Scratch繪制蝴蝶曲線

陳新龍

“紛飛的蝴蝶就像繽紛的落葉，載滿思念、寄托希望在變遷的季節里悠然落下。”在文學的世界中我們可以通過語言表達愛意，在數學王國中我們也可以通過圖形來表達愛意，從之前我們學習的心形曲線，到今天我們要學習蝴蝶曲線，這些神奇又美麗的數學王國精靈可以像名畫一樣，裝點我們的生活。

蝴蝶曲線是美國南密西西比大學坎普爾·費伊發現的一種蝴蝶形的極坐標函數。當我們把這個函數繪制到坐標系平面時，就能獲得一只翩翩起舞的蝴蝶，通過調整蝴蝶曲線變量Θ，可以調整改變曲線形狀及方向（如圖1）。

我們來看一下蝴蝶曲線的參數方程：

x=a*sint*（e^cost-2*cos4t+（sint/12）^5）

y=b*cost*（e^cost-2*cos4t+（sint/12）^5）

方程式中參數a控制圖形的寬度，參數b控制圖形的高度，參數t為角度。因此我們只要給出一個a（a=30）和b（b=30）的值，讓t的值從t=0開始直到t=360，根據參數方程就能得到一系列坐標點（x，y），用畫筆依次連接這些點就可以畫出蝴蝶圖案了。為了編寫程序時更加簡單直觀，我們可以把方程中重復的部分用變量m=（e^cost-2*cos4t）和n=（sint/12）^5代替。

分析完蝴蝶曲線的公式特點后，我們可以在Scratch中編程了，創建曲線方程所需要的七個變量，創建自定義積木“畫蝴蝶（a，b）”，其中需要增加兩個輸入項用于輸入參數a和b（如圖2）。根據上述公式，通過自定義積木計算出不同t值下點的坐標（x，y）。運用畫筆移動畫出線條，t的范圍在0～360之間。重復執行直到t>360結束，就可以畫出一個蝴蝶的圖案了。

如果我們單純地設定圖形的寬度a和高度b，輸出的樣子就是單調的單線蝴蝶圖案。

為了能夠讓蝴蝶曲線更絢麗，可以通過重復執行循環改變畫筆的顏色和a、b值，畫出不一樣的蝴蝶。自行調整畫筆的粗細、畫筆的顏色、循環的次數繪畫出不一樣的蝴蝶曲線，建議將畫布的背景顏色調整為黑色，可以按住shift開啟加速模式，縮短長時間的繪制過程（如圖3）。

在數學王國中，用很多代數曲線和超越曲線可以讓我們聯想到自然界很多現象，蝴蝶曲線就是其中一種，這么美麗的圖案大家還不趕緊動手繪制一幅。