秸稈-薯渣混合物料應力松弛分數階模型的建立及參數分析

郭文斌，王志鵬，候智博，胡 凡，王春光，齊文靜

秸稈-薯渣混合物料應力松弛分數階模型的建立及參數分析

郭文斌，王志鵬，候智博，胡 凡，王春光※，齊文靜

（內蒙古農業大學機電工程學院，呼和浩特 010018）

為更加精確地解析農業松散物料壓縮時表現出的應力松弛行為及松弛后的成型效果，簡化應力松弛模型并獲得更加直觀的應力松弛特征參數，該研究將Riemann-Liouville分數階微積分理論引入農業松散物料流變學特性研究中，以農業生產后殘留的玉米秸稈與馬鈴薯廢渣為研究對象，推導建立了用于描述秸稈-薯渣混合物料應力松弛特征的分數階模型，并以松弛比與松弛時間比率為試驗指標，完成了混合物料在不同壓縮密度下的應力松弛試驗，利用所建立分數階模型對應力松弛試驗曲線進行了擬合回歸分析，并與廣義Maxwell模型的擬合結果進行了對比與參數相關分析。結果表明：1）分數階模型可準確描述秸稈與薯渣混合物料的應力松弛過程，其對松弛曲線的擬合精度高于五元件廣義Maxwell模型，決定系數2介于0.996 4～0.999 5之間。2）分數階模型僅有兩個模型參數，分數階階數與粘彈性系數，其中與應力松弛后殘留彈性的占比、松弛比均極顯著負相關，可直接用于表征物料松弛后的永久變形程度，預測其成型效果；與彈性模量及粘性系數、松弛時間比率均極顯著正相關，可用于表征混合物料的粘彈性特征及其應力松弛快慢程度。該研究成果推動了分數階微積分理論在農業松散物料流變學特性研究領域的應用，通過分數階模型建立了秸稈-薯渣混合物料的應力松弛特性與成型效果的聯系，可為進一步改進農業松散物料成型方法、獲取最佳成型條件提供依據。

應力松弛；模型；粘彈性；秸稈；薯渣；分數階計算

0 引 言

玉米秸稈與馬鈴薯廢渣是農產品收獲與生產加工后剩余的典型農業廢棄物料，由于具有容積密度小、群體松散、可壓縮性好等特點[1-3]，再利用時常需要進行壓縮處理，制成飼料、燃料、復合材料等各類生物質產品。對此類群體呈松散態的農業物料進行壓縮時，為減少能耗、提升成型效果，常借助流變學試驗方法研究物料的應力松弛與蠕變特性[4-6]，進而優化其壓縮工藝及設備[7-9]。在分析農業松散物料的應力松弛特性時，已有研究多以彈性元件（spring）與粘性元件（dashpot）串聯而成的Maxwell模型為基礎建立應力松弛模型[10]，例如廣義Maxwell模型[11-13]、Zener模型[14-15]、Poynting Thomson模型[16-17]。上述模型的組成元件越多，應力-時間試驗曲線的擬合精度也越高[18]，因此針對農業物料建立的此類應力松弛模型的元件數量常在3個以上，回歸擬合后所得的模型參數也相應較多。為簡化模型參數，更加準確、直觀地描述農業松散物料壓縮過程中的應力松弛行為，基于分數階微積分理論建立的流變學模型開始被應用于描述和分析農業物料受壓時表現出的粘彈特性[14,19]。

分數階微積分理論將整數階微積分推廣到了任意階次，經過多年發展與完善，根據該理論計算得出的分數階模型逐漸被應用于各相關領域研究。隨著研究的深入，分數階模型全局相關性好、物理意義明確的優點逐漸顯現，其可以用較少的模型參數準確反映試驗結果，比較適合于描述材料的非線性力學行為，因此Blair和Caffyn早在1949年就將分數階計算應用在了材料流變學行為的分析上[20]，而Koeller等在幾十年后又進一步將其引入了粘彈性特征分析的研究領域，結合傳統流變學理論建立了分數階模型[21-23]。近年來，基于分數階微積分理論構建流變學模型并進行參數分析的研究，主要集中于巖土材料[24-25]、聚合物[26]、食品凝膠[27]等材料的流變學特性研究領域，而對于群體具有粘彈性特征的松散農業廢棄物料，利用分數階微積分理論構建其應力松弛模型、分析應力松弛特性的研究甚少。

