基于李雅普諾夫方法的電力系統靜態頻率穩定分析

成連生

(國網湖南省電力有限公司，湖南 長沙410007)

0 引言

電力系統必須保持同步穩定、頻率穩定和電壓穩定才能正常運行。同步穩定研究同步發電機組轉子的相對運動；頻率穩定研究同步發電機組轉子的絕對運動。同步發電機組只有同時保持同步穩定和頻率穩定，才可穩定運行[1－2]。

電力系統靜態頻率穩定是在小干擾下系統頻率在平衡狀態的穩定能力。在小擾動中，系統存在微小的有功功率不平衡量，導致頻率出現小的偏差；小擾動消失后，如果系統頻率能夠恢復到干擾前運行狀態，或恢復到一個新的允許穩定狀態，則系統頻率保持靜態穩定，否則，靜態失穩[3－5]。靜態頻率穩定主要取決于系統發電機組原動機的機械功率與負荷的電磁功率保持靜態平衡的能力。在研究電力系統的靜態頻率穩定時，可不考慮靜態同步穩定問題，即在系統小干擾下，發電機轉子之間沒有相對運動，“同頻”運行。可用一臺等值發電機組來分析靜態(或暫態)頻率穩定問題。造成電力系統靜態頻率失穩的根本原因是系統阻尼不足。發電機組的原動機沒有調速系統或調速系統響應較慢時，如果系統阻尼小于臨界阻尼，系統靜態頻率失穩；發電機組有快速響應調速系統時，在出現阻尼比為負的狀態下，系統頻率靜態失穩。

發電機組有足夠的熱備用容量和快速響應調速系統，可較好地跟蹤負荷變化，有利于系統頻率穩定和恢復。目前，研究電力系統頻率靜態穩定的方法較多。文獻[6]提出了風電機組參與電力系統頻率控制的方法；文獻[7]提出了一種基于電壓靈敏度分析的孤立型電力系統頻率控制方法；文獻[8]總結了深度學習等人工智能方法在高比例新能源電力系統頻率控制的應用前景；文獻[9]提出了基于狀態反饋線性化的電力系統頻率控制方法。本文采用現代控制理論中較完備的李雅普諾夫(Lyapunov)第一方法和第二方法，即間接法和直接法分析系統的靜態頻率穩定性。在建立等值單機電力系統的有功功率－頻率靜態模型基礎上，推導了發電機組無調速系統下基于李亞普諾夫間接法和直接法的靜態頻率穩定依據，并考慮發電機有快速調速系統時，利用李亞普諾夫方法分析電力系統保持靜態頻率穩定的條件。

1 電力系統有功功率-頻率靜態模型

1.1 基礎條件

本文研究等值單機系統的靜態頻率穩定性。結合電力系統靜態頻率特性，在研究單機系統靜態頻率穩定性中，可作以下簡化:

1)考慮發電機組原動機靜態頻率特性。

2)考慮負荷功率靜態頻率特性。

3)線損并入負荷。

4)考慮電力系統線性化微分方程數學模型。

1.2 同步發電機靜態頻率模型

電力系統發生小擾動時，發電機組的功率－頻率靜態特性可表示為發電機組原動機有功出力的微小變化ΔPM和頻率微小偏差Δf的關系，即:

式中，PM、PG分別為原動機、發電機的有功功率，KG為原動機有功功率－頻率靜態調節系數。

1.3 負荷靜態頻率模型

電力系統在小擾動下，負荷的功率－頻率靜態特性可表示為負荷PL有功功率的微小變化ΔPL和頻率微小偏差Δf的關系，即:

式中，kL為負荷有功功率的靜態頻率調節系數，一般kL＝1～3。

1.4 電力系統靜態頻率模型

綜合考慮發電機組和負荷的靜態頻率模型，等值單機系統的線性化微分方程為:

式中，M為發電機組的轉動慣量，汽輪發電機組轉動慣量一般為8～16 s，水輪發電機組轉動慣量一般為4～8 s。ΔPD為發電機阻尼功率變化量，D為發電機阻尼系數，Ks表示為:

發電機的阻尼功率包括電磁阻尼和機械阻尼兩部分。機械阻尼包括風阻、摩擦等。電磁阻尼由發電機的勵磁繞組和阻尼繞組提供，反映在電磁功率中，故式(3)中阻尼系數D只反映發電機的機械阻尼特性，一般D為1～3。

2 李雅普諾夫方法在系統頻率靜態穩定分析的應用

2.1 李雅普諾夫間接法

李雅普諾夫間接法通過分析線性系統特征值判斷系統的穩定性[10－11]。利用李雅普諾夫間接法分析系統靜態頻率穩定性時，首先求取等值單機系統式(3)的特征值，然后根據特征值實部判斷系統頻率穩定性。

等值發電機組的轉子運動方程式(3)可改寫為:

式中:

狀態方程式(4)的特征值為:

利用李雅普諾夫間接分析法，系統靜態頻率臨界穩定時，狀態矩陣的特征值為0，即:

臨界阻尼系數為:

