既有建筑砌體抗壓強度的貝葉斯推斷

倪玉雙 蔣耀華 楊春俠

摘 要：基于貝葉斯理論推斷既有建筑砌體抗壓強度，將現場原位軸壓法測試的砌體抗壓強度作為先驗信息，同時利用塊體和砂漿回彈法檢測強度的推定值，按照《砌體結構設計規范》（GB 50003—2011）中的砌體抗壓強度計算公式構造似然函數，聯合先驗信息和似然函數，推導既有建筑砌體抗壓強度的后驗分布，研究結果表明：通過后驗分布可得到綜合各種信息的既有建筑砌體抗壓強度的合理推斷值。且已建立的后驗分布可作為下一次抗壓強度貝葉斯推斷的先驗信息，可實現既有建筑砌體抗壓強度值的動態長期觀測，為砌體結構的定期維修和加固提供依據，為砌體結構的可持續發展提供基礎。

關鍵詞：既有建筑;砌體抗壓強度;貝葉斯推斷;先驗信息;似然函數;后驗分布

中圖分類號：TU362 文獻標志碼：A 文章編號：2096-6717（2021）06-0082-06

Abstract： Based on Bayesian theory， the compressive strength of existing masonry structure was deduced.The compressive strength of masonry tested by the method of axial compression in situ was taken as a prior information. At the same time， the estimated value of strength of block and mortar detected by the rebound method was used to construct the likelihood function， according to the calculation formula of compressive strength of masonry in the "Code for Design of Masonry Structures" （GB 50003-2011）.Combining the prior information and the likelihood function， the posterior distribution of compressive strength of existing building masonry was derived.The research results show that the reasonable inferred values of compressive strength of existing masonry structures containing various information can be obtained through the posterior distribution. Moreover， the established posterior distribution can be used as the prior information for subsequent compressive strength Bayesian reference， which can realize the dynamic long-term observation of compressive strength of existing masonry structure.Furthermore，it provides a basis for the regular maintenance and reinforcement of existing masonry structure， and provides a foundation for the sustainable development of existing masonry structure.

Keywords： existing structure; compressive strength of masonry; Bayesian inference; prior information;likelihood function; posterior distribution

“可持續發展”越來越成為各類工程結構發展的主題，根據《工程結構可靠性設計統一標準》（GB 50153—2008），《建筑結構可靠性設計統一標準》（GB 50068—2018）修訂中增加了“使結構符合可持續發展的要求”。對于建筑結構而言，可持續發展在社會方面的內容就是要保證使用者的健康和舒適，保護建筑工程的文化價值[1]。

砌體結構是一種重要的建筑結構形式，在中國有大量的既有砌體結構，包括大量的砌體古建筑，古建筑作為凝固的藝術，承載著大量而豐富的歷史信息，保護這些既有砌體結構具有重要的意義。而這些既有砌體結構在不同程度上需要定期的維修和加固，維修加固通常需要通過調查檢測、結構試驗獲得相關強度數據來進行分析，砌體的抗壓強度就是一個非常重要的強度指標。對于既有建筑砌體的抗壓強度，目前主要有兩種方法進行檢測：直接法和間接法。直接法是在現場直接檢測砌體的抗壓強度，原位軸壓法屬于直接法;間接法是通過檢測砌筑塊材和砂漿的強度來計算砌體的強度[2]。由于樣本離散性、量測誤差等不確定因素的影響，這兩種方法推定的強度值在某些情況下存在差異。同時，對于既有砌體結構而言，不管是哪種方法，都受到現場條件的限制，可獲得的砌體抗壓強度實測樣本有限，特別是對于具有歷史保護價值的砌體結構，一磚一瓦都彌足珍貴，應該盡可能地利用已有信息，對強度進行合理推斷。

