小環運動的v-t圖像可以這樣畫嗎?
———對一道高考物理模擬題的深度分析

汪小平

(安徽省銅陵市第一中學,安徽 銅陵 244000)

1 問題提出

例題.如圖1(甲),均勻帶正電荷的絕緣圓盤,圓盤平面在豎直面內,一光滑絕緣細桿過圓盤中心O點且垂直于盤面,細桿上套有一個質量為m=10 g、電荷量q=-5×10-2C的帶電的小環.讓小環以v0=6 m/s的初速度從A點向右運動,到B點時,速度圖像的切線斜率最大(圖中標出了該切線),到C點時速度第1次減為0,小環運動的v-t圖像如圖1(乙)．則下列說法正確的是

(甲)

(A) 由A到C的過程中,小環的電勢能一直增大.

(B) 由A到C圓盤產生的電勢逐漸升高.

(C) 圓盤產生的電場中,A、C兩點間的電勢差為3.6 V.

(D) 圓盤產生的電場中,電場強度最大點B點處場強大小為0.2 V/m.

該題是東北師大附中、重慶一中等6所重點中學所組織的2020屆高三1月聯考中的一道試題.該題考察了電場、電勢、牛頓運動定律、動能定理以及運動的v-t圖像等考點,是一道具有一定綜合性的高考模擬題.

通過以上分析發現該題的解答似乎沒有問題,但是該題的題干部分給出了小環在過O點垂直于圓盤的絕緣細桿上運動的v-t圖像.從該圖像可知小環向右運動的速度逐漸減小,加速度先增大后減小.均勻帶電圓盤過圓心軸線上的電場的分布是具有確定的規律,那么在該題的物理情景下,能否產生如圖1(乙)所示小環運動的v-t圖像呢?它的加速度能否先增大后減小呢?在B點v-t圖像的切線斜率能否最大呢?

2 問題分析

針對該問題需要分析均勻帶電圓盤過圓心軸線上的場強分布情況,由于均勻帶電圓盤可以看成無數個均勻帶電圓環的疊加,因此先分析一個半徑為R、電荷總量為Q的均勻帶電圓環軸線上離環中心O點為x處P點的電場強度E.

圖2 均勻帶電圓環

(1)

圖3 均勻帶電圓環沿Ox方向電場強度變化

圖4 均勻帶電圓盤

(2)

對圓盤從0到R進行積分得到圓盤沿x方向的場強

(3)

通過(3)式可以發現均勻帶電圓盤沿x軸正方向場強是逐漸減小的,它的E-x圖像如圖5所示(圖5利用Maple軟件繪制,并取kQ=1,R=1).

圖5 均勻帶電圓盤沿Ox方向電場強度變化

通過比較圖3和圖5可以發現,表面上看圓盤是很多圓環的疊加,但是它們過圓心沿x軸產生的場強的分布規律是完全不同的,比如圓環在x=0處場強為0,在x→∞處場強為0,場強沿x軸正方向是一個先增大后減小的過程;但是對均勻帶電圓盤來說,在x趨向于0時它的場強趨向于一個不為0的確定值,并且它沿x軸正方向的場強從該值逐漸減小.因此本題中小圓環沿x軸正方向從A運動到C的過程中,它所受到的電場力是逐漸減小的,它的加速度也是逐漸減小的,它的v-t圖像的斜率不可能出現題中的先增大后減小的情形,故本題題干中所給的v-t圖像是值得商榷的.

3 問題拓展

帶電小物體在不同電場中僅受電場力作用下的運動規律必須符合這些電場的特征,因此為了避免此類命題錯誤,非常有必要總結出一些除均勻帶電圓環(圓盤)以外其他的常見帶電體模型在某個方向上的電場分布規律,表1中總結了6種帶電體模型沿Ox方向場強分布規律,并繪制圖像,圖像利用Maple軟件繪制,并取kQ=1，d=1，R=1,具體圖像如表1所示.

通過表1可以發現不同帶電體模型沿Ox方向它的電場強度變化規律各不相同,因此在該方向上某個運動的帶電小物體如果僅受電場力作用,它運動的加速度變化規律必然和這些電場強度變化規律相一致,其運動的v-t圖像也必然受到這些電場強度變化規律的制約.

表1 不同帶電體模型沿Ox方向場強規律