發現對稱之美

任 杰 尤文龍

(1. 常熟理工學院電子信息學院,江蘇 蘇州 215500； 2. 南京航空航天大學理學院，江蘇 南京 210016)

前蘇聯物理學家朗道參考天文學上的“星等”概念,對所有物理學家的貢獻進行排名．這個排名分為0到5級,以對數坐標表示出來,處于上一級的人要比下一級的人貢獻大10倍． 排在最前面的0等大神是艾薩克·牛頓,0.5等獻給了愛因斯坦,1等則分別是量子力學的奠基者尼爾斯·玻爾、維爾納·海森堡、保羅·狄拉克、埃爾溫·薛定諤以及與他同時代的天才尤金·維格納(圖1)等人．

圖1 尤金·維格納

在這個星光熠熠的排名中,1等科學家維格納這個名字,物理學界以外知道的人就相對少得多．維格納最為外人所知的是有位“有名的妹夫”,偉大的物理學家狄拉克．實際上,維格納是20世紀最重要的物理學家之一,他把群論應用到量子力學中,對原子核模型的建立起到了至關重要的作用．他和狄拉克、約當等人一起成為量子場論的奠基人．維格納的眾多成就從許多以他命名的術語可以看得出來,比如維格納定理(Wigner’s theorem),巴格曼-維格納方程(Bargmann-Wigner equations),維格納-埃卡特定理(Wigner-Eckart theorem),約當—維格納變換(Jordan-Wigner transformation),維格納晶體(Wigner crystal),維格納-賽茲半徑(Wigner-Seitz radius),維格納分類(Wigner classification),布萊特-維格納分布(Breit—Wigner distribution),維格納D-矩陣(Wigner D-matrix),牛頓-維格納局域化(Newton-Wigner localization),維格納-魏爾變換(Wigner-Weyl transform)．光是從這些五花八門的術語不難看出維格納研究的廣度與深度．雖然他早就有資格問鼎諾貝爾獎,卻要一直等到1963年,由于“在原子核和基本粒子物理理論上的貢獻,尤其是基本對稱原理的發現與應用”,他才和瑪麗亞·格佩特-梅耶(Maria Goeppert Mayer)、約翰內斯·延森(Johannes Hans Daniel Jensen)一同獲得諾貝爾物理學獎．[1]

對稱性是自然界留給人類的一筆巨額財富．小到一片雪花,大到物理學中的三大基本相互作用(除引力),它們都存在一種自然的數學對稱關系．維格納的出現使微觀物理世界的對稱之美得到了綻放．他將群論嚴格地應用于量子力學問題,為后世的物理工作者開辟出一條嶄新的道路．雖然常常感慨自己錯過了量子理論發現的黃金時代,但他依然依靠群論在物理學中的應用為量子力學這幢宏偉的大廈添磚加瓦．[2]群論應用于量子力學研究是一件美妙而又有趣的事情,猶如完成一件精雕細琢的藝術品,充滿奇遇;又好比是書寫一段奇幻的故事,字里行間足見“起承轉合”． 元代范德璣的《詩格》有云:“作詩有四法:起要平直,承要舂容,轉要變化,合要淵水．”這四句恰如其分地描述了維格納的工作歷程．

1 埋下科學的種子

20世紀之交前后,歐洲小國匈牙利中猶太人取得顯著的經濟、社會地位,養育出一撥出才華橫溢的科學大師和藝術大師,像馮·卡門(錢學森的導師)、查爾斯·德海韋西(同位素示蹤法發明者)、利奧·西拉德、尤金·維格納、馮·諾伊曼、愛德華·泰勒(楊振寧的導師)．后來這批人紛紛離開了匈牙利,飄洋過海到了美國．后來為了抵抗納粹,西拉德聯合泰勒以及維格納一起協商,并竭力說服愛因斯坦,給富蘭克林·羅斯福總統寫信,建議美國要趕在納粹德國之前研制出原子彈，直接促成了美國曼哈頓計劃的啟動．藍色多瑙河在短短幾十年間為世界貢獻了一代天才,開創了一個教育史上的奇跡．