為推進分數階微積分理論在松散農業廢棄物料應力松弛特性研究領域的應用，通過構建應力松弛分數階模型，更加直觀、精確地解析物料的應力松弛行為及松弛后的成型效果，本研究結合秸稈碎料與馬鈴薯廢渣的物性特點，以秸稈-薯渣混合物料為研究對象，進行應力松弛特性分析及分數階模型研究，擬獲取用于表征混合物料壓縮成型品質的關鍵模型參數。

1 材料與方法

1.1 試驗材料

試驗用玉米秸稈選取內蒙古呼和浩特地區秋冬季收獲后自然干燥的整株秸稈，經粉碎機粉碎后含水率為（4±0.1）%，利用沖孔分樣篩將碎料篩分至小于3 mm粒度并進行稱重。試驗用馬鈴薯廢渣取自內蒙古呼和浩特市淀粉加工企業，經前處理后含水率為（65±1）%，為防止物料腐敗變質、減少水分散失，試驗前將薯渣分裝后在2～4 ℃環境下冷藏保存，一周內完成相關試驗。

1.2 試驗設備與方法

試驗設備為DDL200型微機控制電液伺服萬能試驗機配以自制的可卸料式壓縮裝置（圖1），其中壓縮筒底部開有導流孔以便排出氣體與水分。參考相關力學試驗研究[28]，試驗時將分樣篩篩分后的秸稈碎料與薯渣以質量配比1∶3進行混合，并通過攪拌機攪拌均勻后，喂入壓縮裝置，由EDC數字控制器根據計算機程序控制活塞式壓頭完成軸向加載與保壓，加載速率為10 mm/min，保壓時間設定900 s，試驗結束后抽動抽板，混合物料塊通過出料孔完成落料。

為分析分數階模型參數與物料應力松弛特性及成型效果的聯系，選擇壓縮密度作為試驗影響因素，將秸稈與薯渣混合物料加載至不同壓縮密度進行松弛，同一密度下重復試驗3次，在室溫下完成。確定壓縮密度水平時參考秸稈與薯渣混合物料的應力-應變試驗曲線，計算得出割線模量E與切線模量E[10]，按照E與E比值（模量比）的大小，將應力-應變曲線劃分為松散階段、過渡階段、壓緊階段[3, 29-30]。為保證成型效果、降低能耗，最終確定應力松弛試驗壓縮密度水平為進入壓緊階段后的700、800、900、1 000、1 100 kg/mm3。

1.3 試驗指標

為分析應力松弛特性參數與物料塊成型效果的聯系，將松弛比作為試驗指標之一，其值為應力松弛試驗保壓時物料壓縮密度與出模5 h后物料塊松弛密度[31]的比值，計算如公式（1），松弛比越小壓縮密度與松弛密度越接近，物料的成型效果越好。

式中S為松弛比；為壓縮密度，kg/m3；為松弛密度，kg/m3。

為衡量混合物料應力松弛快慢，分析其與應力松弛分數階模型參數的聯系，以應力松弛時間比率作為另一試驗指標，其為松弛過程中初始應力與應力松弛時間的比值，即初始應力在單位松弛時間內衰減的量[16]，計算如公式（2），松弛時間比率越大，物料應力松弛越快。

式中S為應力松弛時間比率，MPa/s；為初始應力，MPa；為應力松弛時間，s。

1.4 分數階應力松弛模型的建立

由于秸稈、薯渣等農業松散物料壓縮過程中兼有彈性變形與粘性流動的特征，且無明顯的屈服點，其永久變形主要來源于物料的粘性流動[16]。因此，依據胡克定律與牛頓定律可得：

近幾年，水稻連年增產、種植面積不斷擴大，水稻產業得到了大力的發展，也取得了顯著的成效。但是栽培的品種單一，病蟲害發生加重等問題，難以確保水稻的穩定發展，為此，我們對省內近期育成的水稻品種進行對比試驗研究，進一步客觀、科學的鑒定品種的特性特征及綜合表現，篩選出其中的優良品種，提高糧食綜合生產力，推動農場經濟的快速發展。

歸納式（3）～（6）得到應力與應變的分數階模型為

根據式（5）所表達的階導數的定義，聯合式（5）與式（7）推導得出：

式中為虛擬變量（Dummy variable），考慮到應力松弛過程中物料的應變為恒定值[10,16]，故可將應變()替換為常值應變0，進而推導出描述隨變化的分數階模型為