貝葉斯方法正是一種可以充分利用各種信息的有效方法，利用貝葉斯理論可賦予先驗信息和似然函數中的樣本信息合理的權重，使得推斷結果更為全面合理。更為重要的是基于貝葉斯理論的強度推斷結果具有可持續性，已有的后驗分布可以作為下一次強度推斷的先驗信息，作為下一次進行貝葉斯推斷的基礎和出發點，對于需要保護的砌體古建筑而言，可實現動態的長期觀測，具有非常重要的工程價值和社會意義。目前，貝葉斯統計理論在英美等西方發達國家已經稱為當前兩大統計學派之一，并在實踐中獲得了廣泛應用。近年來，貝葉斯理論也被學者們應用到巖土工程[3-5]和結構工程[6-10]等領域進行相關參數的不確定性分析，但在砌體結構中進行強度推斷方面的研究不多，彭斌，汪瀾涯[11-12]等基于貝葉斯方法對砌體抗壓強度進行過推定，但是實現過程較為復雜。筆者用簡單可行且力學概念清晰的方法實現既有建筑砌體抗壓強度的貝葉斯推斷。

1 貝葉斯定理

貝葉斯學派的最基本的觀點是：任一個未知量θ都可以看作一個隨機變量，應該用一個概率分布去描述θ的未知狀況。這個概率分布是在抽樣前就有的有關θ的先驗信息的概率陳述，被稱為先驗分布。

貝葉斯方法就是將關于未知參數的先驗信息與樣本信息進行綜合，再根據貝葉斯定理，得出后驗信息去推斷未知參數。連續型隨機變量的貝葉斯公式可用式（1）表示[13]。

式中：π（θ|x）為后驗密度函數，對應的分布稱為后驗分布，它綜合了有關參數θ的先驗信息和抽樣信息。π（θ）是參數θ的先驗密度函數，對應的分布為先驗分布。L（x|θ）為似然函數，一般來說，先驗分布反映了人們在抽樣前對參數θ的認識，后驗分布反映了人們在抽樣后對參數θ的認識，它實際上是通過抽樣信息對參數θ的先驗信息進行調整，因此，基于后驗分布對參數θ進行統計推斷更加有效，也更加合理。也可以把式（1）寫成式（2）。

其中：∝表示“正比于”，兩邊只差一個不依賴于θ的常數因子，式（2）右端雖不是正常的密度函數，但它是后驗分布π（θ|x）的核，在某些時候可以用來簡化后驗分布的計算。

2 砌體抗壓強度的貝葉斯推斷

2.1 似然函數

《建筑結構可靠性設計統一標準》（GB 50068—2018）明確規定材料強度的概率分布宜采用正態分布或對數正態分布，因此，砌體抗壓強度、塊體強度和砂漿強度概率模型均用對數正態分布表示。因為砌體抗壓強度與塊體強度和砂漿強度有關，若有塊體強度和砂漿強度的觀測值，可利用砌體抗壓強度與二者的關系建立砌體抗壓強度的似然函數。

《砌體結構設計規范》（GB 50003—2011）[14]采用式（3）來計算砌體抗壓強度平均值。

式中：fm為砌體抗壓強度平均值;f1為塊體的強度等級值或平均值;f2為砂漿抗壓強度平均值;α為與塊體高度有關的參數;k1為反映塊體種類的參數;k2為采用低強度等級砂漿時的修正系數。α、k1和k2的取值規定見《砌體結構設計規范》（GB 50003—2011）。為構造砌體抗壓強度平均值fm的似然函數，對式（3）兩邊取對數[12]，得到式（4）。

2.2 后驗分布

以上砌體抗壓強度樣本的似然函數為正態分布，為了便于推導強度均值的后驗分布，利用對數正態分布與正態分布的關系進行簡單的變換，用另一正態分布N（μ，τ2）作為均值θ的先驗分布，利用先驗信息可確定μ和τ2的取值。