維格納于1902年出生于布達佩斯的一個中產猶太家庭．家道殷實,父母和善．維格納的父親是當時匈牙利的第二大制革廠的一名經理．他的外祖父則是一名內科醫生．他常沉迷于外祖父所講的各種新奇的科學發現中．他的父親也堅定地認為一份頂尖的學歷將會是他安身立命的利器．良好的家庭給予了維格納很好的啟蒙教育,也在他的內心種下了一顆科學的種子．尤其是從家庭教師那里,維格納發現了自己對數學的興趣．1915年,順利完成了高中教育的維格納來到了美國,進入了一所小的預科學校．在這里他的興趣得以滿足,他可以盡情釋放對數學的熱愛．同樣是在這所預科學校,他結識了日后給予他莫大幫助的馮·諾伊曼．馮·諾伊曼是一個十足的數學天才,對于維格納來說他可謂亦師亦友,維格納在馮·諾伊曼那里得到了大量關于數學的幫助,這為他日后理解群論鋪平了道路．

在預科學校的學習中,維格納逐漸發現自己的熱愛——物理學,明確了他將為此奉獻終身．這一信念化作強大的動力,促使維格納通過各種途徑如饑似渴地學習物理,甚至跑去聽相對論的報告．1920年,維格納從路德宗預科學校畢業,之后他又在布達佩斯的一所叫穆格耶屯的工科大學注冊了一年學籍．他選讀了物理課程,但像大多數匈牙利大學一樣,這所大學似乎對現代物理學并不感興趣．毫無疑問,成為一名物理學家才是他真正的理想．作為皮革廠經理的父親不能認可他的想法．父親經營的制革廠正迫切地需要一些真正懂行的人,在父親看來他成為一名化學工程師并接手自己的工作才是一個明智的選擇．而維格納也愿意做一個聽父母話的好兒子．之后,維格納去了父親幫他選擇的柏林工業大學學習化學工程．然而,在他內心中,物理學才是他的真愛．離工業大學很近的柏林大學在每個星期三下午都會舉行德國物理學會的報告,報告會向來是座無虛席．這些報告對維格納來說正是夢寐以求的．在報告會上,維格納第一次見到了愛因斯坦、普朗克、馮·勞厄這些量子力學的先驅,這也是他第一次真正接近近代物理．在那里,他終于找到了一直以來缺乏的歸屬感．報告會為維格納打開了一個新的世界．他曾經學到的物理學沒有在報告會中被提到,他所熟悉的牛頓,他所理解的電子與原子圖像并不能讓他對報告的內容有所幫助．于是他開始閱讀大量的資料．很快地,他就能跟得上報告會了,甚至還幫助構思了研究思路．某一天,他被選中準備一個評述報告,要向愛因斯坦和馮·勞厄那樣的物理學大家作報告,這使得他倍感興奮．報告會第一排的椅子上坐著愛因斯坦．但這并沒有使維格納感到害怕,相反,他覺得很輕松,因為愛因斯坦所表現出的謙虛使他明白,人類的智慧是有限的,沒有人能夠獨自發現一切,我們大家都有所貢獻．也許這就是他沒有在報告會上感到緊張的原因．[3,4]

2 邂逅真正的“朋友”

楊振寧先生曾在2002年聯合國教科文組織舉行的理論物理大會的報告中指出,對稱性是20世紀理論物理的主旋律之一．楊先生提到,[5]在他寫學士畢業論文期間,父親給了他一本狄克遜(Dickson)所寫的一本書,叫做Modern Algebraic Theories． 這本書寫得非常簡妙, 令他從中領悟到群論的美妙,激發了對對稱原理的興趣, 對他后來的諸多工作產生了決定性的影響．自然界的對稱原理不僅展現了自然的美妙,更是人類理解并深入探索世界客觀規律的一個有力工具．但如何簡潔有效地描述量子體系的對稱性,并對對稱結構進行數學分析以期得到體系的各項物理性質,在量子力學建立之初并不是那么的顯然．

