.22%，相對最小，精度最高，可以很好地反映河南省小麥產(chǎn)量變化趨勢，在中長期的預(yù)測中更具有優(yōu)勢。

結(jié)合最終預(yù)測結(jié)果和預(yù)測精度檢驗可以得出，采用新維無偏灰色馬爾可夫模型預(yù)測出2020—2024年河南省小麥產(chǎn)量分別為3 905.98萬、3 985.99萬、4 067.29萬、4 151.19萬、4 235.40萬t。結(jié)果顯示河南省小麥產(chǎn)量在未來5年都會呈上升趨勢，但增長速度呈緩慢趨勢。

3 結(jié)論

本研究以河南省小麥產(chǎn)量預(yù)測為例，采用新維無偏灰色馬爾可夫模型，充分利用了灰色預(yù)測建模所需信息量少的特點以及馬爾可夫模型能夠處理隨機(jī)波動性數(shù)據(jù)的特性，并利用實時修正對模型進(jìn)行優(yōu)化。對河南省2010—2019年小麥產(chǎn)量預(yù)測結(jié)果表明，該模型的預(yù)測精度較高，預(yù)測結(jié)果更精確，可以很好地反映河南省小麥產(chǎn)量變化趨勢，對河南省制定小麥生產(chǎn)規(guī)劃、調(diào)整和優(yōu)化小麥種植結(jié)構(gòu)以及促進(jìn)河南省小麥生產(chǎn)的可持續(xù)發(fā)展具有重要意義。同時，本研究結(jié)果可以為政府相關(guān)決策部門擬定糧食配置和宏觀經(jīng)濟(jì)計劃提供依據(jù)，從而保障我國糧食安全，維護(hù)國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會穩(wěn)定。

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