初中函數(shù)學(xué)習(xí)的“武林秘籍”

文/韓曉曉

函數(shù)是初中學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，在學(xué)習(xí)函數(shù)時，你是不是常常不知道該往哪個方向用力，感覺學(xué)得糊里糊涂，心中難免會產(chǎn)生疑惑，如“學(xué)這一部分知識有什么用”“學(xué)習(xí)這些知識最終的目標(biāo)在哪里”，本文將引導(dǎo)你擁有初中學(xué)習(xí)函數(shù)的強(qiáng)力武器！擁有它們就可以打掉函數(shù)這個大“boss”啦！

“單元學(xué)習(xí)”意識

“單元學(xué)習(xí)”中的“單元”是指在一個特定主題下相關(guān)的學(xué)習(xí)目標(biāo)、內(nèi)容、過程與方法、評價與反思的集合，是有意識對教材中具有“某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性”的內(nèi)容進(jìn)行分析、重組、整合并形成相對完整的單元，實現(xiàn)自我培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)的一種學(xué)習(xí)形式。

初中函數(shù)學(xué)習(xí)的大框架如下（圖1）：

圖1 初中函數(shù)學(xué)習(xí)框架

最短的路徑就是從目標(biāo)往回倒推，向目標(biāo)前進(jìn)的第一步就是理解函數(shù)概念，經(jīng)歷探究函數(shù)性質(zhì)的思維過程，感受數(shù)形結(jié)合解題的美妙。本文重點講解怎么走好第一步。

函數(shù)概念

變量和常量：在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量。說明：變量和常量的識別在于數(shù)值是否發(fā)生變化。

函數(shù)概念：在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。

理解：函數(shù)的本質(zhì)是兩個變量x，y和兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，函數(shù)是刻畫變量之間對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，概念的核心就是對應(yīng)關(guān)系，對應(yīng)關(guān)系應(yīng)抓住“單值對應(yīng)”，即判斷y是否為x的函數(shù)，只要看x取確定值時，y是否有唯一確定的值與之對應(yīng)。如①y=±x，②y2=x，③|y|=x+1，④y=|x|，只有④表示y是x的函數(shù)，其它都不是。可舉反例否定：如給定x確定值是1，①中y有1和-1 與之對應(yīng)，②中y有1 和-1 與之對應(yīng)，③中y有2 和-2 與之對應(yīng)，都不唯一，而④中y只有1 與之對應(yīng)，所以是函數(shù)關(guān)系。理解④中盡管給定x的值是1 或-1 時，y都是1 與之對應(yīng)，但不影響是函數(shù)關(guān)系，只要對應(yīng)值唯一即可。再如下圖（圖2）：A、B、C 都表示y是x的函數(shù)，其中A、C 都是一對一，B 是多對一，而D 不是。

圖2 識別對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系

判斷圖象是不是函數(shù)關(guān)系的方法是：作垂直x軸的直線，從左向右移動看與圖象的交點，如果交點為一個則是函數(shù)關(guān)系，否則不是。如左圖（圖3）中（1）（2）（3）y是x的函數(shù)，（4）不是。

圖3 識別圖象是否是函數(shù)關(guān)系

方法總結(jié)：“一對一、多對一”都是單值對應(yīng)，進(jìn)而兩個變量之間是函數(shù)關(guān)系，不能“一對多”。

函數(shù)圖象與性質(zhì)

函數(shù)有3 種表示方法：解析式法、列表法、圖象法。在初中，直線說的就是一次函數(shù)的圖象，拋物線說的就是二次函數(shù)的圖象，雙曲線說的就是反比例函數(shù)的圖象。

函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，應(yīng)著重培養(yǎng)自我觀察能力，訓(xùn)練用文字語言、圖形語言和符號語言表征數(shù)學(xué)對象的能力，以及幾種語言相互轉(zhuǎn)換、相互補(bǔ)充的能力，體會數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的基本思路。

學(xué)習(xí)過程：首先確定函數(shù)自變量的取值范圍，方法如下圖（圖4），再結(jié)合函數(shù)解析式和圖象研究函數(shù)性質(zhì)，經(jīng)歷由解析式列表到描點連線得函數(shù)圖象的過程，思維要有序：由式想形到描點畫圖，注重由數(shù)到形的思維過程，反過來也能夠由形到數(shù)，數(shù)入微，形直觀，數(shù)形結(jié)合。

圖4 確定函數(shù)自變量的取值范圍

例如：探究函數(shù)y=|x-1|的圖象與性質(zhì)，探究過程如下：

1.判斷這個函數(shù)的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)；

2.根據(jù)解析式列表，補(bǔ)全下表（表1）。

表1 解析式列表

思維指導(dǎo)：x，y滿足y=|x-1|，已知其中一個變量的值就可以求另一個變量。

方法：求值就代入——把已知代入未知或把未知代入已知。這在某種程度上也是代數(shù)最基本的思維方式是“把未知數(shù)設(shè)為x，然后尋找未知數(shù)與已知數(shù)之間的關(guān)系和規(guī)則”，不要把焦點放在“未知數(shù)”上，而應(yīng)該放在“找關(guān)系”上。

3.①對函數(shù)y=|x-1|，當(dāng)x≤1 時，y=-x+1；當(dāng)x＞1 時，y=_____。

思維指導(dǎo)：通過去絕對值得到的解析式，可以明確該函數(shù)實質(zhì)是分段函數(shù)