當D＜Dcr(即λ＞0)時，頻率在平衡點按指數非周期失穩；當D＞Dcr(即λ＜0)時，頻率在平衡點按指數非周期趨于穩定。

發電機具有快速高放大倍數勵磁系統，弱聯系統，遠距離、重負荷輸電，系統具有并聯電容補償等，可能出現負阻尼狀態，甚至發生負阻尼系數越過臨界值造成靜態頻率失穩。

2.2 李雅普諾夫直接法

李雅普諾夫直接法通過直接構造系統的李雅普諾夫函數判斷系統的穩定性。利用克拉索夫斯基方法構建等值單機系統的李雅普諾夫函數，分析系統頻率在平衡點f(0)運行的靜態頻率穩定性[12]。

由式(4)求得雅可比函數為:

等值單機系統的李雅普諾夫函數為:

根據李雅普諾夫穩定性原理，V(Δf)是正定的，那么靜態頻率穩定的條件為李雅普諾夫函數V(Δf)的一階導數是負定的則有:

3 考慮快速響應調速系統的靜態頻率穩定分析

3.1 快速調速系統的發電機組靜態頻率模型

發電機調速器大致分為機械液壓式和電氣液壓式兩類。一般地，機械式調速系統的響應速度較慢，且存在動作死區，電氣液壓調速系統的響應速度較快。系統靜態頻率穩定分析應考慮響應速度快的機械液壓式或電氣液壓式調速系統的影響。快速調速系統主要由調速器、開度限制器、水(汽)慣性等環節組成，其可用一階慣性環近似等效為:

式中，TG為調速系統和發電機組原動機的組合時間常數，KG為調速系統頻率偏差系數。

考慮快速調速系統動作特性后，等值發電機組的狀態方程為:

將式(8)改寫為:

式中:

3.2 基于間接法的靜態頻率穩定性分析

式(12)中，矩陣A的特征值為:

式中，α為頻率響應衰減時間常數，ω為振蕩角頻率，ξ為阻尼比，ωn為自然振蕩角頻率，即:

對比式(13)和式(5)可知，不考慮發電機組調速系統的特征值為實數，有快速調速系統的特征值為共軛復數。基于特征值λ和阻尼比ξ的關系，系統頻率在平衡點f(0)的靜態穩定性判據:

1)當ξ＜0時，系統為負阻尼系統，頻率響應呈指數正弦周期振蕩失穩。

2)當ξ＝0，系統為臨界阻尼系統，頻率響應呈等幅正弦周期振蕩，達到頻率靜態穩定極限。

3)當ξ＞0時，系統為正阻尼系統，靜態頻率穩定。其中，當0＜ξ＜1時，系統為欠正阻尼系統，特征值系實部為負的共軛復數，頻率響應呈指數正弦周期振蕩趨于穩定；ξ＝1時，系統頻率從按指數正弦周期振蕩趨穩到按指數非周期趨穩的分界點；ξ＞1時，系統為過正阻尼系統，特征值為負實數，頻率響應按指數非周期趨于穩定。

綜上可得，考慮快速調速系統影響后，阻尼比ξ反映了系統靜態頻率穩定的狀況。

3.3 基于直接法的靜態頻率穩定性分析

李雅普諾夫直接法是判定系統穩定的充分條件，而不是充要條件，即該方法可判斷系統穩定，但不能判斷系統不穩定。考慮快速調速系統動作特性后，構建等值單機系統，即式(12)的李雅普諾夫函數。采用梯度法分析系統頻率在平衡點f(0)運行的靜態頻率穩定性，其主要步驟如下:

1)假設李雅普諾夫函數V(Δf，ΔPG)的梯度向量為:

2)計算V(Δf，ΔPG)的導數即:

在小干擾下，根據李雅普諾夫穩定性原理，如果系統頻率靜態穩定，滿足負定的要求。因此，式(15)中參數a11、a22可均取值1，a12、a21均取值0，即式(15)簡化為:

V·為負定時，即的充分條件為:

3)驗證李雅普諾夫函數V(Δf，ΔPG)的正定性。

基于 所 選 參 數a11、a22、a12、a21，式(14)的旋度方程為:

即李雅普諾夫函數V(Δf，ΔPG)的梯度向量在狀態空間(Δf，ΔPG)的線積分與積分路徑無關，李雅普諾夫函數為:

由此可見，李雅普諾夫函數V(Δf，ΔPG)是正定的。考慮快速調速系統后系統在滿足式(17)時，頻率在平衡點f(0)保持靜態穩定。

4 結論

本文利用李雅普諾夫方法研究了等值單機系統的靜態頻率穩定性，通過理論推導和分析得到主要結論如下:

1)發電機組無快速響應調速系統，當系統阻尼D大于臨界值Dcr時，頻率以指數非周期趨于穩定；當系統出現負阻尼，且D小于臨界值Dcr時，頻率以指數非周期失穩。臨界值Dcr取決于發電機和負荷的頻率靜態調節系數。

2)發電機組有快速調速系統，當系統阻尼比ξ＞0時，頻率保持靜態穩定；當ξ＜0時，頻率靜態失穩。調速系統和原動機的響應時間常數影響阻尼比ξ及系統頻率靜態穩定性。

3)系統處于弱阻尼甚至負阻尼狀態時，通過縮短調速系統的響應時間、增加發電機熱備用容量等措施，可提升系統的阻尼和靜態頻率穩定性。