先驗分布和似然函數都確定后，即可由式（2）得出砌體抗壓強度均值的后驗分布，如式（9）所示。

從μ1的計算公式可以看出，后驗均值是在先驗均值與似然函數中的樣本均值間采取折中方案，有了砌體抗壓強度均值的后驗分布后，即可綜合先驗信息和樣本信息對強度均值進行更好的推斷，由上式可知，要定量計算出后驗分布，還需要對塊體和砂漿的概率密度模型進行推定。

3 塊體和砂漿強度概率密度模型推定

3.1 塊體強度f1的概率密度模型

3.1.1 參數的最大似然估計

依據《建筑結構可靠性設計統一標準》（GB 50068—2018）的規定，取塊體強度f1服從對數正態分布，則F1=ln f1服從正態分布，記為F1～N（θF1，σ2F1），可用式（10）表示。

3.1.2 參數估計值的偏差分析

求得參數的估計值以后，利用無偏性準則來評價估計量的好壞。估計量的數學期望等于被估計參數的真實值，則稱此估計量為被估計參數的無偏估計，即具有無偏性。下面即對塊體強度分布的均值和方差的極大似然估計值的偏差進行分析。

由式（15）可知，F1ML是均值的無偏估計量。

由式（16）可知，最大似然估計值σ^2F1ML是方差的有偏估計量，故要推導另一估計值。因為有式（17）成立，故樣本方差可以用來作為總體方差的估計值。

故塊體強度分布模型F1～N（θF1，σ2F1）中的均值和方差的估計值為

只要有一組塊體強度的觀測值，就可以按式（18）的均值和方差的估計值確定其分布。

3.2 砂漿強度f2的概率密度模型

砂漿強度f2的概率密度模型推導方法同塊體強度f1，即對F2～N（θF2，σ2F2），有式（19）成立。

塊體和砂漿強度的概率模型確定以后，按式（8）可確定抗壓強度的似然函數，按現場原位軸壓法測試的砌體抗壓強度確定先驗分布，則對應的后驗分布即可按式（9）確定。后驗分布確定后既可以得到砌體抗壓強度的貝葉斯推斷值，下面用一具體算例說明整個實現過程。

4 算例

以國網湖南省電力有限公司東塘二辦公樓結構現場檢測結果對砌體抗壓強度進行貝葉斯推斷。根據《砌體工程現場檢測技術標準》（GB/T 50315—2011）[15]的規定采用回彈法檢測磚與砂漿抗壓強度，現場檢測如圖1所示，采用現場原位軸壓法檢測砌體抗壓強度，現場檢測如圖2所示。

4.1 砌體抗壓強度平均值

將整幢建筑的承重墻體劃分為1個檢測單元，從1層到6層的墻體共選擇10個測區，每個測區中選擇10個測位進行磚的回彈測試，將回彈測試值按《砌體結構工程現場檢測技術標準》（GB/T 50315—2011）中的數據分析要求換算為磚抗壓強度平均值，見表1中f1，在磚塊回彈測試的相同測區內同樣選擇10個測位進行砂漿的回彈測試，并根據回彈值和碳化深度值按《砌體結構工程現場檢測技術標準》（GB/T 50315—2011）中的數據分析要求換算為砂漿抗壓強度平均值，見表1中f2，在磚和砂漿強度的10個測區中選擇3個部位將承重墻體開槽后進行原位軸壓法測試，并將槽間砌體抗壓強度換算為標準砌體抗壓強度，見表1中fm。

由表1中數據及式（18）可得F1～N（θF1，σ2F1）=1.85，

2F1=0.016，由表1中數據及式（19）可得

F2～N（θF2，σ2F2）=0.21，2F2=0.002 7，將現場原位軸壓法檢測結果作為先驗信息，可得μ=0.97，τ2=0.000 2，即抗壓強度均值的先驗分布為N（μ，τ2）～N（0.97，0.000 2）。

最后，聯合先驗分布和似然函數，由式（9）可得，抗壓強度均值的后驗分布為N（μ1，τ21）～N（0.95，0.000 16），將抗壓強度均值的先驗分布、似然函數和后驗分布繪制在圖3中，由圖3可知，后驗分布是先驗分布與似然函數的折中。