②在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出函數(shù)y=|x-1|的圖象（圖5）：

圖5 函數(shù)y=|x-1|的圖象

有序思維：由解析式得有序數(shù)對（x，y），確定平面直角坐標(biāo)系中的點，描點連線畫圖，反過來，圖象上點的橫縱坐標(biāo)也應(yīng)該滿足解析式。

4.判斷點M（-4，6）在函數(shù)y=|x-1|圖象上嗎？

代數(shù)角度：點M（-4，6）的橫縱坐標(biāo)是否適合y=|x-1|？不適合所以不在。

幾何角度：把點M（-4，6）描出來看在圖象上嗎？觀察發(fā)現(xiàn)不在。

5.當(dāng)y=3 時，x=_____。

代數(shù)角度：當(dāng)y=3 時，即|x-1|=3，方向1 是x-1=3 或x-1=-3，所以x=4 或x=-2；方向2 是絕對值刻畫距離，在數(shù)軸上到1 的距離是3 的點表示的數(shù)是4 或2。

幾何角度：如圖（圖6），畫出直線y=3，與函數(shù)y=|x-1|圖象交點的橫坐標(biāo)就是|x-1|=3 的解。

圖6 利用函數(shù)思想解方程|x-1|=3

通過函數(shù)觀點看方程，能知道|x-1|=3有兩個解，進(jìn)一步|x-1|=0 就只有一個解，|x-1|=-2 就沒有解了。

方法遷移：或許你有時不太能理解為什么一元二次方程解可能有兩個解、有一個解或沒有解，用二次函數(shù)的圖象解釋其中的理由，是不是就相對容易理解一些？這也是借助函數(shù)觀點看方程的好處，是復(fù)習(xí)一元二次方程的好方法。如下圖（圖7），x2-2x-3=-4 的解，用函數(shù)觀點看解只有一個，x2-2x-3=1 的解有兩個，x2-2x-3=-6.5 無解。

圖7 利用函數(shù)思想理解二次函數(shù)解的個數(shù)

6.若點A（-1，y1）和B（x2，y2）都在函數(shù)y=|x-1|的圖象 上，且y2＞y1，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出x2的取值范圍。

代數(shù)角度：點A（-1，y1）在y=|x-1|圖象上，則求出y1=2，所以|x2-1|＞2，再類似上題去解。

幾何角度：求出A（-1，2），把符號語言y2＞y1轉(zhuǎn)化成圖形語言如下（圖8）：x2＜-1 或x2＞3。

圖8 利用函數(shù)思想解不等式|x-1|＞2

方法總結(jié)：數(shù)形結(jié)合，求范圍找臨界。應(yīng)用如下：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象由函數(shù)y=x的圖象平移得到，且經(jīng)過點（1，2）。

（1）求這個一次函數(shù)的解析式。

（2）當(dāng)x＞1 時，對于x的每一個值，函數(shù)y=mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y=kx+b的值，直接寫出m的取值范圍。

分析：解題時先想清楚問什么和怎么用條件？

（1）問的是求解析式，求的是y=kx+b（k≠0）中k，b的值，求值要代入；條件是一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象由函數(shù)y=x的圖象平移得到，且經(jīng)過點（1，2），平移要想到斜率k保持不變，故先求出k=1，y=x+b，又由圖象經(jīng)過點（1，2）則點的橫縱坐標(biāo)適合y=x+b得b=1，所以解析式是y=x+1。

（2）問直接寫出m的取值范圍，幾何方法是“求范圍找臨界”；代數(shù)方法為找關(guān)系列式子。條件是當(dāng)x＞1 時，對于x的每一個值，函數(shù)y=mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y=kx+b的值，這一段文字語言翻譯成符號語言就是當(dāng)x＞1 時，總有mx＞x+1，則（m-1）x＞1 在x＞1 時恒成立，接下來分類討論m-1 ＜0，m-1=0，m-1 ＞0，后邊計算省略。

從幾何方法來看，即把上述文字語言翻譯成圖形語言，就是當(dāng)x＞1 時，函數(shù)y=mx（m≠0）的圖象總在函數(shù)y=kx+b圖象的上方，而對于y=mx（m≠0）有一個不變量是定過原點（0，0），再次體會“求范圍找臨界”，所以直接得出m≥2，注意能不能取臨界值，因為是x＞1，所以能取到（圖9）。

圖9 數(shù)形結(jié)合解決含參數(shù)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍（1）

方法應(yīng)用：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象由函數(shù)的圖象向下平移1 個單位長度得到。

（1）求這個一次函數(shù)的解析式。

（2）當(dāng)x＞-2 時，對于x的每一個值，函數(shù)y=mx（m≠0）的值大于一次函數(shù)y=kx+b的值，直接寫出m的取值范圍。

分析：（1）易得到解析式是。

（2）代數(shù)方法省略，幾何方法畫圖如下（圖10）。

圖10 數(shù)形結(jié)合解決含參數(shù)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍（2）

初中數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)主要內(nèi)容是“式子、方程、函數(shù)”，式子特征是字母、方程特征是未知數(shù)、函數(shù)特征是自變量，無論是字母、未知數(shù)還是自變量，它們的共同點是“用字母表示數(shù)”的數(shù)學(xué)抽象在不同模型（列算式、列方程、列函數(shù)關(guān)系式）的應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)式通性，培養(yǎng)函數(shù)思維。同學(xué)們，用函數(shù)思維解決方程不等式會別有一番天地呦！