20世紀之前,理論物理中幾乎看不到對稱性原理的影子．能量、動量和角動量守恒律被認為就是自然界的重要規律,甚至1865年建立的麥克斯韋方程中蘊含的洛倫茲不變和規范不變在相當長的一段時間中沒有被物理學家覺察到．第一個認識到對稱性原理是自然界的主要規律的物理學家是愛因斯坦．1905年, 愛因斯坦意識到,電磁場的變換特性是相對論不變性的結果,而不是像洛倫茲那樣是從麥克斯韋方程中推導出來的結果,并且實際上正是相對論不變性很大程度地決定了麥克斯韋方程的形式．10年后,這種觀點在愛因斯坦構建廣義相對論中取得了驚人的成功．等效原理 (自然法則在時空坐標局部變化下保持不變)被認為是引力的最基本的物理性質．然而,即使在這個偉大的成功之后,愛因斯坦的觀點也只對廣義相對論方面的研究有所助益,對理論物理學幾乎沒有產生任何影響．這在一定程度上是由于在利用對稱性原理時總要涉及到不熟悉的、全新的數學知識,即群論．[6]實則,19世紀末20世紀初,數學家們已經創造出群論．它的誕生并不是源于對稱性,但在隨后的發展中逐漸延伸出兩個方向——代數方向和幾何方向．尤其是幾何方向與近代物理學有著密切的聯系,但這一條線索并不足夠清晰,在隨后的一個世紀里物理學家也曾嘗試使用群論去解決一些物理問題,礙于群論的復雜,研究者們也僅僅將其當成是一個過渡的工具,直到維格納的出現．

3 是挑戰,更是機遇

1925年,維格納在柏林工業大學取得學位之后回到了布達佩斯．順從父親的意愿,他在皮革廠謀到一個職位．但他并沒有放棄物理研究,他同制革廠里的一些優秀物理化學家談論物理學,并把一些有趣的結果寫成文章并投到德國最高級的物理學期刊《物理學雜志》, 這成為他在制革廠里找到了一絲慰藉．就在一切仿佛要陷入死寂的時候,1926年他的人生出現了轉機．維格納收到了在威廉皇帝研究院的一位叫做魏森貝格(Karl Weissenberg)的晶體學家的邀請．魏森貝格博士希望他能幫助自己做X射線光譜學,以及X射線和晶體學方面的研究．[3]經過多次的交流與討論,他知道魏森貝格希望他能找到晶體中的原子得以保持在一些對稱軸和對稱平面的位置上的原因．他拿到參考資料——韋伯的《代數學》,花了3個星期研究,并找到了一個粗略的解法．當他向魏森貝格講解他的解法時,他發現魏森貝格并沒有完全領會他的方法．魏森貝格希望他做出更簡單并且通俗易懂的回答．也正是這種適度精致的追求,使得他越來越深入地鉆研到群論中．[3,4]1927年,維格納收到了阿諾·索末菲的邀請前往哥廷根擔任數學家大衛·希爾伯特的助手．哥廷根大學是當時世界上最大的數學中心之一,它在理論物理學方面非常強大．此時,馮·諾伊曼也在哥廷根大張旗鼓地研究數學．有意思的是,馮·諾伊曼也因為父親覺得學數學不來錢,出于妥協,在進修數學博士的同時,攻讀化學學士學位并獲得了學位．在馮·諾伊曼幫助下,他開始研究弗洛比尼斯(Frobenius)和舒爾(Schur)關于群論的研究成果,成功解決了魏森貝格交給他的一個又一個有關群論的問題,并且他開始嘗試把群論應用于量子力學．在這里,他建立了量子力學中對稱性的理論基礎——魏格納D-矩陣．1930年,求賢若渴的普林斯頓大學為了能與哥廷根大學相提并論,同時招聘了馮·諾伊曼和維格納,以振興他們的數學和理論物理實力．當時,德國的反猶太主義浪潮越來越大,這兩位后起之秀因而得以逃避歐洲的納粹和戰爭．