式中()為任意時刻彈性模量，MPa。

1.5 廣義Maxwell模型的建立

為分析和驗證分數階模型描述秸稈-薯渣混合物料應力松弛行為的準確性，獲取其模型參數與物料松弛過程中粘彈性變化之間的聯系。除分數階模型外，建立被廣泛用于描述農業物料應力松弛特性的典型五元件廣義Maxwell模型[10,16]如式（11），進行擬合回歸分析后，將獲取的彈性模量、粘性系數等參數與分數階模型所得參數進行對比，以解析分數階模型參數、的含義。

式中1為第一衰變彈性模量，MPa；2為第二衰變彈性模量，MPa；E為平衡彈性模量，MPa；1、2分別為衰變彈性模量對應的粘性系數，MPa·s。由上述模型參數可得應力松弛的初始彈性模量[10]為0=1+2+E。

2 結果與分析

2.1 應力松弛試驗曲線

2.2 應力松弛模型參數分析

2.2.1 模型參數對比分析

從模型分析結果可以看出，不同試驗條件下分數階模型和廣義Maxwell模型對秸稈-薯渣混合物料應力松弛試驗曲線的擬合精度均較高，決定系數2>0.99，其中分數階模型擬合所得決定系數2（0.996 4～0.999 5），整體高于五元件廣義Maxwell模型擬合所得決定系數2（0.995 1～0.995 9），故分數階模型參數對混合物料應力松弛特性的描述也更為精確。相關研究表明，廣義Maxwell模型可以通過增加Maxwell 單元數量進一步提高擬合精度[18]，但單元數量的增加不僅會增加模型參數，

而且會使模型變得更加復雜，對物料應力松弛特性及成型效果的描述更加不直觀。因此，與廣義Maxwell模型相比，本文推導得出的應力松弛分數階模型參數較少，僅有、，在對應力松弛特性進行描述時也較為簡便，充分體現出了將分數階微積分理論應用于農業松散物料應力松弛特性分析的優點。

表1 應力松弛模型非線性回歸分析結果

2.2.2 參數間相關性分析

相關性分析是研究參數間關系密切程度的統計分析方法，可計算出用于表示參數間相關程度的相關系數，并通過對其進行顯著性檢驗、求得顯著性概率來做出統計學推斷。本研究分別將不同壓縮密度條件下應力松弛試驗所得分數階模型參數與廣義Maxwell模型參數聯系起來進行相關性分析，結果如表2所示，、與彈性模量及粘性系數均有顯著的相關關系，其中1、2、0、1、2與呈極顯著正相關，再次體現出與物料粘彈性特征之間的聯系，表明其可用于描述秸稈-薯渣混合物料應力松弛過程中表現出的粘彈性。此外，由于平衡彈性模量E表征了應力松弛過程中應力衰減至趨于平衡時物料的殘留彈性[10]，故平衡彈性模量與初始彈性模量的比值E/0反映了應力松弛后物料殘留彈性占應力松弛前物料初始彈性的比例；因此根據相關性分析結果（表2），分數階階數與E/0呈極顯著負相關，說明了越小，應力松弛趨于平衡時混合物料殘留的彈性占比越大，松弛過程中衰減掉的彈性占比越小，產生永久變形的程度也越小。上述分析結果揭示了分數階模型參數、所蘊含的物理意義，為利用松弛特性參數預測混合物料成型效果、優化成型工藝提供了思路。

表2 分數階模型和廣義Maxwell模型參數相關性分析

注：**和*分別表示極顯著相關（<0.01）與顯著相關（<0.05）。

Note: ** and * indicate that the correlation are extremely significant (<0.01) and significant (<0.05), respectively.

2.3 分數階模型參數與松弛試驗指標的聯系

為進一步解析分數階模型參數、與混合物料成型效果、應力松弛快慢等試驗指標的聯系，驗證參數、所表達的物理意義，圖5列出了700～1 100 kg/m3壓縮密度條件下的松弛比S與松弛時間比率S，可以看出壓縮密度不同時，混合物料應力松弛試驗所得S與S雖各不相同，但遵循一定規律。其中壓縮密度越大，應力松弛試驗保壓結束后混合物料塊的松弛比S越小，成型效果越好，這是因為壓縮密度的增加使得物料壓縮過程所需加載力增大、能耗增大[1,12]，對物料的成型起到了積極的作用。而壓縮密度越大，混合物料開始松弛時的初始應力0越大，其單位時間內松弛的量也越大，松弛現象越明顯，故試驗所得松弛比率S越大，混合物料保壓后的應力松弛越快。