利用對數正態分布與正態分布的轉換關系可知，通過抗壓強度均值的后驗分布可得砌體抗壓強度平均值的貝葉斯推斷值為2.58 MPa，而由檢測結果可知，現場原位測試的砌體抗壓強度平均值為2.64 MPa，將表1中的塊體強度平均值f1和砂漿強度平均值f2代入式（3）可計算出砌體抗壓強度平均值為2.42 MPa?？梢?，利用貝葉斯理論推斷的砌體抗壓強度平均值介于現場原位測試結果和利用塊體和砂漿強度檢測值計算的結果之間，能夠將兩種方法的信息按照一定的權重比進行綜合。

4.2 砌體抗壓強度推定值

按《砌體結構工程現場檢測技術標準》（GB/T 50315—2011）中關于強度推定的要求，計算砌體抗壓強度標準值的推定值，先按公式（15.0.3-1）～ （15.0.3-3）求得每一檢測單元的砌體抗壓強度平均值x-、強度標準差s和變異系數δ，然后結合測區數是否大于等于6個來選用公式（15.0.8-1）或（15.0.8-3）進行推定。

原位軸壓法測得的砌體抗壓強度平均值為2.64 MPa，但原位軸壓法的測區為3個，小于6，故按式（15.0.8-3）確定砌體抗壓強度標準值的推定值，即取測區砌體抗壓強度的最小值2.61 MPa。

通過塊體和砂漿的強度得到的砌體抗壓強度平均值x-=2.42 MPa，同一檢測單元按10個測區計算的標準差s=0.23，變異系數δ=0.09，又測區大于6，故按式（15.0.8-1）確定砌體抗壓強度標準值的推定值為2.01 MPa。

通過貝葉斯推斷的砌體抗壓強度的平均值x-=2.58 MPa，其中的2.58為將抗壓強度均值的后驗分布N（μ1，τ21）～N（0.95，0.000 16）中的均值進行對數正態分布與正態分布的轉換而得，同理，可以利用后驗分布中的均值μ1=0.95 MPa，標準差s=0.000 16=0.013，變異系數δ=0.013，聯合式（15.0.3-1）～ （15.0.3-3）及（15.0.8-1）計算得出貝葉斯推斷的砌體抗壓強度標準值的推定值的對數值為0.92 MPa，轉換后得貝葉斯推定的砌體抗壓強度標準值為2.51 MPa。

由此可知，對于砌體抗壓強度標準值的推定值，原位軸壓法測試值推定的為2.61 MPa，利用塊體和砂漿的回彈檢測值推定得到的為2.01 MPa，貝葉斯方法計算得到的為2.51 MPa，仍然介于兩者之間，進一步說明利用貝葉斯方法可以將直接法和間接法獲得的砌體強度信息相結合，從而降低推定結果的不確定性。

5 結論

1）既有建筑砌體抗壓強度的貝葉斯推斷可以將現場原位測試的砌體抗壓強度值和通過塊體和砂漿強度推定的計算值以一定的權重相結合，若似然函數中樣本均值的方差偏小，則其在后驗均值中的權重就大，反之，所占的權重就小，即貝葉斯推斷的后驗分布是在先驗分布與似然函數間采取的折中方案，使得最后的結果充分考慮各種信息，更為全面合理。

2）既有砌體結構抗壓強度的貝葉斯推斷結果具有可持續性，已有的后驗分布可以作為下一次強度推斷的先驗信息，在實際工程中可實現強度的動態長期觀測。

3）既有砌體結構抗壓強度的貝葉斯推斷中的思路和方法可推廣到其他強度指標，對檢測、結構試驗獲得的相關強度數據進行分析，作為砌體結構定期維修和加固的依據，降低推定結果的不確定性，有利于客觀分析和決策，為最大程度地實現砌體結構的可持續發展提供基礎。

參考文獻：

[1]建筑結構可靠性設計統一標準： GB 50068—2018[S].北京： 中國建筑工業出版社， 2018.

