橢圓的光學性質在重力場中的印證

付正光

(合肥市廬陽高級中學，安徽 合肥 230041)

圓錐曲線的綜合問題是高中解析幾何的重點內容.橢圓是圓錐曲線中一種重要的形式,利用橢圓的幾何特點能產生有趣的物理現象,其中橢圓的光學特性為中學物理所熟知．除光學性質外,筆者發現橢圓還有特殊的“力學”特點．

1 “掛畫”問題引發的思考

例1.如圖1所示,一幅畫通過一根輕繩懸掛在圓滑的鐵釘P上,掛上后發現畫是傾斜的,已知∠APB=90°,∠PAB=30°,畫的重力為G,不計繩與釘之間的摩擦,則繩PB中的張力大小為

圖1

參考答案：(A).

評析1： 看到圖1,筆者本能地想到了圖2,第一感覺畫框應該如圖2 水平,怎么會傾斜呢?但仔細觀察圖1,若畫框的重心在懸掛點P的正下方的確可以平衡．出于好奇,筆者找來一塊質地均勻的薄矩形木板、小滑輪及柔軟的細線等,將細線對稱地系在木板的兩邊,再輕輕地將細線的中點懸掛在小滑輪上．此時,發現木板可以像圖2一樣水平靜止不動,但稍作擾動便變成圖1或圖3傾斜的狀態;再輕輕地還原成圖2,稍作擾動又變成圖1或圖3,且不能自發地回到圖2．筆者越發好奇,難道圖2是由于滑輪摩擦的原因而水平?還是與細線的長度有關?于是,逐漸增加細線的長度,發現由圖2變成圖1(因圖3與圖1對稱,后文不再提圖3)傾斜得越來越不明顯,細線達到一定的長度后,無論怎么擾動,細線的懸掛點始終不變,木板始終處于水平靜止狀態不再傾斜．

圖2

圖3

例2.(2009年江蘇高考題)用一根長1 m的輕質細繩將一幅質量為1 kg的畫框對稱懸掛在墻壁上．已知繩能承受的最大張力為10 N．為使繩不斷裂,圖4中畫框上兩個掛釘的間距最大為(g取10 m/s2)

圖4

參考答案： (A).

評析2： 題2中圖4畫框為什么是水平的呢?是不是在細線較短時,圖1中畫的重心始終低于圖2;在細線較長時,反而圖2中畫的重心低于圖1呢?

在重力場以及其它勢場中,物體的平衡種類有:穩定平衡、不穩定平衡和隨遇平衡．處于勢場中的物體和場一起具有勢能,而物體始終具有向勢能較低位置運動的趨勢．穩定平衡是物體處于勢能相對最低位置時的平衡;不穩定平衡是指物體處于勢能相對較高位置時的平衡,任何微小的擾動,總能引起它的勢能減小,且不能回到原來那個勢能較高的位置．

可以抽象出這樣的數學模型:在細線長度一定時懸掛點P和兩掛釘構成橢圓,兩個掛釘是橢圓的焦點,P點就是橢圓上的一個動點．畫的重心M到點P的距離則可以等效為定點到橢圓的距離．

2 建立數學模型,進行理論分析

2.1 點到橢圓距離的最大值

圖5

點P(acosθ,bsinθ)(0<θ<180°)是橢圓在第一、二象限的任一點,設點M到點P的距離為d,由坐標關系可得

d2=(acosθ)2+(bsinθ+m)2=

-(a2-b2)sin2θ+2bmsinθ+a2+m2=

-c2sin2θ+2bmsinθ+a2+m2.

因0<θ<180°,結合二次函數y=-c2sin2θ+2bmsinθ+a2+m2的圖像可知

圖6 圖與橢圓相切于最高點

結合上述理論分析不難理解,由于畫框的重心和兩掛釘相對畫框是固定的,細線較短時,圖1(圖7)傾斜畫框的重心比圖2(圖8)水平畫框的重心低,畫框的重力勢能小,圖1(圖7)屬于穩定平衡,圖2(圖8)屬于不穩定平衡;在細線達到一定長度時,圖2(圖6)中畫的重心反而比圖1低,圖2(圖6)屬于穩定平衡,圖1反而不能平衡．

圖7 圓與橢圓有2個切點

圖8 圓與橢圓有1個或2個切點

當畫框平衡時以上規律既對題1“掛畫”問題的有了理論解釋,又幫助學生對抽象的圓錐曲線相切問題找到了真身．讓學生真正體會到數形結合是物理規律的詮釋,物理現象又是數形結合的升華．現再仔細琢磨題2,題給條件中沒有畫框的重心位置,便不能確定畫框最終處于何種平衡狀態．試想,若沒有“對稱”兩字,可能就是一個備受爭議的高考題了!可見物理命題真的不能隨意,或者臆想一個物理情境,否則可能會發生意想不到的結果．

這一現象又引發筆者對對稱性的思考:既然“掛畫”問題具有定點到橢圓之間距離的這種關系,那么“晾衣桿”模型是否也具有類似的規律呢?筆者又自覺地想到了下面的題3,但這屬于直線到橢圓距離的問題,且看以下數形結合分析．

2.2 直線到橢圓距離的最小值(相切)

例3.(2017年天津高考題)如圖9所示,輕質不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點,懸掛衣服的衣架掛鉤是光滑的,掛于繩上處于靜止狀態．如果只人為改變一個條件,當衣架靜止時,下列說法正確的是

圖9

(A) 繩的右端上移到b′,繩子拉力不變.

(B) 將桿N向右移一些,繩子拉力變大.

(C) 繩的兩端高度差越小,繩子拉力越小.

(D) 若換掛質量更大的衣服,則衣架懸掛點右移.

參考答案： (A)、(B).

圖10

平衡時,衣架懸掛點一定在橢圓的幾何最低點P″,P″T″與橢圓相切且水平．為方便表述,現將此橢圓繞坐標原點O順時針旋轉φ角,如圖10所示,F1″變為F1′、F2″變為F2′,P″變為P、Q″變為Q,橢圓的兩焦點坐標為方程為為繩長,相當于兩桿的距離變為原水平線P″T″的斜率則變為k=-tanφ．由于衣架懸掛點P在第三象限,因此將k=-tanφ

3 結語

圓錐曲線中橢圓的光學性質有很多規律和結論,有時純解析幾何角度的推演很繁雜甚至難理解,但由橢圓的“力學”性質及物理規律去分析,很多問題便迎刃而解．本文分析了橢圓的兩類問題:定點到定焦點、不同長軸的橢圓的距離關系;非共焦但同長軸的橢圓的切線關系．受力平衡的兩類問題將橢圓的兩類問題化抽象為具象,在重力場中得到印證,數理結合的魅力可見一斑．