好比一部引人入勝的小說,在其高潮部分必然是充滿了矛盾與荒誕,但在矛盾的背后又流淌著事物發展的必然規律．維格納將群論嚴格地運用到物理學中．在量子力學的群論方法里,電子的軌道不再是表示成一些軌道而是表示成一些球面,這遭到了許多老物理學家的反對．泡利戲稱它為“群禍”．一時間“群禍”流行開來．馮·勞厄,作為維格納的支持者對群論依然無法完全接受,而維格納一直崇拜的愛因斯坦也認為群論所處理的僅僅是量子力學當中的一些細枝末節的問題．即使維格納曾經做過貝克爾的助手,貝克爾也經常會在不經意間流露出對群論的反感．面對外界不屑,1931年,維格納著作——《群論及其在原子光譜的量子力學中的應用》誕生．這本書一經出版就引起了物理學界的極大關注．但他在序言中即提到,“物理學家們非常不愿意接受群論的論點．”[7]薛定諤更是將群論看成是量子力學中的異端．即使到了1934年,針對群論,薛定諤表示:“這或許是推導出光譜根源的唯一方法,但在5年后,肯定沒有誰仍然用這個方法來做研究”．維格納將所有這些懷疑的論調都轉述給馮·諾依曼．馮·諾依曼堅定地相信,5年后每一個物理專業的大學生都要學習群論．果然,不久之后所有物理學家都在學習群論,甚至泡利也在學習．波恩在認真閱讀過此書后還贈送給維格納一份有關這本書的錯誤列表,詳細地列出了書中一些勘誤．

4 維格納的遺產

至此,群論迅速地進入物理學家的視野．維格納的研究也越來越受到科學界的重視．1958年,他獲得恩里科·費米獎,1969年獲美國國家科學獎章．然而, 維格納依然被認為是世界上目前為止最謙卑的物理學家．他毫不掩飾對馮·諾依曼的崇敬,甚至到了“卑微”的地步．維格納在1963年發表諾貝爾物理學獎獲獎演說時,有人問:匈牙利如何在同時代培育出那么多天才?他的回答是: 只有馮·諾依曼是天才．太早結識真正的天才,這讓維格納早早認識到自己雖然是出色的,但并不是杰出的．即使他在數學上也很有天賦,但是在馮·諾依曼面前,他只能自嘲為“二流數學家”,并且告訴別人這就是他轉行搞物理的原因．1963年,物理學界為了向維格納將對稱性引入量子力學表示崇高敬意,授予他諾貝爾物理學獎．他個人聲稱從未預料到會獲獎:“我從沒料想到我會在沒做壞事的情況下登上報紙”．

維格納將自己畢生的精力和心血都奉獻給了物理學,他為人稱道的故事有很多,像“維格納的朋友”,又或者晚年投入曼哈頓計劃對原子彈的貢獻．1939年8月2日,維格納把利奧·西拉德介紹給愛因斯坦,促成了歷史上知名的愛因斯坦——西拉德信．20世紀的物理學界群星璀璨．維格納年齡上只比狄拉克小3個月、比約當小1個月,與泡利和海森堡相比也只小了一兩年．當他投入物理學研究的時候,已經錯過了那個黃金年月．雖不比愛因斯坦家喻戶曉,他依然是獨自閃耀的一顆．在他還是一個躊躇滿志的年輕物理學家時,就斷言“物理學的任務應該是,提供一幅生動逼真的圖像來描繪我們的世界,揭示自然事件之間的聯系,將物理世界的完全和諧性、美妙性以及自然的偉大之處展示給人們”．回顧維格納的一生,正是他使得量子力學有了超越經典“哥本哈根詮釋”的“普林斯頓詮釋”．