Unified standard for reliability design of building structures：GB 50068-2018[S]. Beijing： China Architecture & Building Press， 2018. （in Chinese）

[2]既有建筑物結構檢測與評定標準： DG/TJ 08-804-2005[S]. 上海： 上海市建設和交通委員會， 2005.

Standard of structural inspection and assessment for existing buildings： DG/TJ 08-804-2005[S]. Shanghai： Construction and Transportation Commission of Shanghai， 2005. （in Chinese）

[3]FENG X D， JIMENEZ R. Estimation of deformation modulus of rock masses based on Bayesian model selection and Bayesian updating approach[J]. Engineering Geology， 2015， 199： 19-27.

[4]LIU H X， QI X H. Random field characterization of uniaxial compressive strength and elastic modulus for intact rocks[J]. Geoscience Frontiers， 2018， 9（6）： 1609-1618.

[5]CONTRERAS L F， BROWN E T， RUEST M. Bayesian data analysis to quantify the uncertainty of intact rock strength[J]. Journal of Rock Mechanics and Geotechnical Engineering， 2018， 10（1）： 11-31.

[6]IGUSA T， BUONOPANE S G， ELLINGWOOD B R. Bayesian analysis of uncertainty for structural engineering applications[J]. Structural Safety， 2002， 24（2/3/4）： 165-186.

[7]MA Y F， ZHANG J R， WANG L， et al. Probabilistic prediction with Bayesian updating for strength degradation of RC bridge beams[J]. Structural Safety， 2013， 44： 102-109.

[8]LIU P， AU S K. Bayesian parameter identification of hysteretic behavior of composite walls[J]. Probabilistic Engineering Mechanics， 2013， 34： 101-109.

[9]BARTOLI G， BETTI M， FACCHINI L， et al. Bayesian model updating of historic masonry towers through dynamic experimental data[J]. Procedia Engineering， 2017， 199： 1258-1263.

[10]姚繼濤. 現有結構材料強度的統計推斷[J]. 西安建筑科技大學學報（自然科學版）， 2003， 35（4）： 307-311.

YAO J T. Statistical inference of material strength of existing structures[J]. Journal of Xian University of Architecture & Technology， 2003， 35（4）： 307-311.（in Chinese）

[11]彭斌， 汪瀾涯， 李翔， 等. 基于貝葉斯方法的歷史建筑砌體抗壓強度推定[J]. 建筑材料學報， 2015， 18（5）： 778-783.

PENG B， WANG L Y， LI X， et al. Inference for compressive strength of masonry in historical buildings based on Bayesian method[J]. Journal of Building Materials， 2015， 18（5）： 778-783.（in Chinese）

[12]汪瀾涯. 既有砌體結構安全性分析與預測[D]. 上海： 上海理工大學， 2016.

WANG L Y.Safety analysis and prediction of existing masonry structure[D]. Shanghai： University of Shanghai for Science & Technology， 2016. （in Chinese）

[13]茆詩松， 湯銀才. 貝葉斯統計[M]. 2版. 北京： 中國統計出版社， 2012.

MAO S S， TANG Y C. Bayesian statistics[M]. 2nd ed. Beijing： China Statistics Press， 2012.

[14]砌體結構設計規范： GB 50003—2011[S]北京： 中國建筑工業出版社， 2011.

Code for design of masonry structures： GB 50003-2011[S]. Beijing： China Architecture & Building Press， 2011. （in Chinese）

[15]砌體工程現場檢測技術標準： GB/T 50315—2011[S]. 北京： 中國建筑工業出版社， 2011.

Technical standard for site testing of masonry engineering： GB/T 50315-2011[S]. Beijing： China Architecture & Building Press， 2011. （in Chinese）

（編輯 胡玲）