不同壓縮密度條件下應力松弛分數階模型參數、的大小及變化規律如表1。從總體趨勢來看，在其他試驗條件相同時壓縮密度越大，保壓后所得混合物料應力松弛分數階模型參數、也越大。其中粘彈性系數的變化規律與松弛比率S的變化規律較為相似，且二者極顯著正相關（表3），即越大松弛比率S越大，可見粘彈性系數的大小能夠反映出以不同壓縮密度保壓時混合物料應力松弛的快慢。上述結果與彈性模量、粘性系數大小對應力松弛快慢的影響是一致的[32]，因此也再次證明了與彈性模量、粘性系數之間的相關關系。

此外，分數階模型參數與松弛試驗指標的相關性分析結果（表3）顯示，、均與松弛比S呈顯著負相關，其中分數階階數與S為極顯著負相關，結合表1、圖5也可以看出壓縮密度越大，、也越大，松弛比S越小，混合物料變形恢復越小、成型效果越好。因此的大小能夠反映出秸稈-薯渣混合物料壓至不同壓縮密度進行應力松弛后，混合物料的成型效果；該結果進一步印證了與混合物料永久變形程度的聯系。

表3 分數階模型參數與松弛試驗指標的相關性分析結果

3 結 論

1）建立了秸稈-薯渣混合物料的應力松弛分數階模型和廣義Maxwell模型。分數階模型擬合松弛試驗曲線所得決定系數2介于0.996 4～0.999 5，高于五元件廣義Maxwell模型擬合所得2（0.995 1～0.995 9），因此其擬合效果更好，對混合物料應力松弛過程的描述更為精確。

2）分數階模型僅有分數階階數與粘彈性系數兩個參數，與廣義Maxwell模型參數的相關性分析表明，與彈性模量、粘性系數呈極顯著正相關，可用于描述混合物料松弛過程中的粘彈性特征；與平衡彈性模量占比E/0呈極顯著負相關，越小物料應力松弛后殘留彈性占比越大，松弛過程衰減掉的彈性占比越小，產生不可恢復變形也越小，因此可用于描述混合物料的永久變形程度。

3）將松弛比S、松弛比率S分別與分數階模型參數、進行相關性分析，得出與表示混合物料成型效果的S呈極顯著負相關（0.01）；與表示應力松弛快慢的S呈極顯著正相關（0.01）。印證了模型參數相關分析所得結果，進一步明確了成型效果、松弛快慢與分數階模型參數的聯系。

綜上，本文基于分數階理論建立的應力松弛模型，能更精確、直觀地描述秸稈-薯渣混合物料應力松弛時的粘彈性變形過程，所得參數可用于表達和預測物料應力松弛快慢及松弛后成型效果，為加工混合物料時選擇合理壓縮方式、壓縮頻率等提供參考，以促進低成本混配成型技術的發展。

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中國農業工程學會會員：郭文斌（E041201179S）

Parameter analysis and development of fractional calculus model for stress relaxation of cornstalk and potato residues

Guo Wenbin, Wang Zhipeng, Hou Zhibo, Hu Fan, Wang Chunguang※, Qi Wenjing

(,,010018,)

stress relaxation; models; viscoelasticity; cornstalk; potato residue; fractional calculus

10.11975/j.issn.1002-6819.2021.13.032

S216.2

A

1002-6819(2021)-13-0284-07

郭文斌，王志鵬，候智博，等. 秸稈-薯渣混合物料應力松弛分數階模型的建立及參數分析[J]. 農業工程學報，2021，37(13)：284-290.

10.11975/j.issn.1002-6819.2021.13.032 http://www.tcsae.org

Guo Wenbin, Wang Zhipeng, Hou Zhibo, et al. Parameter analysis and development of fractional calculus model for stress relaxation of cornstalk and potato residues[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2021, 37(13): 284-290. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2021.13.032 http://www.tcsae.org

2021-01-17

2021-06-30

國家自然科學基金資助項目（31960365；51766016）；國家重點研發計劃項目（2016YFD0701704）；內蒙古自治區高等學校研究項目（NJZY20045）

郭文斌，博士，副教授，碩士生導師，研究方向為農業物料力學特性。Email：wenbingwb2000@sina.com

王春光，博士，教授，博士生導師，研究方向為農牧業機械智能化。Email：nndjdwcg@126.com